空间向量与立体几何__学习.探究.诊断(选修2_1)

1、第三章 空间向量与立体几何测试十一 空间向量及其运算AI 学习目标1 会进行空间向量的加法、减法、数乘运算.2会利用空间向量根本定理处理向量共线，共面问题以及向量的分解.3会进行空间向量数量积的运算，并会求简单的向量夹角.n 根底性训练、选择题1.在长方体 ABCD AiBiCiDi 中，BA BC=()(B) DiB11(A)ab c22(C)1 a1b c22(A) Di Bi(C) DBi(D) BDi2.平行六面体 ABCD AiBiCiDi中，M为AC和BD的交点，假设AB a, AD b, AA C ,那么以下式子中与 BiM相等的是()3在平行六面体 ABCD AiBiCiDi中

2、，向量 ABpAD.BD是()(A)有相同起点的向量(B)等长的向量(C)共面向量(D)不共面向量4. 空间的基底i, j, k，向量 a= i + 2j + 3k, b= 2i + j + k, c= i + mj nk,假设向 量c与向量a, b共面，那么实数 m+ n=()(A)1(B) 1(C)7(D) 75. 在长方体 ABCD AiBiCiDi 中，AB = 1, AD = 2, AAi = 3,贝U BD AC1 ()(A)1、填空题(B)0(C)3(D) - 36. 在长方体 ABCD AiBiCiDi 中，化简 AB AD AA1.7. 向量i ,j ,k不共面，且向量a =

3、 mi + 5j k, b= 3i + j + rk，假设a /r =.&平行六面体 ABCD AiBiCiDi中，所有的棱长均为 2,且AB CC>=；异面直线 AB与CCi所成的角的大小为 .9. i, j, k是两两垂直的单位向量，且 a = 2i j + k, b = i+ j 310. 平行六面体 ABCD AiBiCiDi中，所有棱长均为 i ,且/ AiAB = AD，贝U ACi的长度为.三、解答题ii.如图，平行六面体 ABCD AiBiCiDi 中，AB a, AD b,AAb,那么实数m=,2，贝U AB, CCik,贝U a b =./ AiAD = 60

4、°, AB 丄C , E为AiDi中点，用基底a, b, c表示以下向量(1) DBi, BE, AF ；(2)在图中画出DDi DB CD化简后的向量.i2.向量 a = 2i + j + 3k, b = i j + 2k, c= 5i + 3j + 4k,求证向量a, b, c共面.i3.正方体 ABCD AiBiCiDi中，棱长为i , E为CCi中点,B(i)求 ABi BC ;(2)求 AB BE, cos ABBE川拓展性训练14. 如图，点 A是厶BCD所在平面外一点， G是厶BCD的重心,一 1 - 一 一 求证：AG -(AB AC AD).3(注：重心是三角形三条

5、中线的交点，且CG : GE= 2 : 1)第三章 空间向量与立体几何测试十一 空间向量及其运算A1. D-1 1 112. CB1MB,BBMc-BDc- (ADAB)-a-bc.2 2223. C / AD1 AR B1D1 BD, AB1>AD1>BD共面.4. B c= a+ b = i + 3j + 4k = i + mj nk, m= 3, n= 4, m+ n= 1.5. C BD AC1 (AD AB) (AB AD AA) AD2 AB2 (AD AB) AA,| AD |2 |AB |2 0 3 .6.AB ADAAAC AA AC7.m 15, r15&

6、;120° 60°9.2.10. 5;|AC |2(ABh 2AD AA)22 2 2AB2 AD2 AA 2AB AD 2AD AA 2AB AA=1 + 1 + 1 + 0 + 2cos60°+ 2cos60°= 5.11. (1) DB1a bc;BE BA AA AE1a c2AB11a -2b c ；AFABBF AB BR B1F a1c -(BC2BB1)1a -2b -c2(2) DD1DBCD DD1 (CD DB)DD1 CBDD1D1A1DA,.12.解：设c：=ma+nb，那么2m3mn 5，解得 m 2，所以c= 2a b，所以

