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文档简介

1、线三等角模型.一线三等角概念“一线三等角是一个常见的相似模型,指的是有 三个等角的顶点在同一条直 线上构成的相似图形,这个角可以是直角,也可以是锐角或钝角.不同地区对此有不同的称呼,“K形图,“三垂直“弦图等,以下称为线三.一线三等角的分类DCDCCBAABPPABP直角DDDAAAPpBPBBCCC异侧相似篇DDCDCCABABPPABP直角钝角DDDAPABpPBCCC异侧全等篇D三、“一线三等角的性质1 .一般情况下,如图 3-1 ,由/ 1 = /2=/3,易得 AES BDE.2 .当等角所对的边相等时,那么两个三角形全等.如图3-1 ,假设CE=ED那么 AE登 BDE.3 .中点

2、型“一线三等角;二如图 3-2 ,当/1=/2=/3,且 D 是 BC 中点时, BD曰ACFtD DFE、4 .“中点型一线三等角的变式 了解如图3-3 ,当/1=/2且/BOC =90 +1/BAC时,点O是aBc的内心.可以考虑I勾2造“一线三等角.如图3- 4 “中点型一线三等角通常与三角形的内心或旁心相关,?1/BOC =90*+ /BAC这是内心的性质,反之未必是内心 .2在图3-4 右图中,如果延长 BE与CF,交于点P,那么点D是4PEF的旁心.5 .“一线三等角的各种变式图 3-5 ,以等腰三角形为例进行说明图3-5其实这个第4图,延长DC反而好理解.相当于两侧型的,不延长理

3、解,以为是一种新型的,同侧穿越型?不管怎么变,都是由三等角确定相似三角形来进 行解题四、“一线三等角的应用1 .“一线三等角应用的三种情况.a.图形中已经存在“一线三等角,直接应用模型解题;b.图形中存在“一线二等角,不上“一等角构造模型解题;c.图形中只有直线上一个角,不上“二等角构造模型解题.体会:感觉最后一种情况出现比拟多,尤其是压轴题中,经常会有一个特殊角或指导该角的三角函数值时,我经常构造“一线三等角来解题 .2 .在定边对定角问题中,构造一线三等角是根本手段,尤其是直角坐标系中的张角问题,在x轴或y轴也可以是平行于x轴或y轴的直线上构造一 线三等角解决问题更是重要的手段.3 .构造

4、一线三等角的步骤:找角、定线、构相似坐标系中,要讲究“线的特殊性如图3-6 ,线上有一特殊角,就考虑构造同侧型一线三等角当然只加这两条线通常是不够的,为了利用这个特殊角导线段的关系,过 C、D两点作直线l的垂线是必不可少的.两条垂线通常情况下是为了 “量化的需 要.上面就是作辅助线的一般程序,看起来线条比拟多,很多老师都认为一下子不 容易掌握.解题示范例1如下图,一次函数 y =-x+4与坐标轴分别交于 A、B两点,点P是线段 AB上一个动点不包括 A、B两端点,C是线段 OB上一点,/ OPC=45 ,假设AOPC是等腰 三角形,求点P的坐标.例 2 如下图,四边形 ABCD 中,/ C=9

5、0 ,Z ABD= Z DBC=22.5 , AEXBC 于 E, /ADE=67.5 , AB=6,那么 CE=.例 3 如图,四边形 ABCD 中,/ ABC= / BAD=90 , Z ACD=45 , AB=3 , AD=5.求 BC 的长.例 4 如图, ABC 中,/BAC=45 , AD BC, BD=2 , CD=3,求 AD 的长.一线三等角,补形最重要,内构勤思考,外构更精妙.找出相似形,比例不能少.巧设未知数,妙解方程好还是可以纵横斜三个方向构造,坐标系中一般考虑纵横两个方向构造例 5 如图,在 AABC 中,/ BAC=135 , AC= J2 AB, AD AC 交

6、BC 于点 D,假设 AD = J2 ,求AABC的面积当然有45.或135.等特殊角,据此也可以构造不同的一线三等角一线三等角所有的构造都是把分居定角两侧的数据集中在一起,是相似集中条件的一种.大练身手:例7:在平面直角坐标系中,点 A (1, 0) , B (0, 3) , C( 3, 0) , D是线段AB上一 点,CD 父 y 轴于 E,且 S bce= 2Saaob ,(1)求直线AB的解析式;(2)求点D的坐标,猜测线段 CE与线段AB的数量关系和位置关系,并说明理由;(3)假设F为射线 CD上一点,且/ DBF= 45,求点F的坐标.例8:如图,直线y = x+ 2与y轴交于点C

7、,与抛物线y= ax2交于A、B两点(A在 耳的左侧),BC= 2AC,点P是抛物线上一点.B(1)(2)(3)求抛物线的函数表达式;假设点P在直线AB的下方,求点 P到直线AB的距离的最大值;假设点P在直线AB的上方,且/ BPC= 45,求所有满足条件的点P的坐标.O,田B确实坐标 xE练1:.如图,抛物线的顶点为为-3 .(1)求抛物线的解析式;(2)假设点D为抛物线上的一点,(3)假设点E的坐标为(0, 2),C ( 1 , 1),且经过点 A、点 琳海麻原点BBOD的面积等于 BOC的面积,请直接打出点 D的坐标;点P是线段BC上的一个动束,是否存假设存在,求出点 P的坐标;假设不存

8、在,请说明理由.课后作业:如图,点 A(0,-1),B(3,0),P 为直线 y= -x+5 上一点T在四边形 ABCD 中,/ ABC=/BAD=90如图,正方形 ABCD中,点E,F,G分别在 AB,BC,CD上,BE+GC= 一 3 BC如图, ABC L DBA,且 AC=夜 BC,求证:CD=2AB.C3,AD=4,求OD=45CO x在,APB=FP,使得/ OPE= 45 ?如图,如图,ACxfe长.为等边三角形/求证:在四边形 ABCD 中,/ ABC= 90, AB=3, BC= 4, CD= 10, DA= 575 ,求 BD 的长点A是反比例(X0)图形上一点,点 B是X

9、轴正半轴上一点,点C的坐标为(0,2),点 ABC是等边三角形时,求点 A的坐标.如图,抛物线y=ax2+bx + 4与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,直17线l: y=x+m经过点A,与抛物线交于另一点D (5,鼻),点P是直线l上万的抛物线上的动点,连接 PC、PD.(1)求抛物线的解析式;(2)当 PCD为直角三角形时,求点 P的坐标;(3)设 PCD的面积为S,请你探究:使 S的值为整数的点 P共有几个,说明理由.4 2221.如图1,直线y=kx与抛物线丫 = 57x +力交于点A t3, 6)2 73(1)求直线y=kx的解析式和线段 OA的长度;C(2)点P为抛物线第一象限内的动点,过点P作直线PM交直线OA于点Q,再过点Q作直线PM的垂线/交交x轴予点M (点M、O不重合), y轴于点N.、式探究:线段QM与线段QN的长度之比是否为定值?如果是,求出逻个定值,如果不是说明理由;(3)如图l2,假设点B为抛物线上对称轴右侧的Ai段OA上(与点O、A不重合)0)是x轴正半轴上的动点A /直满&究:如图,直线 AC: y= -2x+y2J 过A、

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