弹性力学作业习题

1、HOMEWORK OF THEORETICAL ELASTICITY1. DATE: 2001-9-201.设地震震中距你居住的地方直线距离为l ,地层的弹性常数E,和密度均为已知。假设你在纵波到达t0秒后惊醒。问你在横波到达之前还有多少时间跑到安全地区试根据l 200Km , E 20GPa,0.3,2,0 106g/m11ax1 a2,22ax2X2,33ax1X2,120,23a君bx2,31axfbx2其中k, a, b为远小于1的常数。2. DATE: 2001-9-17 , t° 3s来进行具体估算。2 .假定体积不可压缩，位移 Ui(X), X2)与U2(Xi, X2)

2、很小，U3 0。在一定区域内已知Ui (1 X2) (a bx1 cx/),其中a , b , c为常数，且 优 0 ,求 无(不，x2)。3 .给定位移分量222U1CX1(X2X3), U2CX2 (X1X3),U3CX3(X|X2),此处 c 为一个很小的常数。求应变分量j及旋转分量Qj。4 .证明aeijkQjkaejkUk, j其中i为转动矢量。5 .设位移场为u a(X1 x3)20| a(X2 X3)2e2 aX1X2e3 ,其中a为远小于1的常数。确定在P (0, 2,1)点的小应变张量分量，转动张量分量和转知矢量分量。6 .试分析以下应变状态能否存在。(1)11k(x2 xf

3、 )x2,22 kx2x3330 ，12 2kxix2x3,233111k (x12xf),22kx2 x ,330 ，122 kx1X2 ,233101,证明对坐标变换cossinX2sincosX2X3X3,无论为何值均有_ _2211221122，11 221211 2212-2-222-13231323 ,ijij2 .利用课堂上给出的各向同性张量表达式，推导各向同性材料的广义虎克定律。并写为以杨氏模量E和泊松比来表示的分量表达式。写出在Voigt记号下的6个Cauchy关系等式。3 .证明，对各向同性弹f体，若主应为 123，则相应的主应变123。4 .证明在各向同性弹性体中，应力张

4、量的主方向与应变张量的主方向一致。5 .各向同性弹性体承受单向拉伸( 1 0,23 0),试确定只产生剪应变的截面位置，并求该截面上的正应力(取 v 0.3)。6 .试推导体积应变余能密度 W；及畸变应变余能密度 W；公式:ii)c 1W ii jj6c 1Wf2ij ij14Gij ij123()3. DATE: 2001-9-261 .下面应力场是否为无体力时弹性体中可能存在的应力场如果是，它们在什么条件下存在(1)ax by, ycxdy,z 0,xy仅 gy， yzzx0;(2)2cy，z 0， xydxy,yz(3)22ay b(x2、ry ), y22ax b(yx2),其中a、b

5、、22、ab(x y ),xy 2abXy,yz zxc、d、f及g均为常数。2 .设有任意形状的等厚度薄板，体力可以不计，在除上、下表面之外的全部边界上,受有均匀压力P。验证x y P及xy 0能满足平衡微分方程、协调方程及边界条件,因而就是正确的解答。3.应力函数一般形式ij e ink e jml mn , kl和对应的Beltrami-Michell 方程2 einkejmlmn,kl2 mmmn,mn j导出在 Maxwell应力函数下（11Xi, 22 X2, 33 X3,其余为零），书中的，式。考虑由面积不可压缩 11220的平行叠层组成的层合板，其层界面以X 3轴为法向,写出该

6、层合板的约束应力表达式4. DATE: 2001-9-281 .若在域V内应力场ij X与体力fi x相平衡，V的边界S均为力边界，作用在其上有面力t ijVj , Vj为S上的单位外法向量。若 fi , L为已知，而 j为待求，求证问题只有在fi , ti满足下列条件时才有解VfidvJidS 0且ejkXj fk dVVXjtk dSSX22 .对各向同性弹性体，若体力为零，试证明2 kk 0kk3.将橡皮方块放在与它同样体积的铁盒内，在上面用t2= sin( x/L)铁盖封闭，在铁盖上面作用均匀压力p （图5-6）。假设铁Fig. For Question 4盒与铁盖可以视为刚体， 在橡

7、皮与铁之间没有摩擦。 试用位 移法求橡皮块中的位移、应变与应力。图5-64.图5-8所示矩形薄板，一对边均匀受拉，另一对边均匀受压。由叠加原理求板的应务和位移。图5-85. 一矩形截面构件受沿轴向的简单拉伸及绕x、y轴的弯矩作用，如图 5-9所示。不计体力。六个应力分量为z 0,yzzxxy 0试用平衡方程和B-M方程求z的函数形式。并利用端面边界条件a yzdAA zxdAA (x yz y zx)dA 0AAA zdAPx, Ay zdA Mx， Ax zdAAA确定积分常数。（A为端部横截面面积,y轴分别为截面的对称轴。截面对x、 y轴的惯性矩分别为I y ,设坐标原点处无平移和转动）x