7、向量a, b, c共面.n 12n13. AB1BC1(AB BBi) (BC CG)AB BC1AB CC1 BB1 BC BB1 CC1 0 0 0AB1 BE(ABBB) (BC CE)AB BC ABCE BB1BC BB1CEIAB1I 2,|BE| wcosAB1,BEAB1 BE|AB；|BE|,10百.5i + 3j + 4k = m(2i + j + 3k) + n( i - j + 2k) =(2m n) i + (m n)j + (3m + 2n)k,14证明 AG AC CGCG iCEAGAC1 1 -(CB CD) -(CA AB 33 1 -(2CA AB AD)

8、 (AB AC AD).332 1 K(CB CD)1 -3CA AD)测试十二 空间向量及其运算1.2.3.I 学习目标 会进行向量直角坐标的加减，数乘，数量积的运算. 掌握用直角坐标表示向量垂直，平行的条件. 会利用向量的直角坐标表示计算向量的长度和两个向量的夹角.n 根底性训练、选择题3) , c = (0, 0, 2)，贝U a+ 6b 8c =()(B)( 14, 3, 35)(D)( 14, 3, 3)1. a = (2, 3, 1), b = (2, 0, (A)( 14, 3, 3)(C)( 14, 3, 12)2. 以下各组向量中不平行的是(3.(A)a = (1, 2, 2

9、) , b= ( 2, 4 ,(C) e= (2 , 3, 0) , f = (0 , 0 , 0) 向量 a= (2 , 1, 3) , b = ( 4 ,4)(A)2(B) 2(B) c= (1 , 0 , 0), d = ( 3 , 0 , 0)(D)g = ( 2 , 3, 5), h= (16 , 24 , 40) x),假设 a丄 b,贝U x=(C) 234.与向量一1, 2 , 2共线的单位向量是/ A /1 2 Z1(D)(A),-)和(,3 3 33122、十/1(C)(,)和(一，3 3 3385. 假设向量a= (1,入2) , b= (2, - 1, 2)，且a与b的

10、夹角余弦为一，那么入等于()922(A)2(B) 2(C) 2 或(D)2 或-5555二、填空题6. 点A(3, 2，1)，向量AB = (2, 1,5),那么点B的坐标为 , | AB |=7. 3(2, 3, 1) 3x= ( 1, 2, 3)，那么向量 x =.8. 假设向量 a= (2, 1, 2) , b= (6, 3, 2)，那么 cos<a, b> =.9. 向量a= (1,1, 0), b = ( 1, 0, 2)，且ka + b与2a b互相垂直，贝U k值是10. 假设空间三点 A(1, 5, 2) , B(2, 4, 1) , C(p , 3 , q+ 2)

11、共线，那么 p=, q =三、解答题11向量 a = (1, 1, 2) , b= ( 2 , 1, 1) , c= (2 , 2 , 1),求(1) ( a+ c) a;(2) | a 2b+ c|;(3) cos a+ b , c>.12. 向量 a = (2 , 1 , 0), b= (1 , 2, 1),(1) 求满足 m丄a且m丄b的所有向量 m.(2) 假设|m | 2 30 ,求向量m .13. 向量 a = ( 2 , 1, 2) , b= (1 , 2, 1) , c= (x , 5 , 2),假设 c与向量 a , b 共面, 数x的值.14. 直三棱柱 ABC A1

12、B1C1 的底面 ABC 中，CA = CB = 1, / BCA = 90°,棱 AA1 = 2 , M、N分别是A1B1 , A1A的中点。如图，建立空间直角坐标系.BiAf(1)求BN的坐标及BN的长;求cos Ba1,Cb1的值;(3)求证：AjB丄C1M .测试十二 空间向量及其运算BAD b =- 2a a/ b; d = - 3c d/ c;而零向量与任何向量都平行.C 4. A,a b682Ccos a,b:c2或|a|b|3、25955f71157(5,1, 6),307. x(,-,0)8.cos a,b9.-33215p= 3, q = 2(a c) a 12;

13、| a 2b c |.99 ； cos a b, c2x yx 2y，设 x= a,贝U y= 2a, z= 5a, 0m a 0(1)设m= (x, y, z)由得m b 0所以 m= (a, 2a, 5a)( a R).(2) | m | . a2 4a2 25a2 2.30，得 a=± 2,所以 m= (2, 4, 10)或 m = ( 2,- 4,- 10).因为c与向量a, b共面，所以设 c= ma + nb(m, n R)x2m nm 3(x, 5,2) = m(-2, 1,-2) + n(1,2, 1),5m 2n ,所以n 422m nx 10(1)解:依题意得B(

