偏微分方程实验报告1-张伟-20122058

1、重 庆 大 学学 生 实 验 报 告实验课程名称 偏微分方程数值解 开课实验室 数统学院 学 院 数 统 年级 2012 专业班 信计1班 学 生 姓 名 张 伟 学 号 20122058 开 课 时 间 2014 至 2015 学年第 2 学期总 成 绩教师签名数学与统计学院制开课学院、实验室： 数统学院 实验时间 ： 2015年 5月6日实验项目名 称初值问题的Euler方法和梯形法实验项目类型验证演示综合设计其他指导教师李茂军成 绩是一实验目的通过该实验，要求学生掌握求解初值问题的欧拉法和梯形法，并能通过计算机语言编程实现这两种算法。二实验内容考虑如下的初值问题：该问题有解析解。1. 用

2、欧拉法求解该问题，取步长，将四种步长的计算结果（时刻的计算结果），解析结果和相应的绝对误差列表显示。2. 用梯形法求解该问题，取步长，将四种步长的计算结果（时刻的计算结果），解析结果和相应的绝对误差列表显示。3. 在同一种方法下，请说明哪种网格大小的计算结果更加精确，并说明理由。在相同的网格大小下，比较上述两种算法的计算结果，那种算法的结果要好一些，并说明理由。要求：将程序放到实验结果部分。将电子版的实验报告发送到邮箱limj,邮件标题为：偏微分方程实验报告1-姓名-学号。纸质版的实验报告在下次上机实验时提交。三实验原理、方法（算法）、步骤1欧拉法的迭代格式及其误差估计：，。2. 梯形法的迭代

3、格式及其误差估计。，。 四实验环境（所用软件、硬件等）及实验数据文件Matlab 或者Fortran1、用欧拉法求解该问题（MATLAB）主界面输入主函数如下：x=0:0.2:1;%步长，可以取得更精确f=exp(x);plot(x,f,'g-*')box ongrid onhold ons,t=euler('fun1',0,1,1,5) %这里5=1/0.2plot(s,t,'r-o')xlabel('x')ylabel('y')title('精确解与欧拉法数值解')legend('exp

4、(x)','欧拉法数值解')disp(' 步长h 精确解u 数值解u 误差估计O(h)');disp( x' (exp(x)' t' abs(t-exp(x)')调用子程序一%欧拉方法求解常微分方程function x,y=euler(fun,x0,xfinal,y0,N)if nargin<5,N=50;%区间长度endh=(xfinal-x0)/N;%步长x(1)=x0;y(1)=y0;for i=1:N x(i+1)=x(i)+h; y(i+1)=y(i)+h*feval(fun,x(i),y(i);end调用

5、子程序二function f=fun1(x,y) %函数定义,可以据情况更改f=y;2、用梯形法求解该问题主界面输入主函数如下：x=0:0.2:1;%步长f=exp(x);plot(x,f,'g-*')box ongrid onhold ons,t=tixingfa('fun1',0,1,1,5)plot(s,t,'r-o')xlabel('x')ylabel('y')title('精确解与梯形法数值解')legend('exp(x)','梯形法数值解')disp(&

6、#39; 步长h 精确解u 数值解u 误差估计O(h)');disp( x' (exp(x)' t' abs(t-exp(x)')调用子程序一(子程序二同上)%梯形法求解常微分方程function x,y=tixingfa(fun,x0,xfinal,y0,N)if nargin<5,N=50;%区间长度endh=(xfinal-x0)/N;%步长x(1)=x0;y(1)=y0;for i=1:N x(i+1)=x(i)+h; y1=y(i)+h*feval(fun,x(i),y(i); y2=y(i)+h*feval(fun,x(i+1),y1)

7、; y(i+1)=(y1+y2)/2;end五实验结果及实例分析1、用欧拉法求解该问题当h=0.2时，运行结果： 步长h 精确解u 数值解u 误差估计O(h) 0 1.0000 1.0000 0 0.2000 1.2214 1.2000 0.0214 0.4000 1.4918 1.4400 0.0518 0.6000 1.8221 1.7280 0.0941 0.8000 2.2255 2.0736 0.1519 1.0000 2.7183 2.4883 0.2300当h=0.1时，运行结果：步长h 精确解u 数值解u 误差估计O(h) 0 1.0000 1.0000 0 0.1000 1.

8、1052 1.1000 0.0052 0.2000 1.2214 1.2100 0.0114 0.3000 1.3499 1.3310 0.0189 0.4000 1.4918 1.4641 0.0277 0.5000 1.6487 1.6105 0.0382 0.6000 1.8221 1.7716 0.0506 0.7000 2.0138 1.9487 0.0650 0.8000 2.2255 2.1436 0.0820 0.9000 2.4596 2.3579 0.1017 1.0000 2.7183 2.5937 0.1245 图1 h=0.05时精确解与欧拉法数值解的图像当h=0.0

9、5时，运行结果：（图1见上）步长h 精确解u 数值解u 误差估计O(h) 0 1.0000 1.0000 0 0.0500 1.0513 1.0500 0.0013 0.1000 1.1052 1.1025 0.0027 0.1500 1.1618 1.1576 0.0042 0.2000 1.2214 1.2155 0.0059 0.2500 1.2840 1.2763 0.0077 0.3000 1.3499 1.3401 0.0098 0.3500 1.4191 1.4071 0.0120 0.4000 1.4918 1.4775 0.0144 0.4500 1.5683 1.5513

