流体力学-第八章

1、控制体的选取控制体的选取: :边长为边长为dx，dy，dz的微元平行六面体。的微元平行六面体。形心坐标：形心坐标： x, y, z三方向速度：三方向速度： vx , vy , vz密度：密度： yvxvzvyxzo),(zyx一、微分形式的连续方程一、微分形式的连续方程x轴方向流体质量的流进和流出轴方向流体质量的流进和流出左面微元面积流左面微元面积流入的流体质量：入的流体质量：右面微元面积流右面微元面积流出的流体质量：出的流体质量：x轴方向流体轴方向流体的净流出量：的净流出量：)2(dxxyvxvzv)2(dxxvvxx)2(dxx)2(dxxvvxxdydzdxxvvdxxxx)2)(2(d

2、ydzdxxvvdxxxx)2)(2(dxdydzvxdydzdxxvdxxvdydzdxxvvdxxdydzdxxvvdxxxxxxxxx)()()2)(2()2)(2(y轴方向流体轴方向流体的净流出量：的净流出量：同理同理, y、z轴方向流体质量的流进和流出轴方向流体质量的流进和流出dxdydzvyy)(z轴方向流体轴方向流体的净流出量：的净流出量：dxdydzvzz)()2(dyy)2(dzz)2(dzzvvzz)2(dyyvvyyyvxvzv)2(dxx)2(dxxvvxx)2(dxx)2(dxxvvxx)2(dyy)2(dyyvvyy)2(dzzvvzz)2(dzzx轴方向流体轴方向

3、流体的净流出量：的净流出量：dxdydzvxx)()2(dyy)2(dzz)2(dzzvvzz)2(dyyvvyyyvxvzv)2(dxx)2(dxxvvxx)2(dxx)2(dxxvvxx)2(dyy)2(dyyvvyy)2(dzzvvzz)2(dzz每秒流出微元六面体的净流体质量每秒流出微元六面体的净流体质量微元六面体内密度变化引起微元六面体内密度变化引起的每秒的流体质量的变化的每秒的流体质量的变化dxdydzxdvtCVdxdydzvzvyvxdAvzyxCSn)()()(微分形式的连续方程微分形式的连续方程CVCSndAvdvt00)()()(zyxvzvyvxt二、其它形式的连续方程

4、二、其它形式的连续方程矢量形式：矢量形式：可压缩流体的可压缩流体的定常流动：定常流动：不可压缩流体的定不可压缩流体的定常或非定常流动：常或非定常流动：0)(vdivt0)(vt0)()()()(zyxvzvyvxv0zvyvxvvzyx二、其它形式的连续方程（续）二、其它形式的连续方程（续）二维可压缩流体二维可压缩流体的定常流动：的定常流动：二维不可压缩流二维不可压缩流体的定常或非定体的定常或非定常流动：常流动：0)()(yxvyvx0yvxvyx 流体和刚体的主要不同在于它有流动性，极易变形。流体和刚体的主要不同在于它有流动性，极易变形。因此，流体微团在运动过程中不仅像刚体那样可以有移动因此

5、，流体微团在运动过程中不仅像刚体那样可以有移动和转动，而且还会发生和转动，而且还会发生变形运动变形运动。控制体的选取控制体的选取: :边长为边长为dx，dy，dz的微元平行六面体。的微元平行六面体。xxxMxxvvvvvxyzxyzyyyMyyvvvvvxyzxyzzzzMzzvvvvvxyzxyzM M点处速度：点处速度：一、流体微团上各点速度的表示一、流体微团上各点速度的表示同时加减等同时加减等于零的数于零的数11()()2211 ()()22yxxxzMxxyxxzvvvvvvvxyzxxyzxvvvvyzxyzx1111()()()()2222yyyyyxxzzMyyvvvvvvvvv