14、0,1, 0) , N(1,0 , 1), BN(1, 1,1)|BN| .(10)2(0 1)2 (10)2. 3 .解:A1(1, 0,2),B(0, 1, 0),C(0 , 0 , 0),B1(0 , 1 , 2),1.2.3.5.6.10.11.12.13.14. BA CB, 31 BA, I J6,|CB | y/5cos BA, CB,BA, CB,|BA,|CB1|30To-、 (3)证明：。(0, o, 2), m(2,2,2),一 一- A,B ( 口，2),C,M(了3，°) A,B GM 0 AB丄OM .测试十三 直线的方向向量与直线的向量方程I 学习目标会

15、写出直线的向量参数方程以及利用它确定直线上点的坐标.2会用向量共线定理处理四点共面问题.3会利用直线的方向向量和向量共线定理证明线线平行、线面平行，线线垂直、线面 垂直.4会利用向量求两条异面直线所成的角.n 根底性训练一、选择题向量OA= ，2, 0, OB = -，0, 6点C为线段AB的中点，那么点C的坐标为2.3.(A)(0 , 2, 6)点A( 2, 2,A2,普以下条件中，使点(B)( 2, 2 , 6)(C)(0, 1, 3)2 -4) , B( 1 , 5, 1),假设 OC - AB,那么点3 c 14 10142, , )(C) (2，333B , C一定共面的是()(D)

16、( - X- , 3)C的坐标为(A) DM 2OA(C) MA 2MB(B)(10)(D)(2,鶉)M与点A,OB OC(B) DMOA53OBoc2MC 0(D) OMOA OB OC 04.AD(D)-3正方体 ABCD 人怕心心,中，棱长为2, O是底面 ABCD的中心，E, F分别是 C6 的中点，那么异面直线 OE与FD,所成角的余弦值为A(0, 0, 0) , B(1 , 1 , 1) , C(1 . 2, 1)，以下四个点中在平面 ABC的点是( (A)( 2, 3, 1)(B)( 1, 1, 2)(C)( 1, 2, 1)(D)( 1 , 0 , 3)二、填空题6. 点 A(

17、1, 2, 0) , B( 2, 1, 3)，假设点P(x, y, z)为直线 AB上任意一点，那么直线AB的向量参数方程为(x, y, z) =，假设AP 2BP时，点P的坐标为 .12_7. A，B，C三点不共线，0是平面外任意一点，假设有 OP -OA -OB OC确定53的点与A, B, C三点共面，那么入=.&假设直线li/ 12,且它们的方向向量分别为a = (2, y, 6), b = ( 3, 6, z)，那么实数y +9. 正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为2, M是DC的中点，点 N在CC1上，且 D1M丄AN ,那么NC的长度为10. 正三棱柱 ABC A

18、1B1C1中，AB= AA1 = 2,贝U A1C与BC1所成角的余弦值为 三、解答题11.直三棱柱ABC A1B1C1 中，/ ACB = 90°, AC = BC = CC1 = 1.EF丄平面PCD.(1)求异面直线AC 1与CB1所成角的大小;证明：BC1丄AB1 .12. 如图，四棱锥 P ABCD的底面为正方形，PA丄平面ABCD , PA = AD, E, F分别是AB, PC的中点.求证:13. 如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1 中，AC = BC= CC1,AC丄BC,点D是AB的中点.(1)求证：ACi /平面 CDBi；(2)求异面直线ACi与BiD所成的

19、角的大小.BB1D1D .14. 正方体 ABCD AiBiCiDi中，M , N分别是 AB, AiDi的中点，求证：MN /平面Ol测试十三 直线的方向向量与直线的向量方程i. C 2. B 3. C MC MA 2MB .4. B如图，建立空间直角坐标系D xyz, FDi ( i,0,2),OE(1,1,1),|cosFDi,OE |.155. D AD 2AB AC所以向量AD,AB, AC共面，点(1, 0, 3)在平面ABC.6. (x,y,z)= (1, 2,0) +1( 3, 1, 3) ; ( 5,0, 6)，此时 t = 2.2127. -；因为1$1.1553&