10、0.0170 0.5000 1.6487 1.6289 0.0198 0.5500 1.7333 1.7103 0.0229 0.6000 1.8221 1.7959 0.0263 0.6500 1.9155 1.8856 0.0299 0.7000 2.0138 1.9799 0.0338 0.7500 2.1170 2.0789 0.0381 0.8000 2.2255 2.1829 0.0427 0.8500 2.3396 2.2920 0.0476 0.9000 2.4596 2.4066 0.0530 0.9500 2.5857 2.5270 0.0588 1.0000 2.7183

11、 2.6533 0.06502、用梯形法求解该问题当h=0.2时，运行结果：步长h 精确解u 数值解u 误差估计O(h) 0 1.0000 1.0000 0 0.2000 1.2214 1.2200 0.0014 0.4000 1.4918 1.4884 0.0034 0.6000 1.8221 1.8158 0.0063 0.8000 2.2255 2.2153 0.0102 1.0000 2.7183 2.7027 0.0156当h=0.1时，运行结果：步长h 精确解u 数值解u 误差估计O(h) 0 1.0000 1.0000 0 0.1000 1.1052 1.1050 0.0002

12、0.2000 1.2214 1.2210 0.0004 0.3000 1.3499 1.3492 0.0006 0.4000 1.4918 1.4909 0.0009 0.5000 1.6487 1.6474 0.0013 0.6000 1.8221 1.8204 0.0017 0.7000 2.0138 2.0116 0.0022 0.8000 2.2255 2.2228 0.0028 0.9000 2.4596 2.4562 0.0034 1.0000 2.7183 2.7141 0.0042当h=0.05时，运行结果：（见下图2）步长h 精确解u 数值解u 误差估计O(h) 0 1.00

13、00 1.0000 0 0.0500 1.0513 1.0513 0.0000 0.1000 1.1052 1.1051 0.0000 0.1500 1.1618 1.1618 0.0001 0.2000 1.2214 1.2213 0.0001 0.2500 1.2840 1.2839 0.0001 0.3000 1.3499 1.3497 0.0002 0.3500 1.4191 1.4189 0.0002 0.4000 1.4918 1.4916 0.0002 0.4500 1.5683 1.5680 0.0003 0.5000 1.6487 1.6484 0.0003 0.5500 1

14、.7333 1.7329 0.0004 0.6000 1.8221 1.8217 0.0004 0.6500 1.9155 1.9150 0.0005 0.7000 2.0138 2.0132 0.0006 0.7500 2.1170 2.1164 0.0006 0.8000 2.2255 2.2248 0.0007 0.8500 2.3396 2.3388 0.0008 0.9000 2.4596 2.4587 0.0009 0.9500 2.5857 2.5847 0.0010 1.0000 2.7183 2.7172 0.0011图1 h=0.05时精确解与梯形法数值解的图像3、欧拉法与

15、梯形法的比较不妨以h=0.025作为依据，实验结果见下表1：表1 h=0.025欧拉法与梯形法的比较步长精确解欧拉数值解欧拉绝对误差梯形数值解梯形绝对误差0.0000 1.0000 1.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0250 1.0253 1.0250 0.0003 1.0253 0.0000 0.0500 1.0513 1.0506 0.0006 1.0513 0.0000 0.0750 1.0779 1.0769 0.0010 1.0779 0.0000 0.1000 1.1052 1.1038 0.0014 1.1052 0.0000 0.1250 1.1331

16、 1.1314 0.0017 1.1331 0.0000 0.1500 1.1618 1.1597 0.0021 1.1618 0.0000 0.1750 1.1912 1.1887 0.0026 1.1912 0.0000 0.2000 1.2214 1.2184 0.0030 1.2214 0.0000 0.2250 1.2523 1.2489 0.0035 1.2523 0.0000 0.2500 1.2840 1.2801 0.0039 1.2840 0.0000 0.2750 1.3165 1.3121 0.0044 1.3165 0.0000 0.3000 1.3499 1.344

17、9 0.0050 1.3498 0.0000 0.3250 1.3840 1.3785 0.0055 1.3840 0.0000 0.3500 1.4191 1.4130 0.0061 1.4190 0.0001 0.3750 1.4550 1.4483 0.0067 1.4549 0.0001 0.4000 1.4918 1.4845 0.0073 1.4918 0.0001 0.4250 1.5296 1.5216 0.0080 1.5295 0.0001 0.4500 1.5683 1.5597 0.0087 1.5682 0.0001 0.4750 1.6080 1.5987 0.00

18、94 1.6079 0.0001 0.5000 1.6487 1.6386 0.0101 1.6486 0.0001 0.5250 1.6905 1.6796 0.0109 1.6904 0.0001 0.5500 1.7333 1.7216 0.0117 1.7332 0.0001 0.5750 1.7771 1.7646 0.0125 1.7770 0.0001 0.6000 1.8221 1.8087 0.0134 1.8220 0.0001 0.6250 1.8682 1.8539 0.0143 1.8681 0.0001 0.6500 1.9155 1.9003 0.0152 1.9154 0.0001 0.6750 1.9640 1.9478 0.0162 1.9639 0.000