细长压杆失稳时最大挠度的确定

1、细长压杆失稳时最大挠度的确定摘要：在建立线性化挠曲线方程后，紧紧围绕细长压杆在不同稳定性条件下直线平衡状态，又考虑了压杆失稳后两端截面形心产生轴向位移，确定了挠曲线的最大挠度值，推导得到了挠曲线方程的解析式表达式。进而得到压杆受到临界 力为随遇平衡直线状态的充要条件。指出了工程力学教材对细长压杆失稳变形挠曲线线性化方程推导存在的误区。关键词：随遇平衡；失稳变形；线性化；挠曲线 中图分类号：O3410引言1744年，Euler首次提出了细长压杆失稳变形的弹性曲线问题，并用椭圆积分表示了细长压杆失稳变形挠曲线方程的精确 解,匕由于压杆失稳会导致整个结构的毁坏，因此保证结构及其杆件的稳定在工程技术中

2、有重大意义。这就是压杆失稳变形理论目前应用在许多领域的原因。例如，宇宙飞船的推进器各级之间的连接杆，机器人手臂，冲裁凸模长度校核”入等都是应用实例。由此可见，Euler的杰出贡献推动了力学的发展，并使力学在许多工程领域得到了广泛的应用。当时其他人还在研究梁弯曲问题时，Euler提出了失稳（侧向弯曲）这个概念，不能不说是一个十分超前的贡献。目前国内许多工程力学2）教材在处理压杆稳定这部分内容时，对 Euler在1744年首次提出的细长压杆失稳变形挠曲线方程 的精确解很少提及，主要原因是用这种精确解来计算要随时查阅椭圆积分表，给教学带来不便，13,o工程力学教材 J菖采用了建立线性化的细长压杆失稳

3、变形挠曲线方程的方法阐述细长压杆失稳问题。但这样做新的问题出现了， 教材，37'认为细长压杆失稳变形挠曲线方程中的挠度值成了不确定的常数，可以成为任意值。一些学者撰文也认为细长压杆失稳本来就是其非线性力学行为造成的，用线性化理论近似处理一个原本为非线性问题是有局限的，因此线性化条件下不能确定挠曲线的挠度值回叫以上线性化的细长压杆失稳变形挠曲线方程不能确定挠度值的观点本文不予认同，本文在建立线性化挠曲线方程后，紧 紧围绕细长压杆在不同稳定性条件下直线平衡状态，又考虑了压杆失稳后两端截面形心产生轴向位移，1516',确定了挠曲线的挠度值，推导得到了的挠曲线的解析式表达式。进而得到压

4、杆受到临界力为随遇平衡直线状态的充要条件。指出了教材，37,对细长压杆失稳变形挠曲线线性化方程推导存在的误区。1.线性化细长压杆失稳变形挠曲线方程的建立如图a所示我们设两端较支细长压杆长为 l ,等截面，材料均匀，承受轴向压力 F的作用，轴向压力F严格作用在压杆 截面的形心上。随着轴向压力F的增大，杆出现了失稳现象，失稳后（侧向弯曲）的杆在x轴的投影长度恰好比杆本身长 l 要短，此时压杆两端截面形心间产生了轴向位移，我们设其长度为九，杆在x轴的投影长度为l 儿。图a两端较支细长压杆失稳形态（考虑轴向位移）距原点为x的任意截面的挠度为 w ,弯矩M的绝对值为Fw。若只取压力F的绝对值，则 w为正

5、时，M为负值；w为负时，M为负时，M为正值。M与w符号相反，所以M = -Fw代入挠曲线精确微分方程得收稿日期：；修改日期：1）项目来源：甘肃机电职业技术学院二0一三年教学研究项目一细长压杆失稳问题新探（科研处登记号01）阶段性成果。2）本文所指的工程力学教材内容主要包括理论力学（静力学、运动学、动力学）和材料力学。d 2wFw -二0(1)1+但讦idx J匚代入上式，在上式中,EI四i与i相比很小可以省略则有1dx 1,2d w ,2 八5 k w = 0 dx2.2由式（1）省略l dw :得到式（2）的过程就是对挠曲线微分方程 线性化。dx（2）其特征根方程为r2 k2 =0r1 =