20、 5. 9. 1.110. 如图，建立空间直角坐标系 O xyz,4那么 CA (31,2),BG( . 31,2), 1| cos CAi, BCi |4(1) ACi( 1,0,1),CBi(0,1,1),1)cos AC1, BC1异面直线AC1与CB1所成角为60° BG(0, 1,1), AB1( 1,1,1),得 BC1 AB10，所以 BC1 丄 AB1. E为AB的中点，F为PC的中点, E(1 , 0, 0) , F(1, 1, 1), EF(0,1,1)0) , P(0, 0, 2), CD ( 2,0,0), CD EF ( 2,0,0) (0,1,1) 0 E

21、F 丄 CD ./ PD (0,2, 2),PD EF (0,2, 2) (0,1,1) = 0 /. EF 丄 PD.因为PD n CD = D,. EF丄平面 PCD .13.解：如图，建立空间直角坐标系C xyz.设 AC= BC= CCi= 2，那么 C(0, 0, 0) , A( 2, 0, 0),B(0, 2, 0) , Ci(0, 0, 2) , Bi(0, 2, 2), D(1 , 1 , 0).(1) 设BC1与B1C的交点为E,那么E(0, 1 , 1).- DE ( 1,0,1),AC1( 2,0,2),1_二 DE AG, DE / AC1.2DE 平面 CDB1, A

22、C1 平面 CDB1,. AC1 / 平面 CDB1.(2) 设异面直线AC1与B1D所成的角为，AG =( 2, 0, 2) , B1D =( 1 , 1, 2),COS| cos AG ,B1D |-2,所以=30°异面直线AC1与B1D所成的角为30°c b -(b a)2 2BD AA ,214.设 AB a, AD b,AA c那么 MN MA AA AN因为MN 平面BB1D1D ,所以MN /平面BB1D1D .测试十四 平面的法向量和平面的向量表示I 学习目标1. 会求平面的法向量.2 .会利用平面的法向量证明两个平面平行和垂直问题.n根底性训练一、选择题1

23、. 过点 A(2 , 5 , 1)且与向量a = ( 3 , 2 , 1)垂直的向量()(A)有且只有一个(B)只有两个且方向相反(C)有无数个且共线(D)有无数个且共面2. 设平面 两个向量的坐标分别为(1 , 2 , 1), ( 1, 1, 2),那么以下向量中是平面 的法 向量的是()(A)( 1, 2 , 5)(B)( 1 , 1, 1) (C)( 1 , 1 , 1)(D)( 1, 1, 1)都垂直，且|a | ：3，那么a=()4.5.6.7.9.(A)( 1 ,1,1)(C)( 1, 1, 1) 丄，平面=()(A)-3平面的法向量为(A)AB、填空题 /,平面z),贝U z=如

24、图，在正三棱锥(B)( 1 , 1 , 1)(D)( 1, 1, 1)或(1 , 1, 1)与平面的法向量分别为 m= (1, 2 ,(B) I7(C)33) , n = (2, 3 入，4)，那么入(D) 3m，假设向量AB(B) AB /m，那么直线AB与平面的位置关系为()(C) AB或 AB/(D)不确定与平面的法向量分别为m , n ,且m = (1, 2, 5) , n = ( 3, 6,ABC的一个法向量可以是S ABC中，点 O是厶ABC的中心，,平面SAD的一个法向量可以是点D是棱BC的中点，那么平面假设 A(0, 2, 1) , B(1 , 1 , y , z),贝U x

25、: y : z=如图AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆O上非A , B的任意一点, 那么图中直角三角形共有的三点，设平面的法向量a = (x ,三、解答题10.正方体ABCD A1B1C1 D1(1)在图中找出平面 ABCD,平面ADD 1A1 ,平面BDD1B1的一个法向量;11. 如图，四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD为矩形，PD丄底面 ABCD , AD = PD = 2. AB =4, E, F分别为CD,PB的中点.求平面AEF的一个法向量的坐标.12. 如图，在正四棱柱 ABCD AiBiCiDi 中，AB = 2, AAi= 4, E, F , M , N