6、vvyzxzxyyzxyyzxy1111()()()()2222yyxxzzzzzMzzvvvvvvvvvvvzxyxyzzxyzzxyz111() () ()222111() () ()222yyxxzzxyzyyxxzzxyxvvvvvvyzzxxyvvvvvvyzzxxy)22()22(2)22()22(2)22()22(2dxdydydxdzzvvvdzdxdxdzdyyvvvdydzdzdydxxvvvyxxyzzzExzzxyyyEzyyzxxxE xyvv点点A A yxxyvvvxvxxx yxxyvvvyvyyy yyxxxyvvvvvxyvxyxyxy点点B B点点D D点

7、点C C一、欧拉运动微分方程式一、欧拉运动微分方程式控制体的选取控制体的选取: :边长为边长为dx，dy，dz的微元平行六面体。的微元平行六面体。形心坐标：形心坐标： x, y, z三方向质量力：三方向质量力：fx , fy , fz压强：压强：ppyfxfzfyxzo),(zyx一、欧拉运动微分方程式一、欧拉运动微分方程式( (续续) )x轴方向的受力轴方向的受力2dxxpp2dxxpppyfxfzf左面中心受力：左面中心受力：dydzdxxpp)2(右面中心受力：右面中心受力：dydzdxxpp)2(质量力：质量力： x方向的运动微方向的运动微分方程分方程：dydzdxxppdydzdxx

8、ppdxdydzfdxdydzdtdvxx)2()2(xfxpfdtdvxx1一、欧拉运动微分方程式一、欧拉运动微分方程式( (续续) )同理同理, y、z方向的运动微分方程。方向的运动微分方程。2dyypp2dzzpp2dxxpp2dxxpp2dzzpp2dyypppyfxfzfzpfdtdvypfdtdvxpfdtdvzzyyxx111pfdtvd1欧拉运动微欧拉运动微分方程式分方程式矢量形式矢量形式一、欧拉运动微分方程式一、欧拉运动微分方程式( (续续) )zpfzvvyvvxvvtvypfzvvyvvxvvtvxpfzvvyvvxvvtvzzzzyzxzyyzyyyxyxxzxyxxx

9、1111()dvvvfpdtzpfdtdvypfdtdvxpfdtdvzzyyxx111pfdtvd1二、兰姆运动微分方程式二、兰姆运动微分方程式xvzvvxvyvvxvvxvvxvvtvzxzyxyzzyyxxxzvvyvvxvvtvdtdvxzxyxxxxzyyzzyxxvvvvvxtv22222)2(1)(22vxxpfvvtvxzyyzx二、兰姆运动微分方程式二、兰姆运动微分方程式( (续续) )2(1)(2)2(1)(2)2(1)(2222vzzpfvvtvvyypfvvtvvxxpfvvtvzyxxyzyxzzxyxzyyzx兰姆运动微兰姆运动微分方程式分方程式 兰姆运动微分方程式

10、直接反映了流体流动的特性兰姆运动微分方程式直接反映了流体流动的特性. .即不仅包含线即不仅包含线速度速度, ,也包含角速度也包含角速度. .表述流动的方程表述流动的方程(4(4个个) )zpfzvvyvvxvvtvypfzvvyvvxvvtvxpfzvvyvvxvvtvzzzzyzxzyyzyyyxyxxzxyxxx1110)()()(zyxvzvyvxt方程中的未知量方程中的未知量(5(5个个) )pvvvzyx,补充方程补充方程: :Const)(p或或一、起始条件一、起始条件起始瞬时所给定的流场中每一点的流动参数。起始瞬时所给定的流场中每一点的流动参数。),()0 ,(),()0 ,()

11、,()0 ,(),()0 ,(),()0 ,(54321zyxfzyxzyxfzyxpzyxfzyxvzyxfzyxvzyxfzyxvzyx定常流动：定常流动： 无需起始条件。无需起始条件。非定常流动：非定常流动： 必须起始条件。必须起始条件。二、边界条件二、边界条件任一瞬时运动流体所占空间的边界上所必须满足的条件任一瞬时运动流体所占空间的边界上所必须满足的条件固体壁面上的运动学条件固体壁面上的运动学条件: :不同流体交界面上的运动学条件：不同流体交界面上的运动学条件：不同流体交界面或固体壁面上的动力学条件：不同流体交界面或固体壁面上的动力学条件：wnnvv 0nvnnvv21ppamb固体壁

