整理复杂应力状态强度问题

1、复杂应力状态强度问题-4试比较图示正方形棱柱体在下列两种情况下的相当应力fr3 ,弹性常数E和oc均为已知。(a)棱柱体轴向受压；(b)棱柱体在刚性方模中轴向受压。"(a)解：对于棱柱体轴向受压的情况(见题图 a),三个主应力依次为由此可得第三强度理论的相当应力为(a)(b)解：对于棱柱体在刚性方模中轴向受压的情况(见题图 图8-4所示，然后计算其应力。b),可先取受力微体及坐标如图4由图8-4可得6V =根据刚性方模的约束条件，有1& =E 以4卬+&)=。 即仪=M q+。)注意到& 二队故有三个主应力依次为“一汗一 叱 43 -1f 一 (T1(1由此可

2、得其相当应力为(b)1 2* =所 3 =1(1比较：按照第三强度理论，(a)、(b)两种情况相当应力的比值为63( a)1r 二 二43( b)12卜r >1 ,这表明加刚性方模后对棱柱体的强度有利。门=170MPa 。试校核梁的强度。如危险点处于复杂应力状态，采用第三强度理论校核强度。解:由题图可知，B ,截面为危险截面，剪力与弯矩均为最大，其值分别为-5 图示外伸梁，承受载荷 F = 130kN作用，许用应力Fs = F =130kN, M =Fl2= 130 103N 0.600m = 7.80 104 N © m2.几何量计算WZ =0.122 0.2803 (0.1

3、22 0.0085) (0.280 2 0.0137)312 57.07 10 m3 = 5.05 10 4 m30.14012m4 = 7.07 10 5 m4Sz(b) = 0.122 0.0137 (0.140。口；33 = 2.23 10 4 m3 = 2Sz Sz,max =2.23 10 4 十;0.0085 (0.140 0.0137)2 m 3 = 2.90 10 4 m3式中的足标b,系指翼缘与腹板的交界点，足标a系指上翼缘顶边中点。三个可能的危险点(a、b和c)示如图8-5。b图a3.应力计算及强度校核点a的正应力和切应力分别为二闻 7.80 104 NWz5.05 10

4、4 m21.545 108Pa = 1545 MPa_ Fs Sz ( a) 130 1 03 1.115 1 0 4NT- I zt - 7.07 10 5 0.0137m21.496 107 Pa = 14.96 MPa该点处于单向与纯剪切组合应力状态，根据第三强度理论，其相当应力为r 3 =2 4 2 154.52 4 1 4.962 MPa = 157.4MPa < 点b的正应力和切应力分别为M |yb"7T7.80 104 (0.140 0.0137)N7.07 10 5 m2=1.393 108 Pa = 139.3 MPaFsSz(b)130 103 2.23dQ

5、F 2s z,maxT=I z &_3 _4130 103 2.90 10 N7.07 10 5 0.0085m 2=6.27 107Pa = 62.7 MPaN = 4.82 107 Pa = 48.2 MPaI z67.07 10 5 0.0085m2该点也处于单向与纯剪切组合应力状态，其相当应力为r 3 = ,139.3 2 4 48.2 2 MPa = 169.4MPa ：；：点c处于纯剪切应力状态，其切应力为解：1.分析内力由于A - A为圆形截面，其任一直径均为主形心轴，故载荷其相当应力为r 3 = 2 = 2 62.7MPa = 125.4MPa结论：该梁满足强度要求。4

6、.强度校核依据第三强度理论，上述三点的相当应力依次为皈 a)=.色=155.9 ( 1.44) MPa = 157.3 MPa0r3( b) = 154.4 ( 15.05) MPa = 169.5 MPa皈 c) = 2 b 2 62.7 MPa = 125.4 MPa它们均小于许用应力，故知该梁满足强度要求。图示曲柄轴，承受载荷 F = 10kN作用。试问当载荷方位角 I为何值时，对截面A-A的强度最为不利，并求相应的相当应力I；。F无需分解，可直接用以分析内力。根据平衡关系，截面 A - A上的剪力、弯矩和扭矩值(绝对值)分别为Fs =F = 10 kN，M = Fl = 10 . 10

7、3 . 0.070 N © m = N © m 700T =Facos8由此可见，F的方位角9对剪力和弯矩值并无影响，它只改变扭矩的大小，当 9 = 0时扭矩 取最大值，对截面 A - A的强度最为不利，其值为Tmax - Fa = 10 103 0.240 N 二 m = 2.40 103 N 二 m2 .计算相当应力截面A - A上铅垂直径的上、下点为可能的危险点，按照第三强度理论，其相当应力为_ M 2 Fax 327002 （2.40 103 ）2 N%= W =- 0.0603m1= 1.179 108Pa = 117.9MPa(a)由于是短粗轴，弯曲剪力产生的切