6、ikr2 = -ikhx ikxw1= e = ew1 =e,2x =eJkx 是(2)的解但它们是复值函数，将Euler 公式 ei J cos - i sin -代入上式得w1 = coskx i sin kx w2coskx - isin kx且丝二W2于是方程的通解为wAsin kx B coskx(3)由于（2）的解符合叠加原理，所以实值函数一1,w1 = w1 w2 = cos kx21.,w2 = w1 -w2 = sin kx还是（2）的解coskx 一 一，=cot kx不是常数sin kx将压杆左端边界条件 x = 0 , w = 0代入（3）得B = 0于是（3）式变为w

7、 = Asin kx设k2互代入（3）式日挠曲线方程为(4)w=Asin、Fx .EI2,细长压杆的两种直线平衡状态2.1稳定的直线平衡状态（4）可得如下关系:再假设发生前此时细长压杆没受力，没有产生变形,F =0, w 三0, A 三0, x=l；解(5)得(5)n2 二2EIF =-2 n =0,123l2但又有F =0所以只能是n = 0(6)2.2随遇平衡下的直线平衡状态此时细长压杆受最小临界压力Fcr并且其大小不为0,杆依然是直线状态，（4）可得如下关系:F=Fcr, w 三 0, A 三 0, x=l,Fcrsin . l 0:EI解(7)得l n2 二2EI -八Fcr = n

8、=1,2,3(7)要使Fcr最小，只能取n =1 ci于是最终有二2EIF 二cr2(8)3.细长压杆失稳变形挠曲线方程的确定因为刚度EI是常数，由最小临界值变形得Fcrl(9)代入挠曲线方程（4）得A 二 Fw = Asin xlFcr(10)取一阶导数得下面我们求图a中的儿值(11)dxdw图b从图a中的挠曲线取出的长为 dS的微段设沿挠曲线取一长为 ds的微段（图b,该段在X轴的投影为dx于是有 l九=0（ds-dx ）（12）ds = , dx2 dw221 1 dw '2<dxJdx(13)将（13）代入（12）,同时将（11）代入（12）1J'dw '

9、212 n2F,l 2 n ' F九=一I dx= - A 工cos xdx21bldx，2lFcr'0 l F FcrA2A2 二l Fcr+ 8 l(14)无论细长杆失稳变形成何种形状的挠曲线，杆在x轴的投影的所有点都在杆变形后的挠曲线上现在确定挠曲线的最大挠度wmax =Al考虑压杆中部边界条件x =时,2代入挠曲线（4）存在如下关系A = Asin lFcr2由（15）得代将（(16).二 Fl-' d于是有sin1l . Fcr 2(15)所以最大挠度为2,21 wmax - A -2FFcr挠曲线方程为2x21w =2FFcrTJTsin 2二Fcr'

10、; F crsin 二 Fx F l Fcr(17)当5 =Fc.，X1 ,代入（15）,将F = Fcr代入（16）式得A=0, w=0,九=0当w = 0 , A = 0代入(15)式得F = Fcr , X = 1当人=0 ,代入（16）得F =Fc. ci压杆受到临界力为随遇平衡直线状态对于挠曲线方程（17）充要条件为F=Fcr, x=1u w=0, A=0, 0=0,代入（17）得w = 0 ,符合压杆右端的边界条件综上（17）就是线性化的细长压杆失稳时的挠曲线方程。4.教材对压杆失稳变形挠曲线线性化方程推导存在误区图c两端较支细长压杆失稳形态（不考虑轴向位移）一般教材都以图c两端较

11、支细长压杆失稳形态不考虑轴向位移，建立细长压杆失稳变形挠曲线线性化方程，得到挠曲线 方程的通解为(18)w = Asin x Bcosx EIEI将左端边界条件x =0 , w =0代入（18）得B =0 于是（18）式变为w = Asin(19)再考虑右端的边界条件 x = 1 , w = 0代入（19）得(20)sin.!-l =0 ,EIA为不为零的常数（若 A = 0 , w = 0 ,不产生弯曲） 由（20）得n2-2EIF =一一（n =0,1,2,3 一）对应的挠曲线为w = Asin -x ln =0时，w = 0,不发生弯曲。n =1时，压力F为使两端较支压杆发生未弯变形的最

12、小力，即临界压力为二2EIF =cr i 2(21)临界压力对应弯曲变形为半个正弦波曲线w = Asin - x l（18） （21）是文献i3-71对细长压杆失稳变形挠曲线推导的过程，（21）就是文献分析：误区之一:对于（19）式，在x（18） （21）推导违背了最小临界压力下，压杆依然是直的规律=1 , w=0就有三种情况：13菖推导得到的挠曲线方程。，8'o假设杆长为1第一种情况,A=0,第二种情况,A#0, sin 1 =01.EI第三种情况,A = 0, sin . F 1 = 0EI（18）（21）是在第二种情况下得到的，因此存按照最小临界压力下，杆依然是直的观点，只有第三