12、面静止固体壁面静止 作业1 vxyyxvx22zyvy220z0zvzzv 作业2 某一流动速度场为 ， ，其中 是不为零的常数，流线是平行于 轴的直线。试判别该流动是有旋流动还是无旋流动。 ayvx0zyvvax一、两个积分式的前提条件一、两个积分式的前提条件(1)(1)流动是定常的流动是定常的(2)(2)质量力是有势的质量力是有势的(3)(3)流体不可压缩，流体不可压缩， 流体是正压流体流体是正压流体0tvtvtvtzyxzfyfxfzyxzpzpypypxpxpFFF111)(pdppF1.1.前提条件前提条件一、两个积分式的前提条件一、两个积分式的前提条件( (续续) )2.2.常见的

13、正压流体常见的正压流体(1)(1)等温流动的可压缩完全气体等温流动的可压缩完全气体(2)(2)绝热流动的可压缩完全气体绝热流动的可压缩完全气体(3)(3)不可压缩流体不可压缩流体RTp/pRTpFln11CpppF1ConstppF一、两个积分式的前提条件一、两个积分式的前提条件( (续续) )3.3.前提条件下的兰姆方程前提条件下的兰姆方程)(2)2()(2)2()(2)2(222yxxyFxzzxFzyyzFvvvpzvvvpyvvvpx)2(1)(2)2(1)(2)2(1)(2222vzzpfvvtvvyypfvvtvvxxpfvvtvzyxxyzyxzzxyxzyyzx二、欧拉积分式二

14、、欧拉积分式)(2)2()(2)2()(2)2(222yxxyFxzzxFzyyzFvvvpzvvvpyvvvpx无旋流动无旋流动0zyx0)2(0)2(0)2(222vpzvpyvpxFFF二、欧拉积分式二、欧拉积分式( (续续) )0)2()2()2(222dzvpzdyvpydxvpxFFF 方程组三式分别乘以任意微元线段的三个轴向分量方程组三式分别乘以任意微元线段的三个轴向分量dx, dy, dz后再相加后再相加0)2(2vpdF常数22vpF欧拉积分式欧拉积分式物理意义：物理意义：非粘性的不可压缩流体和非粘性的不可压缩流体和可压缩的正压流体，在有势的质量力可压缩的正压流体，在有势的质

15、量力作用下作作用下作无旋流动无旋流动，流场中，流场中任一点任一点的的单位质量流体质量力的位势能、压强单位质量流体质量力的位势能、压强势能和动能的总和保持不变，且这三势能和动能的总和保持不变，且这三种机械能可以相互转换。种机械能可以相互转换。三、伯努利积分式三、伯努利积分式)(2)2()(2)2()(2)2(222yxxyFxzzxFzyyzFvvvpzvvvpyvvvpx有旋流动有旋流动0二、伯努利积分式二、伯努利积分式( (续续) )0)2()2()2(222dzvpzdyvpydxvpxFFF 方程组三式分别乘以某一条流线上任一微元线段方程组三式分别乘以某一条流线上任一微元线段的三个的三个

16、轴向分量轴向分量dx, dy, dzdtvvvdzvvdzvpzdtvvvdyvvdyvpydtvvvdxvvdxvpxzyxxyyxxyFyxzzxxzzxFxzyyzzyyzF)(2)(2)2()(2)(2)2()(2)(2)2(222三式相加三式相加二、伯努利积分式二、伯努利积分式( (续续) )0)2()2()2(222dzvpzdyvpydxvpxFFF0)2(2vpdF常数22vpF伯努利积分式伯努利积分式物理意义：物理意义：非粘性的不可压缩流体和可非粘性的不可压缩流体和可压缩的正压流体，在压缩的正压流体，在 有势的质量力作有势的质量力作用下作用下作有旋流动有旋流动时，时，沿同一条