26、分另是 AiDi, DiD, BC, BBi 的中点.求证：平面EFCi/平面AMN .13. 正方体 ABCD AiBi C1D1 中，P, M , N 分别是 DC , CCi, BC 中点. 求证：平面PAiA丄平面MND .测试十四 平面的法向量和平面的向量表示1. D 2. B 3. D 4. C 5. C 6. 157. OS； BC& x : y : z= 2 : 1 : 3 9. 4 个， PAC,A FAB, ABC, PBC10.解：(1)由正方体可得：DDi丄平面ABCD , AB丄平面ADD1A1 ,平面ABCD的一个法向量为 DD1 ,平面ADD 1A1的一个

27、法向量为 AB ,连接AC, AC丄BD , AC丄BB1，得AC丄平面BB1D1D ,平面BDD1B1的一个法向量为 AC .(2)如图，建立空间直角坐标系可得 D1(0, 0, 2) , A(2, 0, 0) , B(2, 2, 0) , C(0, 2, 0).DD1(0,0,2), AB(0,2,0), AC ( 2,2,0)11.如图，建立空间直角坐标系2,2),AE(2, 2,0), AF (2, 1,1),2x2x2y 0，令 x= 1,得 y= 1, z= 1, m = (1, 1, 1).y z 012.如图,建立空间直角坐标系D xyz,可得 A(0, 2, 0) , B(4

28、,E(2, 0, 0) , F(2, 1, 1).平面AEF的一个法向量为 m = (x, y, z),4),可得A(2,Di(O, 0,M(1 , 2, 0) , N(2, 2, 2).平面EFCi的一个法向量为m = (x, y, z),ECi( 1,2,0), EF (1,0, 2),ECi m 0x 2y 0一，所以，EF m 0x 2z 0令 y = 1,得 x= 2, z=- 1, m = (2, 1, 1). 设平面AMN的一个法向量为 n = (a, b, c).a 2b 0AM ( 1,2,0), AN (0,2,2)，所以 “ c c2b 2c 0令 b = 1,得 a =

29、 2, c= 1, n= (2, 1, 1). 因为m= n,所以平面 EFC1/平面AMN .13.如图，建立空间直角坐标系D xyz，设AB= 2,c.4,代ok;.以A 8rVf占可得 A(2, 0, 0) , B(2, 2, 0), C(0, 2, 0) , B1(2 , 2 , 2),C1(0 , 2 , 2) , P(0 , 1, 0) , M(0 , 2 , 1), N(1 , 2 , 0).平面PA1A的一个法向量为 m= (x , y , z),AA (0,0,2), AP ( 2,1,0),2z 0,令 x= 1,得 y = 2 , m= (1, 2 , 0),2x y0同

30、理，平面 AMN的一个法向量为 n = (a , b , c),a 2b 0DN(120),DM阳)，所以 2b c 0令 b = 1,得 a =-2, c=- 2, n = ( 2, 1, - 2). 因为m n = 0，所以m丄n ,所以平面 PAiA丄平面MND .测试十五 直线与平面的夹角、二面角I 学习目标1. 会利用定义求直线与平面的夹角，二面角.2. 会利用平面的法向量求直线与平面的夹角，二面角.3. 会根据所给的几何体，合理的建立空间直角坐标系解决相关角度问题.n 根底性训练、选择题n1假设直线I与平面 成角为一，直线a在平面3a所成的角的取值围是(A) (0,33B自，且直线

31、I与直线a异面，那么直线I与直线c【n nDo,m2 .二面角一l -n的大小为一，异面直线a, b分别垂直于平面3b所成角的大小为)nnn(A)-(B)-(C)632,，那么异面直线(D)a,3.正方体 ABCD -A1B1C1D1中，BC1与平面BDD1B1所成角的大小为nnnnABCD 64324.正方体 ABCD - A1B1C1D1中，点E为BB1中点，平面 A1EC与平面ABCD所成二面角的 余弦值为5.A乎abcd为正方形, B重合后的点为E是AB中点，将 DAE和厶CBE折起，使得P,D¥AE与BE重合，记A,a n6二、填空题6.设ni, n2分别为一个二面角的两个

32、半平面的法向量，假设m 3 n，那么此二面角的&9.大小为.7.棱长为i的正方体 ABCD AiBiCiDi, P是棱CCi上一点，CP = m,且直线 AP与平面2/2BBiDiD所成的角的正弦值为萨，贝V m =.正四棱锥的底面边长为 4,侧棱长为3，那么侧面与底面所成二面角的余弦值为 .在三棱锥 O ABC中，三条棱 0A, OB, OC两两互相垂直，且 OA= OB = OC , M是AB 的中点，贝U OM与平面ABC所成角的余弦值是 .iO.如图，正三棱柱 ABC AiBiCi的所有棱长都相等， D是AiCi的中点，那么直线 AD 与平面BiDC所成角的正弦值为三、解答题A

