中考压轴专题：PA+KPB最值问题苏科版,无答案

1、中考压轴专题:PA+k - PB型的最值问题当k值为1时,即可转化为“ PA+PB之和最短问题,就可用我们常见的“将 军饮马模型来处理,即可以转化为轴对称问题来处理.当k取任意不为1的正数时,通常以动点P所在图像的不同来分类,一般分为 2类 研究.其中点P在直线上运动的类型称之为“胡不归问题；点 P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆问题.一、“将军饮马模型“将军饮马：把河岸看作直线 L,先取A 或B关于直线L的 对称点A'或B',连接A' B 或B' A,并与直线交于一 点P,那么点P就是将军饮马的地点,即 PA+PB即为最短路线.如图,在锐角 ABC中,AB=4

2、, /BAC=45° , / BAC的平分线交 BC于点D, M、N分别是AD和AB上的动点,那么 BM+MN的最小 值如图,在矩形 ABCD中,AB = 10, AD = 6,动点P满足SAPAB= 3 S矩形ABCD ,那么点P到A, B两点距离之和PA+PB的最小值为 ma I如图,/ AOB=30.,点 M、N分别是射线 OA、OB上的动点,OP平分/ AOB ,且OP=6 , PMN的周长最小值为；当 PMN的周长取最小值时, 四边形PMON的面积为变式：“造桥选址模型如图,直线 a / b,且a与b之间的距离为 4,点A到直线a的距离为2,点B到直线b的距离为3, AB=

3、2 30 ,试在直线a上 找一点M,在直线b上找一点N,满足MNa且AM+MN+NB的长度 和最短,那么此时 AM+NB的值为.如图,CD是直线y=x上的一条定长的动线段,且 CD=2,点A 4, 0,连接AC、 AD,设C点横坐标为m,求m为何值时, ACD的周长最小,并求生这个值.二、“胡不归模型有一那么历史故事： 说的是一个身在他乡的小伙子,得知父亲病危的消息后便日夜赶路回家.然而,当他气喘吁吁地来到父亲的面前时,老人刚刚咽气了.人们告诉 他,在弥留之际,老人在不断喃喃地叨念：“胡不归？胡不归？ 早期的科学家曾为这那么古老的传说中的小伙子设想了一条路线.如下列图A是出发地,B是目的地；A

4、C是一条驿道,而驿道靠目的地的一侧是沙地.为了急迫回 家,小伙子选择了直线路程 ABo但是,他忽略了在驿道上V1行走要比在砂土地带V2行走快的这一因素.如果他能选择一条适宜的路线尽管这条路线长一些,但速度可以加快,是可以 提前抵达家门的.解题步骤:V2V2将所求线段和改写为“BD+ V1 AD的形式(0< V1 < 1)；V2在AD的一侧,BD的异侧,构造一个角度a ,使得sin2AC+AB的最小值过B作所构造的一边垂线,该垂线段即为所求最小值.如图, ABC 中,BC=2, / ABC=30 ° , 那么为.如图,四边形 ABCD是菱形,AB=4,且/ ABC=60 &

5、#176; , M为对角线1的最小值为.BD (不含B点)上任意一点,那么AM+2 BM如图,等腰 ABC中,AB=AC=3 , BC=2 , BC边上的高为 AO ,点D为射线AO 上一点,一动点P从点A出发,沿AD-DC运动,动点P在AD上运动速度3个单 位每秒,动点P在CD上运动的速度为 1个单位每秒,那么当 AD= 时,运动时间 最短为秒.中考真题1、( 2022?徐州)在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c的图像经过点 A(-1 , 0) , B (0, - "3 )、C 0),其中对称轴与x轴交于点Do假设P为y1PB PD2,一轴上的一个动点,连接PD,那么2

6、的最小值为83y - x 2 x 42、(2022.成都)如图,抛物线 9与x轴从左至右依次交于y x 43点A、B,与y轴交于点C,经过点B的直线 33与抛物线的另一个交点为D ( -5 , 3 3 ).设F为线段BD上一点(不含端点),连接 AF, 一动点M从点A出发,沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F,再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止,当点 F的坐标为 时,点 M在整个运动过程中用时最少?三、“阿氏圆模型【问题背景】阿氏圆又称阿波罗尼斯圆,平面上两点A、B,那么所有满足PA=kPB k中1的点P的轨迹是一个圆,这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗 尼斯发现,故称“阿氏圆.如

7、下图2-1-1 , O O的半径为r,点A、B都在.O外,P为.O上的动点, r=k OB.连接PA、PB,那么当“ PA+k PB的值最小时,P点的位置如何 确定？图 2-1-1图 2-1-2图 2-1-3此题的关键在于如何确定 “ k PB的大小,如图2-1-2 在线段OB上截取OC使OC=k , r,那么可说明BPO与乙PCO相似,即k PB=PC二此题求“ PA+k PB的最小值转化为求“ PA+PC的最小值,即A、P、C三 点共线时最小如图2-1-3 ,此题得解.阿氏圆 一般解题步骤:第一步：连接动点至圆心 O 将系数不为1的线段两个端点分别与圆心相连接那么连接OP、OB;第二步：计

8、算出所连接的这两条线段OP、OB长度;第三步:计算这两条线段长度的比OP,kOBOC第四步:第五步: 点,-OP在OB上取点C,使得0P 连接AC,与圆O交点即为OP kOBP.如图,点 A、B在.O上,且OA=OB=6 ,且OAOB,点C是OA的中点,点 D在OB上,且OD=4 ,动点P在.O上,那么2PC+PD的最小值为.如图,半圆的半径为 1, AB为宜径,AC、BD为切线,AC=1 ,_22 一PC+PD的最/、值BD=2 , P为弧 AB上一动点,求为.C半径为2, P为圆上一动点,连结 AP, BP,求1AP BP2的最小值.【自主探索】：在“问题提出的条件不变的情况下,.【拓展延

9、伸】：扇形COD中,/ COD = 90o,是CD上一点,那么2PA+ PB的最小值为【模型类比】“胡不归构造某角正弦值等于小于1APOC = 6, OA = 3,BP的最小值OB=5,点 P起点构造所需角(k=sin / CAE)-过终点作所构角边 的垂线一利用垂线段最短解决“阿氏圆构造共边共角型相似构造 PABA cap 推出 PA2= AB ? AC即：半径的平方=原有线段x构造线段(1)【问题提出】：如图 1 ,在 RtA ABC 中,/ ACB =90° , CB = 4, CA = 6, O拓展：“费马点问题背景资料：在 ABC所在平面上求一点 P,使它到三角形的三个顶点

10、的距离之和最小,这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的,所求的点被人们称为“费马点.如图,当 ABC三个内角均小于120°时,费马点P在 ABC内部,此时/ APB=/ BPC=/ CPA=120 0 ,止匕时,PA+PB+PC 的值最小.解决问题：(1)如图,等边 ABC内有一点P,假设点P到顶点A、B、C的距离分别为3,4, 5,求/ APB的度数.为了解决此题,我们可以将 ABP绕顶点A旋转到 ACP'处,此时 ACP ' ABP,这样就可以利用旋转变换,将三条线段 PA, PB, PC转化到一个三角形中,从而求出/ APB=;根本运用：(2)请你利用第(1)题的解答思想方法,解答下面问题：如图, ABC 中,/ CAB=90 ° , AB=AC , E