17、流线沿同一条流线上各上各点单位质量流体质量力的位势能、压强点单位质量流体质量力的位势能、压强势能和动能的总和保持不变，且这三种势能和动能的总和保持不变，且这三种机械能可以相互转换。机械能可以相互转换。三、伯努利方程三、伯努利方程伯努利方程伯努利方程质量力仅仅是重力质量力仅仅是重力不可压缩流体不可压缩流体gz/ppF常数，常数22vpgz常数22vpF物理意义物理意义：在重力作用下不可压缩理想：在重力作用下不可压缩理想流体作定常流动时，对于流体作定常流动时，对于有旋流动，沿有旋流动，沿同一条流线同一条流线单位质量流体的位势能、压单位质量流体的位势能、压强势能和动能的总和保持不变；对于强势能和动能

18、的总和保持不变；对于无无旋流动，在整个流场旋流动，在整个流场中总机械能保持不中总机械能保持不变变. .涡线涡线 涡管涡管 涡束涡束 涡通量涡通量 一、涡线一、涡线 一条曲线，在给定瞬时，这条曲线上每一点的切线与位于该一条曲线，在给定瞬时，这条曲线上每一点的切线与位于该点的流体微团的角速度的方向相重合。点的流体微团的角速度的方向相重合。1234涡线的微分方程涡线的微分方程),(),(),(tzyxdztzyxdytzyxdxzyx涡线涡线 涡管涡管 涡束涡束 涡通量涡通量 二、涡管二、涡管 在给定瞬时，在涡量场中任取一不是涡线的封闭曲线，通在给定瞬时，在涡量场中任取一不是涡线的封闭曲线，通过封闭

19、曲线上每一点作涡线，这些涡线形成一个管状表面。过封闭曲线上每一点作涡线，这些涡线形成一个管状表面。三、涡束三、涡束 涡管中充满着作旋转运动的流体涡管中充满着作旋转运动的流体四、涡通量四、涡通量 旋转角速度的值与垂直于角速度方旋转角速度的值与垂直于角速度方向的微元涡管横截面积的乘积的两倍。向的微元涡管横截面积的乘积的两倍。dAdJ2AndAJ2 斯托克斯定理斯托克斯定理 一、速度环量一、速度环量 速度在某一封闭周线切线上的分量沿该粉笔周线的线。速度在某一封闭周线切线上的分量沿该粉笔周线的线。)(dzvdyvdxvsdvzyx 速度环量是标量，其正负号不仅与速度的方向有关，速度环量是标量，其正负号

20、不仅与速度的方向有关，而且与线积分的绕行方向有关规定沿封闭周线绕行的而且与线积分的绕行方向有关规定沿封闭周线绕行的正方正方向为逆时针方向向为逆时针方向。 斯托克斯定理斯托克斯定理 二、斯托克斯定理二、斯托克斯定理 1. 1.微元封闭周线的斯托克斯定理微元封闭周线的斯托克斯定理沿微元封闭周线的速度环量等于通过该周线所包围的面积的涡通量。沿微元封闭周线的速度环量等于通过该周线所包围的面积的涡通量。证明证明: :dyyvdxxvvxxx2dxxvvxx2dyyvvxxxvyv2dyyvvyydyyvdxxvvyyy2dxxvvyydydxdABCDdJdAdxdyyvxvdyvdyyvvdxdyyvvdyyvdxxvvdydyyvdxxvvdxxvvdxdxxvvvdzxyyyyxxxxxyyyyyxxx2)()(21)()(21)()(21)(21dJd 斯托克斯定理斯托克斯定理 二、斯托克斯定理二、斯托克斯定理( (续续) ) 3. 3.空间表面上的斯托