33、i EC B的余弦值.12正方体11.正方体 ABCD AiBiCiDi的棱长为2, E, F分别为 AD, AB的中点，求BCi与平面 AiEF 所成角的大小.13. 正三棱柱 ABC AiBiCi中，AB= BBi , D是BC的中点,(1) 求直线BBi与平面ACiD所成的角余弦值;(2) 求二面角C ACi D的大小.(1) 求AC与平面SBC所成角的大小.(2) 求二面角 A SC B的大小.测试十五直线与平面的夹角、二面角i. C 2. B3. A 建立空间直角坐标系，平面 BDDiBi的法向量为 AC .4. C5. C EP 丄 PD , EP 丄 PC,/ DPC 是二面角

34、D PE C 的平面角，且 PD = PC = CD，二面n角的平面角的大小为-.36.7.m 丄.建立空间直角坐标系2D xyz，设 P(0, i, m)，得 AP = ( i, i, m)，平面BBiDiD的法向量为 AC =( i , i , 0)，设AP与平面BBiDiD所成角为，贝U sin =10.那么 Ai(2,0),Ci(0, 2,2), BG( 2,0,2),EF(1,1,0),AE (1,0, 2).设平面A1EF的法向量为m = (x.y, z),|cos AP,AC I 22务2Jm 232 59.-33 以为原点，OA, OB, OC分别为x, y, z轴建立空间直角

35、坐标系，设OA = 2,得3OM = (1, 1, 0)，平面 ABC 的法向量为 m = (1, 1, 1)，那么 |cos OM,m | 64511. 解：如图,那么x y 0x 2z 0令 z= 1,那么 x=- 2, y= 2，所以m= ( 2, 2, 1).设BC1与平面A1EF所成角为 <2那么 sin |cos m,BC1 |,BC1与平面A1EF所成角的大小为因为DD1丄平面EBC,13.设平面AiEC的法向量为 m= (x, y, z),EC ( 2,1,0), AE (0,1, 2)，那么y令 z= 1,那么 y= 2, x= 1,所以 m= (1,2x y 02z

36、02 , 1), cos m,DD1因为二面角 A1 EC B为钝角，所以二面角 A1 EC B的余弦值为|m|DD1|66 解：取BC的中点D,设 AB= BB1= 2,AC. 3,0,0) , B(0, 1, 0) , C(0, 1, 0) , C1(0 , - 1, 2), (1)设平面AC1D的法向量为m = (x, y, z),da (一 3,0,0),DC(0, 1,2),那么 0令 z= 1,那么 y= 2,所以 m= (0 , 2 , 1).y 2z 0设直线BB1与平面AC1D所成的角为,Bq (0,0,2),那么 sin | cos m, BB1m BB1| 1|m|BB1

37、|半，所以AC与平面SBC5所成角的余弦值出25(2)设平面ACC1的法向量为n = (x, y, z)AC (3, 1,0),CC1(0,0,2)，那么3x y 0z 0令 x= 1,那么 y . 3 ,所以 n (1, .3,0),cos m, nm n|m| n|155因为二面角c AC1 D为锐角，所以二面角 a sc b余弦值为书514. 解：如图，建立空间直角坐标系 B xyz，设AB= 1 ,那么 B(0, 0, 0) , A(0, 1 , 0) , C(1, 0, 0) , S(0, 1 , 1).(1)设平面SBC的法向量为 m = (x, y, z),SB (0,1,1),

38、BC(1,0,0)m = (0, 1, 1).那么丫 z 0 令z= 1，那么y= 1，所以x 0设AC与平面SBC所成角为，AC (1, 1,0),那么 sin | cosm, ACm AC|m|AC|nAC与平面SBC所成角为一.6(2)设平面ASC的法向量为n = (x,y，z)，AS (0,0,1), AC (1, 1,0)那么令 x= 1，贝U y= 1，所以 m= (1, 1,0),cos m, nm n|m| n|n因为二面角A SC B为锐角，所以二面角 A SC B为3测试十六距离(选学)I 学习目标1. 掌握点到直线距离，点到平面的距离的向量公式.2. 会求两点之间的距离，