8、应力应予考虑，这时截面 为又一个可能的危险点，该点处的正应力为零，而切应力则为A - A上水平直径的左端点,16Tmax max p= 1 + 0 = -y Tid_ 16 2.40 103一 ( 死 0.0603其相当应力为4 4Fs3 -16 10 103 N)3兀 0.0602 m2=(56.6 4.72) 106 Pa = 61.3 MPa年3 = 2r= 2 61.3 MPa = 122.6 MPa（b）比较式（a）和（b）可知，该轴真正的危险点是截面A - A上水平直径的左端点，其相当应力如式（b）所示。顺便指出，本题计算相当应力的另一种方法是先求。）、理），再求 生口）。这里的口

9、从截面A- A上左边水平半径量起，以顺钟向为正。将年3（口）对口求导，寻找其极值位置，找到的极值位置是 口 = 0,由此确定的危险点同上述真正的危险点，相当应力当然也同式（b）。-9图示某段杆的弯矩My与Mz图，它们均为直线,且其延长线分别与x轴相交于c和d点。试证明：如果 c,d点不重合，则该段杆的总弯矩M图必为凹曲线。题8-9图证明：本题用几何法证明比较简便而直观。证明要点如下：1 .将题设M y图线和M z图线画在图8-9（a）所示的三维坐标系中（图a中的直线61 f1和e2 f 2）。2.画总弯矩（合成弯矩）矢量M的矢端图e3 f3 （它为两个坐标平面的两个垂面 ee3 f3 f1与e

10、2e3 f 3 f 2的交线。）3,将矢端图e3 f3向坐标平面M yOM z投影，得其投影图线ef。ef直线上任一点与原点O的连线，即代表某一截面总弯矩的大小（为清楚起见，参看图 b）。4 .将M由大（Ma ）到小（Mmin ）、又由小到大（ M ）连续变化的函数关系画在平面坐标系xoM中，即成图（c）所示之凹曲线。-10图示齿轮传动轴，用钢制成。在齿轮力Fz = 10kN;在齿轮2上，作用有切向力 F'y =1上，作用有径向力 Fy = 3.64kN、切向5kN、径向力 F'z = 1.82kN。若许用应力=100MPa，试根据第四强度理论确定轴径。题8-10图解：将各力向

11、该轴轴线简化，得其受力图如图8-10 （a）所示。内力图（M z、分别示如图（b）、（c）和（d）。BT图以1。由内力图和8-9题所证明的结论可知，截面B和C都可能为危险面。对于截面B，总弯矩为M b = 10002 3642N 二 m 二 1064(a)对于截面C，总弯矩为M c =、'2272 + 5682N 二 m 二612(b)比较式（a）和（b）可知，截面B最危险。由第四强度理论的强度条件面 + 0.75T 232 M b 0.75T 26 4 d得该轴的直径为d ；3 32. M ； 0.75T 2 冗值二 5.19 10 2 m = 51932 10642 0.75 -

12、100026 m九 100 106mm-14 图示圆截面钢轴，由电机带动。在斜齿轮的齿面上，作用有切向力Ft = 1.9kN、径向力Fr = 740N以及平行于轴线的外力 F = 660N。若许用应力=160MPa，试根据第四强 度理论校核轴的强度。题8-14图解：1.外力分析将力F、Fr、Ft向轴AD的轴线简化，得该轴的计算简图如图8-14(a)所示。图中,M zC = FR = 660 0.100 N 二 m = 66.0N 二 mM A = M C =FtR = 1.9 103 0.100 N m = 19Q0 N© mtMON.m一1金.0 N*mJ«ON740 N

13、55.2 N-m10.81900N950NQ50N57.0 Nui叫图4142 .内力分析根据图（a）,可画轴力、扭矩及弯矩图如图（b）、（c）、（d）和（e）所示。由内力图可知，截面 C为危险截面，该截面上的轴力、扭矩及总弯矩值依次为Fn=F = 660 N （压），T = 19Q0 N © m= V57.0 2 十 55.22 N晶 m =N m3 .强度校核危险面上危险点处于单向与纯剪切组合应力状态，其正应力和切应力分别为32 79.34 660 N兀 0.0253 兀 0.0252）m2=5.30 107 Pa = 53.0 MPa （压）T 16 190.0 N7t= -