8、 6.在一半平面的边界处，作用有自平衡的面力t10,t2 sin 。试说明（通过求解）该面力引起的应力场在表面以下呈指数衰减，并以及论证在这一问题上圣维南原理适用。5.DATE: 2001-10-21.2.课堂上用猜测的方法，并引用唯一性定理，得到了简单拉伸问题的位移场。请利用已得 的应变表达式和六个应变-位移关系来严格地导出这一位移场。考虑纯弯曲问题，在不变弯矩作用下柱体的轴线（即材力中所说的挠度曲线应为一段圆弧）。而根据课堂上的推导，横向挠度u1 0,0, x3 , u2 0,0, x3均正比于x；,即为抛物线。试解释产生这一不同的原因。考虑由端面反对称自平衡的面力分布而导致的对矩形梁弯曲

9、问题的修正解。 解衰减指数的特征方程。求出制约该修正6. DATE: 2001-10-91 .半径为a的圆截面杆两端作用扭矩 Mz。试写出此杆的应力函数，并求出剪应力分量，最大剪应力及位移分量。2 .用位移法导出圆轴扭转的剪应力和扭角公式。3 .若柱体扭转时横截面上应力为xz Gy, yz G x,证明该柱体截面是圆。4 .考虑一个单连通域的横截面，证明在条件22 in A 和 0 on C应力函数 可唯一确定。A5.考虑一个单连通的横截面， 从中切去一个由应力函数等高线所界定的单连通域。试证明:1 .新的、双连通的横截面所对应的应力函数仍为 原来的应力函数。2 .该环形域的扭转刚度为原问题的

10、扭转刚度与 （挖去的）芯部区的扭转刚度之差。7. DATE: 2001-10-171.（思考题）无穷长板条含半无穷长裂纹，求z , 3 ,u3,裂尖应力强度因子。2.（思考题）试推导这张表中的所有结果，并与 Saint-Venant假设下的估算结果相比较。形状扭转刚度Mp椭圆3,3a b-272ab正方形半圆正三角形等腰直角三角形40.1406a40.29756a4ah3303（h 丁）40.026091ab aN1234568101001/3矩形ab(a>b)ab3N(3.求裂纹尖端第二项所对应的平面位移u3和剪应力 3132。论述该项对于何种边值问8. DATE: 2001-10-2

11、0考虑无体力的平面问题，此时Airy应力函数满足双调和方程2 20。1 .证明对两个调和函数和（即20和20）,可构造x2满足调和方程。2 .利用应力的Airy应力函数表达式（无体力），构造以 和 表达的应力式。3 .考虑一个半平面问题，x20 ,且在边界上仅承受正应力，即12、00 X,证明其所对应的解答可写为X2 0X2X14 .由此证明在边界仅受正应力的半平面沿边界必然有11X2 022X2 0(A)5 .你认为上述导致（A）的证明是否严格有无例外情况 9. DATE: 2001-10-31 1.书中设在厚壁管外套以绝对刚性的外套，使管不能发生轴向位移。 厚壁管受均匀内压力 q （图7-

12、50）,试求厚壁管中的应力及位移。图 7-502.图7-51所示薄圆环，在r a处固定，在r b处受均匀分布的剪力。以位移法及应力函数法求圆环中的应力和位移。图 7-513.考虑无穷远处受均匀剪切xv的无穷大平面弹性体，xy平面内有一半径为 a的刚性体，它与弹性体理想粘合，即ur u 0, on r a,求解该问题的应力场，并确定沿孔边环向应力的最大值及位置。若要保持该刚性体既不移 动也不转动，需要在该刚性体施加力或力偶吗10. DATE: 2001-11-11习题1 .图7-53所示曲梁（二分之一圆环），其上端周向应力（）0的合力为P,对坐标原 点O的力矩为零。求曲梁的应力。图 7-532

13、.图7-54所示椭圆薄板中心有一小圆孔，其半径为a。板的外边界作用有均匀分布的法向拉应力p。试求应力集中系数。图 7-543 .在距地面深为h处，挖一直径为d的圆形长孔道，孔道与地面平行（图 7-55）。岩 石比重为，弹性模量为E ,泊松比为v。试求孔边最大应力（绝对值）的值及发生的位置。4 .推导以复势 （z）和（z）表示的最大剪应力max及主应力1、2的表达式。5 .图8-19所示悬臂薄板，厚度为 1,长为l ,高度为2h ,无体力作用。设复势为/ 、 a - 2(z) iz8h图 8-19其中a为实数。求板所受的边界载荷与所发生的位移。6 .曲杆如图8-21所示。在每一端面上受弯矩 M的

14、作用，杆由半径为a和b的圆弧确定,径向线具有张角（2 ）。此问题可由形如(z) Azln z Bz,(z) C/z图 8-21的复势解决，试确定常数A、B和C （A、B、C可以是复常数）。7 .图8-22所示圆柱体受内压R及外压P2作用。试作如下应力函数图 8-22B(z) Az,(z) 一z确定其应力和位移分量。（考虑平面应力情况）8 .思考题求解下列曲梁11. DATE: 2001-12-211在Boussnesq解系中，利用解 E并取 一，找出其对应的应力和位移场。证明由Rr ztan （ 为锥角）所定义的锥体表面无面力作用。并利用该结果求一个传递扭矩为 T的锥体中的应力场。10-4用余虚功原理计算图 10-22中半圆曲梁中点 B处向上