13、种情况是成立的,在缺陷。（18）（21）的推导仅仅是从数学上单纯的理解为点（1,0庐（19）上，没有理解压杆在直线状态平衡的确切含义。误区之二：（18）（21）推导，给人造成一种错觉，既然在最小临界压力下，杆依然是直的，那又如何解释产生挠曲线（21） ?事实上，（21）与（19）没有任何关系，（19）是挠曲线方程没有错，（21）由（20）推出的压力F值代入（19）而2 _EI_得，在式（20）中的求出F值是最小临界压力 Fcr =一I !而非（19）中的F !12误区之三：假如杆长是1的话，我们发现图C的挠曲线（挠曲线就是细长压杆侧向弯曲的形态，所以挠曲线长为1 ）在x轴投影长为1 ,这是不可

14、能的，挠曲线在 x轴投影应该比杆长1要短！否则违反投影规律！5.线性化细长压杆失稳变形挠曲线存在的侧向弯曲平衡形式对于sinJFM =0求得的其他状态临界力 ,EIFcr22.n 二 EI n =2,3变形得EIFcrl2,代入（4）得w = Asin l :; Fcr(22)取一阶导数有dw 八 n 二 FAdx l . Fcrcosl ,FFx(23)cr进而=Fcrsin2n 二2A n .+8 lFFcrl时,2wmax = A存在如下关系代入挠曲线（22）兀2Fl(l - 1) n由（24）得FF1-1 n 12n 二 进而nn 二 A = Asin n二于是有sin 一于是存在如下

15、关系:(24)(25)222_2将土匚£ . A4 l Fcr 8 l代入（25）且 sin2nn F八 2、2lwmax - A -冗2nF n FFcr 二cLsin2nJIFcr(26):;x(27)2l ,n -1 n二(28)(27)表明当£上或-F关系未确定时,F Fcrw 二sin xn 二 ln2- 2EI(28)说明Fcr =-EL(n =2,3 层示压杆存在着稳定的侧向弯曲平衡,l2则压杆存在不稳定侧向弯曲平衡。6结论本文采用建立线性化挠曲线方程后，并考虑压杆失稳后两端截面形心产生轴向位移参数九，首次具体求解了细长压杆失 F_ F ,一 二2EI稳时最大

16、挠度，最大挠度与一叽或 有关。(17)是(27)中n =1的情况。最小临界力Fr =一L 与F造成的挠F Fcrl2曲线(17)是判断压杆是否为稳定直线平衡的标准，在工程上运用较多，所以具有一定意义。临界力n2 二 2EIFcr = n EI (n =2 3一卢F造成的挠曲线(27)是判断压杆是否为侧向弯曲稳定的平衡的标准。(28)则表小压杆l2，存在着某种侧向弯曲平衡。但无论是哪种形态的平衡，(17)与(27)都说明细长压杆失稳时挠度是伴随F与Fcr同时出现，同时消失，区或互是否为确定的关系是压杆存在稳定形态平衡的判断依据。F Fcr参考文献1美W.A.纳什.材料力学M赵志刚译.北京：科学出

17、版社，2002.2李世荣，孙云，刘平.关于Euler-Bernoulli梁几何非线性理论方程的讨论J.力学与实践2013, 35 (2)： 7780.3宋曦，赵永刚，马连生.材料力学M.北京：科学出版社，2010.4苏翼林.材料力学M.天津：天津大学出版社，2001.5单辉祖.材料力学问题、例题与分析方法M.北京：高等教育出版社，2006.6北京科技大学，东北大学.工程力学 材料力学(第4版)M.北京：高等教育出版社，2008.7殷有泉，邓成光.材料力学M.北京：北京大学出版社，1992.8张仲毅.细长压杆临界挠度确定性的简单解释J.力学与实践1992, 14 ( 5): 6062.9张仲毅.对“细长压杆临界挠度确定性的简单解释”结果的改进J.力学与实践1996, 18 (8): 60.10张仲毅.临界压力下压杆挠度的分析与讨论J.力学与实践1995, 17 (4): 7374.11薛福林.谈细长压杆稳定性问题J.力学与实践1995, 17 (5): 6566.12梁枢平，邹时智.也谈细长压杆稳定性问题J.力学与实践1997, 19 (4): 6769.13吴晓.细长压杆大挠度问题非