39、点到直线的距离，点到平面的距离，直线到平面的距离.n 根底性训练3.、选择题a , A(A) m> n正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为1, 长为()(A) g(B)2，点A到平面 的距离为m,点A到直线a的距离为n,那么(C) mW nM是棱A1A的中点，(B) m> n(C)、2矩形 ABCD 中，AB = 3, BC = 4, PA丄平面 ABCD , FA= 1 ,(D) m v nO是BD1的中点,v'6(D)g那么P到矩形对角线)MO的BD的距离()131711(A)(B)(C).29(D)1295525 '4. 直线a/平面 ，且a与平面 的距

40、离为d,那么到直线a的距离与到平面的距离 都等于d的点的集合是()(A) 一条直线(B)三条平行直线(C)两条平行直线 (D)两个平面5. 如图，正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为1, O是底面 A1B1C1D1的中心，贝U O到平面ABC1D1的距离为()1(A)-2Db(C)¥(D)-3、填空题6棱长为4的正方体一点P,它到共顶点的三个面的距离分别为1 , 1 , 3,那么点P到正方体中心0的距离为.7.线段AB在平面 夕卜，A, B两点到平面 的距离分别为1和3，那么线段AB的中点C到 平面的距离为.&二面角 一I 为60°,点A ,且点A到平面 的距

41、离为3,那么点A到棱I的距离为9. 正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为a，那么直线BC到平面AB1C1的距离为 .10. 如图，正方体的棱长为 1, C, D分别是两条棱的中点， A, B, M是顶点，那么点 M到截面ABCD的距离是三、解答题11.正四棱柱ABCD A1B1C1D1 中，AB= 2, BB1 = 4,点 E, F 分别是 CC1,A1D1的中点.(1) 求EF的长；(2) 求点A到直线EF的距离.(1) 求证：BD /平面EFG，并求出直线 BD到平面EFG的距离;(2) 求点C到平面EFG的距离.13. 长方体 ABCD AiBiCiDi 中，AD= 1 , AB=

42、 2, BBi= 3. 求两个平行平面 ABiDi与平面BDCi之间的距离.14. 如下图的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面 AECiF所截面而得到的，其中AECiF 为平行四边形且 AB = 4, BC = 2, CCi= 3, BE= 1 .(1) 求BF的长；(2) 求点C到平面AECiF的距离.测试十六 距离(选学)1. C 2. B 3. A 4. C 5. B6. 3以共顶点的三条棱为坐标轴建立空间直角坐标系，可得点P的坐标为(1, 1, 3),中心 O 的坐标为(2，2，2)，所以 PO (1,1, 1),|PO |,3 .7.1或2分A, B两点在平面 同侧和异侧两种情况

43、讨论.9.10.2 a2 -如图，建立空间直角坐标系，可得AM =(0, 1, 0)，平面ABCD的法向量为m =3(2, 2, 1),d |AM m| 2|m|311.解:22( 2)23.那么 A(2, 0, 0) , E(0, 2, 2) , F(1 , 0, 4).EF =(0, 2, 2)，所以 | EF |. 12AF(1,0, 4), | cos AF, EF1 3717 .所以 sin AF EF2、263J7，d |AF|sin AF,EF | V，即点A到直线EF的距离为2 . 26 3J7312.解：1因为E, F分别为棱 AB, AD的中点，所以EF / BD .又EF

44、 平面EFG , BD 平面EFG，所以BD /平面 EFG .如图建立空间直角坐标系，那么 A( .2 , 0, 0) , B(0,、2 , 0),D(0 ,-.2 , 0),一 、22 m匚/2.2 °、S(0, 0,.2 ) , E(-0),F(-, ,0),222242逅、G(0,).2 2设平面EFG的法向量为m= (x , y , z),EF(0,2,0),EC¥，o，¥可得 m= (1, 0, 1),EB 孚，#,。，所以点B到平面EFG的距离为d 1 EB m 1-22，|m|2即直线BD到平面EFG的距离-.2EC攀 $0，d|EC m| 3|m

