分组与隔板法

1、组合问题中分组问题和分配问题(1)非均匀不编号分组：将n个不同元素分成不编号的 m组，每组元素 数目均不相同，且不考虑各组间顺序，不管是否分尽，其分法种数为Cm2n-m1m mk* C n-(m1m2 mk-i)例1： 10人分成三组，每组人数分别为2、3、5,其分法种数为C,；C；C5 2520若从10人中选出6人分成三组，各组人数分别为1、2、3,其分法种数为C"312600(2)均匀不编号分组：将n个不同元素分成不编号的 m组，假定其中r 组元素个数相等，不管是否分尽，其分法种数为 a/a；(其中A为非均匀不 编号分组中分法数).如果再有K组均匀分组应再除以Ak.例2： 10人

2、分成三组，各组元素个数为2、4、4,其分法种数为C1；C；C：/A2 1575 .若分成六组，各组人数分别为1、1、2、2、2、2 其分法种数为 Cecdce/A2 A4C CC CC /、/" I C10 I I CITC C CC10C9C8C6C4C 2/A2 A4(3)非均匀编号分组：n个不同元素分组，各组元素数目均不相等，且考虑各组间的顺序，其分法种数为 A Am例3: 10人分成三组，各组人数分别为 2、3、5,去参加不同的劳动，其安排方法为：£c3c5 A3种.若从10人中选9人分成三组，人数分别为 2、3、4,参加不同的劳动，则安排方法有C*C那种(4)均匀

3、编号分组：n个不同元素分成 m组，其中r组元素个数相同且考虑各组间的顺序，其分法种数为 (A Amm/A；).例4: 10人分成三组，人数分别为 2、4、4,参加三种不同劳动，分法种数为6呼4 a3a2练习题：1将13个球队分成3组，一组5个队，其它两组4个队，有多少分法?八4八4,八2C13C8C4 / A2 J2.10名学生分成3组，其中一组4人,另两组3人但正副班长不能分在同一组，有多少种不同的分组方法1260)3.某校高二年级共有六个班级， 现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为c：c；a；/a2作业1:(1)今有10件不同奖品，从中选6件

4、分给三份，一份一件，一份二件和一 份三件，有多少种分法？(2)今有10件不同奖品，从中选6件分给甲一件，乙二件和丙三件，有多 少种分法？(3)今有10件不同奖品，从中选6件分给三人，其中1人一件1人二件1 人三件，有多少种分法？(4)今有10件不同奖品，从中选6件分成三份，每份2件，有多少种分 法？(5)今有10件不同奖品，从中选6件分成三份，一份4件，另外2份各一 件，有多少种分法？(6)今有10件不同奖品,从中选6件分成三个人，一个人4件，另外2 个人各一件，有多少种分法？(7)今有10件不同奖品，从中选6件分成三个人，每人2件，有多少种 分法？作业2: (1) 10个相同的球装5个盒中，

5、每盒至少一个有多少装法？(2) x y z w 25求这个方程组的自然数解的组数隔板法隔板法又叫隔墙法，插板法，n件相同物品(n个名额)分给 m 个人，名额分配，相同物品分配常用此法。若每个人至少1件物品（1个名额），则n件物品（n名额）排成 1排，中间有n-1个空挡，在这个n-1空档选m-1个空挡放入隔板，隔板 1种插法对应1种分法，所以有cm；种分法。若允许有人分不到物品 ，则先把n件物品和m-1块隔板排成一排， 有n+m-1个位置，从这个位置中选 m-1个位置放隔板，有cM1种方法， 再将n件物品放入余下的位置，只有 1种方法，m-1块隔板将物品分成 m 块，从左到右可看成每个人分到的物

6、品数，每1种隔板的放法对应一种分法，所以共有CM1种分法。例4 9个 颜色大小相同的分别放入编号分别为1 ,2,3, 4, 5,6的6个盒中，要求每个盒中至少放 1个小球，有多少种方法？解：（法1）将9个小球排成一排，9个小球之间有8个空挡，在这8个空挡选5个空挡放5个隔板，将9个小球分成6份，每份至少1个 球，将这6份放到6个盒中，有Ce5=56种方法。（法2）先给每个盒中放1个球，然后将余下的3个小球和5块 隔板排成一排，排列位置有8个，先从8个位置中选5个放隔板，有c5=56 种方法，再余下位置放小球只有 1种方法，5块隔板将小球分成6块， 从左到右看成6个盒所得球数，每一种隔板放法对应

7、1种分法，故有c,5=56 种方法。例6.有10个运动员名额，分给 7个班，每班至少一个，有多少种分配方 案？解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成9个空隙。在9个空档中选6个位置插个隔板， 可把名额分成7份， 对应地分给7个班级，每一种插板方法对应一种分法共有色种分法。olo ololo o|o|o olo日 日 目 rpn a! nF变式1:某校准备参加今年高中数学联赛，把16个选手名额分配到高三年 级的1-4个教学班，每班至少一个名额，则不同的分配方案共有 一种.变式2:某校准备参加今年高中数学联赛，把16个选手名额分配到高三年 级的1-4个教学班，每班的名额不少于该班的序号数，则不同的分配方案共 有一种.： 练习题：1 x y z w 100求这个方程组的正整数解的组数C1032 x y z w 100求这个方程组的自然数解的组数顺序固定用除法”:对于某几个元素按一定的顺序排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同进行全排列，然后用总的排列数除于这几个元素的全排列数。例4、6个人排队，甲、乙、丙三人按甲-乙-丙”顺序排的排队方法有多少种？分析：不考虑附加条件，排队方法有 A66种，而其中甲、乙、丙的 A33种 排法中只有一种符合条件。故符合条件的排法有A66小33 =120种。（或A63