14、=002532 = 6.19 10 Pa = 61.9 MPa将其代入第四强度理论的强度条件，有“ =" 02 + 3卷=<53.02 + 3 61.92 MPa = 119.6 MPa < o可见，该轴满足强度要求。-16图示等截面刚架，承受载荷F与F'作用，且F' = 2F。试根据第三强度理论确定F的许用值F。已知许用应力为,截面为正方形，边长为 a,且a = 1/10。题8-16图解：1.寻找危险面为了寻找危险面，首先需画出内力图。在图 8-16(a)所示坐标下，由 F产生的内力示如 图(b)和(c);由F 2产生的内力示如图(d)、(e)和。<

15、;8)从内力图上不难找到可能的危险面有两个：截面A和截面C+。4 .确定F的许用值截面A为弯、拉组合(危险点处于单向应力状态)，由强度条件=6 4Fl F = 241F°max _ a3a - -a(a)F 8 a- = 4.15 10 3 oa 2 = 4,15 10 5引 2241截面C沙弯（有M y、M z ）、拉、扭组合，可能的危险点为 d和e （见图g）,点f的扭转切应力虽然与点 d的一样大，但其弯曲正应力只是点d的一半，故可将它排除在外。对于点d ,正应力和切应力依次为6 2FI FZ I -.=百二由第三强度理论的强度条件222% 4为3aTb b2 一a2FI0.20

16、8a31215a=96.2 F aF2 ,1212 4 96.22 = 227与、.同 aa对于点e,切应力为零,：4.41 10 3 da2由弯、拉组合(点6 2FI 6 Fl二aar=4.41 10 5矶 2e处于单向应力状态）的强度条件181与6 同a(b)5 5.52 10 3血2=5.52 10 5矶 2(c)比较式（a）、（b）和（c）,最后确定F的许用值为F = 4.15 10 5矶 2-17图示圆截面圆环，缺口处承受一对相距极近的载荷F作用。已知圆环轴线的半径为R,截面的直径为 d,材料的许用应力为 ,试根据第三强度理论确定载荷F的许用值。题8-17图解：1.分析内力本题为反对

17、称问题，可取半个圆环来分析。例如取右半圆环，示如图8-17 。图犀17由图可得M （口）=FRsinn ,| T。）= FR（1 coS!）2.求相当应力根据第三强度理论，截面 口危险点处的相当应力为M 2（i【）T2（【）FRsin2（1-cos【）20r3 -3 .求来的最大值由得极值位置为WWFR J2 2co犯一 W退二0dllJii - 180°(a)(b)进一步分析可知，该极值位置使为0r3取得极大值，即截面 A为危险截面，其危险点的相当应力2FR 64FRW 一 / 3(c)4 .确定F的许用值 将式（c）代入强度条件63, max同得载荷F的许用值为 4dd3门 d-

18、164R 20.4R20R图示结构，由轴 AB与梁CD组成，并在截面 D承受集中载荷F作用。已知载荷F = 1kN ,弹性模量 E =210GPa,切变模量 G = 0.4E。试:(1)根据第三强度理论计算轴内危险点处的相当应力；(2)计算截面D的转角与挠度。9 ,20 嬴不题8-18图解：(1)计算相当应力此为六度静不定问题，但有对称性可以利用。将载荷F向轴AB的轴线简化，得力 F和矩为M e的力偶，示如图8-18 (a)。根据叠加原理，可将 F多余内约束，得相当系统如图据此，并利用对称性，可画出Ml和M e分开考虑。仅考虑 F时，利用对称性，可在截面 C处解除（b）所示。（图中只画了左边一

19、半）。由变形协调条件EI 2EI2a二0Fa4M图（见图c ）。M e的一半，即仅考虑M e时，由对称性可知，两端的支反力偶矩相等，并等于M Ax =Mbx =M e =1Fa22据此，并考虑到扭矩的符号规定，可画 T图如图（d）所示。由图（c）、（d）容易判断，B、A、C和C +四个截面同等危险，它们的弯矩值和扭矩值 （均指绝对值）分别相等。按照第三强度理论，这些面上危险点处的相当应力为.M 2 T 2 32Fa 12 228 1 103 0.300 5N年3 二W4 ：d3兀 0.0403 m2二 2.67 107 Pa = 26.7 MPa（2）计算转角和挠度截面D的转角由轴 AB的扭转