45、|213.如图，建立空间直角坐标系D xyz，那么 A(1, 0, 0) , B(1 , 2, 0) , Bi(1, 2, 3) , Di(0,0, 3) , Ci(0, 2,3),设平面 ABiDi 与平面 BDCi 的一个法向量为 m = (x, y, z) , AD1 (1, 0, 3), DB1 = (1 , 2, 0).x 3z 0nt，设 x= 6，贝U y= 3, z= 2,x 2y 0所以 m = (6, 3, 2).平面AB1D1与平面BDC1之间的距离等于点到 B平面AB1D1的距离，AB = (0, 2, 0),所以d 1 AB m 16 .平面ABiDi与平面BDCi之

46、间的距离等于 -|m|7714.解:那么 D(0, 0, 0) , B(2, 4, 0),ni= (x, y, z).A(2, 0, 0) , C(0, 4, 0) , E(2, 4, 1) , Ci(O, 4, 3). 设，F(0, 0, z). AECiF为平行四边形，- AF ECi , ( 2, 0, z) = ( 2, 0, 2) z= 2. F(0, 0, 2) . BF = ( 2, 4, 2) , | BF | 2 6 .由厲niAEAF0 ,得 4y z 0,02x 2x,设 y= i,贝U x= 4, z= 4 ,0(2) 设ni为平面AECiF的法向量，显然 ni不垂直于

47、平面 ADF , 所以设又 CCi (0,0,3), d|ni |4-33 C到平面 AECiF的距离为4. 33测试十七角和距离的综合运算(选学)I 学习目标会建立适当的坐标系处理角度和距离的综合问题.n 根底性训练解答题1 如图，长方体 ABCD AiBiCiDi 中，AB= BC = 1 , BBi = 2,连接 BiC,过 B 作 BiC 的垂 线交CCi于E,交BiC于F,(1) 求证：AiC丄平面EBD;(2) 求点A到平面AiBiC的距离：(3) 求直线DE与平面AiBiC所成角的正弦值.2. 四棱锥 P ABCD的底面为直角梯形， AB / DC,/ DAB = 90°

48、;, PA丄底面ABCD , 且 FA = AD = DC = AB i , M 是 PB 的中点。(1) 证明：平面 FAD丄平面PCD ;(2) 求AC与PB所成的角的余弦值；(3) 求平面AMC与平面PMC所成二面角的余弦值.3. 如图，在直三棱柱 ABC AiBiCi 中，/ ABC= 90°, AB = BC = BBi= i,点 D 是 AiC 的 中占I 八、(i) 求AiBi与AC所成的角的大小;(2) 求证：BD丄平面ABiC;(3) 求二面角C- ABi- B的余弦值.(2) 求二面角A- AiD B的余弦值;(3) 求点C到平面AiBD的距离.5. 在三棱锥 S

49、 ABC中， ABC是边长为 4的正三角形，平面 SAC丄平面 ABC, SA= SC(1) 证明：AC丄SB;(2) 求二面角N CM B的余弦值;PB 丄 BC, PD 丄 CD，且等？假设存在，确定点5(3) 求点B到平面CMN的距离.6. 如图，四棱锥 P ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形, PA= 2, E为PD中点.(1) 求证：PA丄平面(2) 求二面角E AC D的余弦值;(3) 在线段BC上是否存在点F，使得点E到平面PAF的距离为F的位置；假设不存在，请说明理由.测试十七角和距离的综合运算选学1解：如图建立空间直角坐标系A xyz.1(1) A(0, 0, 0,

50、) , Ai(0, 0, 2) , E(1, 1 , - )B(1, 0, 0), D(0, 1, 0) , C(1, 1 , 0),21AC (1,1, 2),BE(0,1,2),DE(1,0,二).AC BE 0,AC DE 0,AC BE,ACDE,即 A1C丄BE , A1C丄 DE . BE n DE = E 所以 A1C 丄平面 EBD .2设平面A1B1C的一个法向量为 m = x, y, z,那么，竺mB1C m0，令 z= 1,得 m= (0, 2, 1).2zAA=(0, 0,2),所以，所求的距离为|AA m|m|55.(3)由(2)知，m= (0, 2, 1) . ED1,0,2),设ED与m所成角为，那么 sin|cos m, ED|m ED|m|ED|1所以直线ED与平面A1B1C所成角的正弦值为 一 52.解一：1 / FA 丄底面