常用连续型分布性质汇总及其关系

1、常用连续型分布性质汇总及其关系1.常用分布 1. 1正态分布tP(x)F x(1)若X的密度函数和分布函数分别为22 2e dt,则称X服从正态分布，记作XN , 2 ,其中参数，0.(2)背景：一个变量若是由大量微小的、独立的随机因素的叠加结果，则此变量一定是正态变量。测量误差就是由量具零点偏差、测量环境的影响、测量技术的影响、测量人员的心理影响等等随机因素叠 加而成的，所以测量误差常认为服从正态分布。(3)关于参数，：是正态分布的的数学期望，即E X ，称 为正态分布的位置参 数。为正态分布的对称中心，在 的左侧和p(x)下的面积为0.5;在的右侧和P(x)下的面积也是0.5,所以 也是正

2、态分布的中位数。2 是正态分布的方差，即Var(X)2.是正态分布的标准差，愈小，正态分布愈集中， 愈大，正态分布愈分散。又称为是正态分布的的尺度参数。(4)称 0,1时的正态分布N(0,1)为标准正态分布。记U为标准正态分布变量，u和 u为标准正态分布的密度函数和分布函数。u和 u满足:(5)标准化变换：若 X N , 2 ,则 U N 0,1 .(6)若XN , 2 ,则对任意实数a与b,有P(X b)(b-),P(a X) 1(-),b 、 尸 、P(a X b)()(),0.6826,k1,P( X k )(k)(k)0.9545,k2,.0.9973,k3.(7)特征函数(t) ex

3、p i t爷r.(标准正态分布 exp1.2. 均匀分布(1)若X的密度函数和分布函数分别为1P(x) b a0else0, x x a F(x)- b a1, xa,a x b,.b.则称X服从区间(a,b)上的均匀分布，记作X - U a,b .(2)背景：向区间(a,b)随机投点，落点坐标 X一定服从均匀分布U a,b .(3) E(X)t，Var(X)12itbita(4)特征函数(b a)it1.3. 指数分布(1)若X的密度函数和分布函数分别为P(x)_ xe , x 0,0, elseF(x)1 e x, x 0, 0, else则称X服从指数分布，记作XExp，其中参数0.(2

4、)背景：若一个元器件(或一台设备、或一个系统)遇到外来冲 击时即告失败，则首次冲击到来的时间X (寿命)服从指数分布，很多产品的寿命可认为服从或者近似服从指数分布。11(3) E(X) -, Var(X).(4)指数分布的无记忆性：若XExp ，则对任意s 0,t 0,有P(X s t|X s) P(X t).1(5)特征函数61*.1.4伽玛分布(1)伽玛函数称()0 x 1exdx为伽玛函数，其中参数0.伽玛分布具有如下性质：(a) (1) 1;(b) (12) (c) (1)();(d) (n 1) n (n) n!(n 为自然数)。(2)伽玛分布 若X的密度函数为1 xcx e , x

5、 0, p(x) ().0 else则称X服从伽玛分布，记作XGa(,，其中0.为形状参数,0为尺度参数。(3)背景：若一个元器件(或一台设备、或一个系统)能抵挡 一些外来冲击，但遇到第k次冲击时即告失败，则第k次冲击来到的 时间X (寿命)服从形状参数为k的伽玛分布XGa(k,).(4) E(X) ,Var(X).(5) 特征函数(t) 1 X .1.5贝塔分布1b 1(1)贝塔函数 称B(a,b)o xa 1(1 x) dx为贝塔函数，其中参数a 0, b 0.(a) (b)(a b)贝塔函数具有如下性质：(a) B a,b B(b,a);(b) B a,b(2)贝塔分布若X的密度函数为P

6、(x)(a b) a ()(b)'1(1 x)b1, 0x1,0 else则称X服从贝塔分布，记作XBe(a,b),其中a 0, b 0.都是形状 参数。(3)背景很多比率，如产品的不合格率、机器的维修率、某商品的市场占有率、射击的命中率等都是在区间(0,1)上取值的随机变量，贝塔分布Be(a,b)可供描述这些随机变量之用数。(4) E(X) , D Xa b(5)特征函数(t)1.6 Z分布ab2(a b) (a b 1)(a b) (a j)0t)j(a) (b)j o (a b j) (j 1)(1)若X的密度函数为P(x)(a b) xa 1(a) (b) 1 x a bx 0

7、.则称X服从Z分布，记作ZZ(a,b),其中a0, b0.都是形状参a E(X),b 1,Var(X)a(a b 1)(b 1)2(b 2)2.(3)若 X Z(a,b),则 1/X Z(b,a).2.分布之间的关系2.1 由标准正态分布构造2-分布设X,.xn和y”. yn是来自标准正态分布的两个相互独立的样本,n2 x：服从自由度为n的卡方分布，记为2 2(n)。其 i 1分布密度为p(y)(叙2上1 士22y2 e 2(y 0).(2 )期望方差分别为En Var2n.(3)特征函数为 (1 2it) n2.2.2 由标准正态分布和卡方分布构造t分布(1) t -=y1(X2 L x2)

8、 n服从自由度为n的t分布，记为tt(n).其分布密度为p(y)厂(2)2 n 1(1上尸(n).(2)期望方差分别E t 0(n 1)VarV(n 2).(3)特征函数2.3由两个卡方分布构造F分布(1)22y1 儿 ym mF (x； L x2) n服从第一自由度为第二自由度n为的F分布，记为FF(m, n).其分布密度为p(y)m 2m n m2 n(m)(；)22-1y2(1m nm -y) 2n).(3)-(n 2) Var 2特征函数为_ 2-2n (m n 2)2(nm(n 2)2(n 4)4).(4)若 F F(m,n),则 1/F F(n,m).(5)若 tt(n),贝Ut2

9、 F(1,n).2.4伽玛分布，贝塔分布及其特例(1) 1时的伽玛分布就是指数分布，即Ga(1, ) Exp().(2) n/2,12时的伽玛分布为自由度为 n的2分布，即n 12Ga(2,2)2(n).(3) a b 1时的贝塔分布就是区间(0,1)上的均匀分布，即Be(1,1) U(0,1).(4) X1,X2,L Xn独立同分布于U 0,1 , x(1), x(2),L X(n)为其顺序统计量， 则有x的 Be(k,n k 1), k 1,2,L n.特 别 地，x(1)Be(1,n),x(n)Be(n,1).x(k) X(s) - Be(k s,n k s 1), k s 1,2,L n.特别地X(n) X(1) - Be(n 1,2).(5)若随机变量XGa(,，则当k 0时，有Y kXGa( , /k).2 XGa( ,1/2)2 2 .即任一伽玛分布可转化为2分布。(6)若 X Be(a,b),则 1 X Be(b,a).(7)若XiGa( 1, ), X2Ga( 2,)且X1, X2与相互