20、变形和梁 CD的弯曲变形两部分提供，由叠加法可得1(-Fa )a 222_ 2 Fa _ 5Fa Fa一 GI p 2EI7 - 4El7 国1 103 0.3002"" 7g210 10rad = 2.73 - 10-3 rad,5 3212、(4 - 3 )4 . Tf 00402 . 0.020 . 0.060截面D的挠度由轴 AB的弯曲变形、扭转变形和梁 CD的弯曲变形三部分提供，由叠加 法可得Wd = Wc ：刖1 ca Wd (F)Fa35Fa3Fa3=+24EI4EI p 3EI11 103 0.3003210 109(64_24 兀，004045 32+4

21、兀 00404123 0.020 0.0603)由二 80 10 4 m = 0.80 mm-19图示结构，由两根相同的圆截面杆及刚体A和B组成。设在该刚体上作用一对方向相反、其矩均为M的力偶，试画杆的内力图，并根据第三强度理论建立杆的强度条件。杆的长度1、直径d、材料的弹性模量 E、切变模量G以及许用应力均为已知，且l =20d, G =0.4E。fl题8-19图解：1.求内力此为六度静不定问题。利用反对称性，可取相当系统如图8-19(a)所示。部静力学方面(见图a )Mx = 0, 2T FsZ ( -) M =0 5几何方面(见图a和b )由于刚体B只能绕结构水平中轴线相对于刚体A作刚性

22、转动，故有变形协调条件(a)物理方面Z8y将式(d) 代入式(b)和(c)4=0Tl Tl 1.25T1GI p 一 (0.4E )(21 ) - EI3EI 2EI M ylFszl2EI,得补充方程2M y = Fszl8Fszl 12M y= 3T(b)(c)(d)(e)(f)(g)(h)联解方程(g)、(h)和(a),得匚 15M10仙0F sz =, T =M , M15M4623l232 .画内力图上杆的内力图示如图8-19(c)(e)。下杆的T图与上杆一样，而 Fsz图及M y图与上杆仅差符号，最大内力值(绝对值)与上 杆相同，故可省画其内力图。3 .建立强度条件由于l = 20

23、d ,属于细长杆，可以不计剪力对强度的影响。危险面在杆的两端，按照第三强度理论，杆的强度条件为M -5.54屋目-22图示油管，内径 D =11mm,壁厚 = 0.5mm,内压p = 7.5MPa ,许用应力门=100MPa。题8-22图解：油管工作时，管壁内任一点的三个主应力依次为所=a =-pD ,%=5=。H 02 6按照第三强度理论，有=8.25 107 Pa = 82.5 MPa 二dpD _ 7.5 106 0.011 N 2 6 -2 0.0005 m2计算结果表明，该油管满足强度要求。-23材料的许用应力图示圆柱形容器，受外压f = 160MPa。p = 15MPa作用。试按第

24、四强度理论确定其壁厚。题8-23图解：根据第四强度理论，圆柱形薄壁容器的强度应满足,3pD由此可得,3 pDT3 15 106 0.0804 160 106m = 3.25 10 3 m = 3.25mm所得6<D / 20,属于薄壁容器，上述计算有效。-24 图示圆球形薄壁容器，其内径为壁内任一点处的主应力为；='2 = pD /(4")D ,壁厚为足，承受压强为, 3 H 0。p之内压。试证明证明：用截面法取该容器的9产(b>图 8-24由图(a)所示半球的平衡方程Fx 二 0，PD4 6球壁内任一点的应力状态如图(b)所示，由此可得三个主应力依次为-25 图

25、示铸铁构件，中段为一内径D =200mm、壁厚=' = 10mm的圆筒，圆筒内的压力p =1MPa，两端的轴向压力 F = 300kN ,材料的泊松比 工=0.25,许用拉应力二=30MPa。试校核圆筒部分的强度。题8-25图解：1.应力计算圆筒的6=D / 20,属于薄壁圆筒。故由内压引起的轴向应力和周向应力分别为1 106 0.2004 0.010Pa = 5 106Pa = 5 MPapD _ 1 106 0.200 2-2 0.010Pa = 10 106Pa = 10 MPa由轴向压力引起的轴向应力为300 103 N2兀 0.200 0.010 m2=4.77 107 Pa = 47.7 MPa （压）筒壁内任一点的主应力依次为a = 10 MPa,% H 0,=(5 47.7) MPa = 42.7 MPa2.强度校核由于该铸铁构件的最大压应力超过最大拉应力，且超过较多，故宜采用最大拉应变理论 对其进行强度校核，即要求a = a M+ s)的同将上述各主应力值代入上式，得% =10 0.25 ( 42.7) MPa = 20.7 MPa :二o可见，该铸铁构件满足强度要求。-26图示组合圆环，内、外环分别用铜与钢