八年级上册数学期末试卷测试卷附答案

1、八年级上册数学期末试卷测试卷附答案一、八年级数学全等三角形解答题压轴题(难)1.如图，在 ABC中，NABC为镜角，点D为直线BC上一动点，以AD为直角边且在AD 的右侧作等腰直角三角形ADE, ZDAE = 90° , AD=AE.(1)如果AB = AC, ZBAC=90°.当点D在线段BC上时，如图1,线段CE、BD的位置 关系为，数量关系为当点D在线段BC的延长线上时，如图2,中的结论是否仍然成立，请说明理由.(2)如图3,如果ABWAC, NBACH90。，点D在线段BC上运动.探窕：当NACB多少度 时，CE1BC?请说明理由.忤13【答案】(1)垂直，相等.都

2、成立，理由见解析：(2)45°,理由见解析【解析】【分析】(1)根据NBAD=N CAE , BA=CA , AD=AE,运用“SAS”证明ABD2区ACE,根据全等 三角形性质得出对应边相等，对应角相等，即可得到线段CE、BD之间的关系：先根据“SAS”证明4AB腌 ACE,再根据全等三角形性质得出对应边相等，对应角相 等，即可得到中的结论仍然成立；(2)先过点A作AG_LAC交BC于点G,画出符合要求的图形，再结合图形判定GAa CAE,得出对应角相等，即可得出结论.【详解】(1)： (l)CE与BD位置关系是CE_LBD,数量关系是CE=BD.理由：如图 1 , ； N BAD

3、=90°-Z DAC , Z CAE=900-Z DAC ,/. Z BAD=Z CAE .又 BA=CA , AD=AE ,/. ABDW ACE ( SAS )/. Z ACE=Z B=450 且 CE=BD .,/ Z ACB=Z B=45° ,/. Z ECB=45°+45°=90° ,即 CE±BD .故答案为垂直，相等：都成立，理由如下：ZBAC=ZDAE=9Q0 ，ZBAC+ ZDAC= ZDAE+ ADAC.：./BAD=NCAE,在步与引。中，AD=AE< NBAD= NCAEAB=AC .:、DABXEAC,

4、：.CE=BD. /B=/ACE,：.ZACB-iZACE=9QO ,即血被(2)当NH%=45°时，£L劭(如佟I).理由：过点片作月G_L月。交的延长线于点G,则/。490° ,V ZJG5=45° , ZAGC=9Q0 - 4ACB,：.ZAGC=90Q -45° =45° ,A ZACB=ZAGC=45(i , ：.AC=AG.在色切与中，AC=AG< ZDAG=ZEACAD=AE .，白1隙A ZACE=ZAGC=45° ,ZBCE= ZACB+ ZAC£，=45° +45° =

5、90° ,即 £L反.2.如图，在中，ZBAC = 90°, AB = AC, AE是过A点的一条直线，且 B、。在AE的异侧，BDLAE于D, CEJL4上于E.（1）求证：BD = DE + CE.（2）若将直线AE绕点A旋转到图的位置时（3£><CE）,其余条件不变，问80与DE、CE的关系如何？请予以证明.【答案】(1)见解析：(2) BD=DE-CE,理由见解析.【解析】 【分析】(1)根据已知利用AAS判定ABDgZkCAE从而得到BD=AE, AD=CE,因为AE=AD+DE,所 以 BD=DE+CE；(2)根据己知利用AAS判

6、定ABDg/CAE从而得到BD=AE, AD=CE,因为 AD+AE=BD+CE,所以 BD=DE-CE.【详解】解：(1) V ZBAC=90°, BD_LAE, CE_LAE, AZBDA=ZAEC=90%V ZABD+ZBAE=90 ZCAE+ZBAE=90° AZABD=ZCAEt 二AB = AC,ABD fllACAE 中，ABDA = ZAEC/ < ZABD = NCAE AB = ACAAABDACAE (AAS), ABD=AE, AD=CE, VAE=AD+DE, ABD=DE+CE；(2)BD与DE、CE的数量关系是BD=DE-CE,理由如下：

7、V ZBAC=90°, BD_LAE, CE±AE, AZBDA=ZAEC=90%，/ABD+NDAB=NDAB+NCAE, AZABD=ZCAEt二AB = AC,ABD fllACAE 中， ABDA = ZAEC/ < ZABD = ZCAE AB = ACAAABDACAE (AAS), ABD=AE, AD=CE, ，AD+AE=BD+CE,VDE=BD+CE, ABD=DE-CE. 【点睛】此题主要考查全等三角形的判定和性质，常用的判定方法有sss, SAS, AAS, HL等.这种 类型的题目经常考到，要注意掌握.3.在A3C中，A3 = AC,点。在边

8、上，且403 = 60。,E是射线D4上一动点 （不与点。重合，且ZMWO3），在射线。8上截取OF =。石，连接E厂.（1）当点E在线段AO上时，若点E与点A重合时，请说明线段斯= OC；如图2,若点E不与点A重合，请说明BF = DC + AE；（2）当点E在线段DA的延长线上（OE > 03）时，用等式表示线段AE, BF,CD之间的数 量关系（直接写出结果，不需要证明）.【答案】（1）证明见解析：证明见解析；（2） BF=AE-CD【解析】【分析】（1）根据等边对等角，求到4 = NC,再由含有60角的等腰三角形是等边三角形得 到AAO尸是等边三角形，之后根据等边三角形的性质以及

9、邻补角的性质得到ZAFB = ZADC = 200,推出28/0A48,根据全等三角形的性质即可得出结论： 过点A做AGEF交BC于点G,由4DEF为等边三角形得到DA=DG,再推出AE = GF, 根据线段的和差即可整理出结论：（2）根据题意画出图形，作出AG,由（1）可知，AE=GF, DC=BG,再由线段的和差和等 量代换即可得到结论.【详解】（1）证明：:AB = AC.-.ZB = ZC, DF = DE, ZADB = 60°,且 E 与 A 重合，.AOP是等边三角形:.ZADF = ZAFD = 60°:.ZAFB = ZADC = 20°在AA5

10、E和ACQ中AAFB = ZADC<ZB = ZCAB = AC/. AABFMCDBF = DC如图2,过点A做AGEF交BC于点G,V ZADB=60° DE = DFDEF为等边三角形VAG/EFA ZDAG =ZDEF = 60°, ZAGD= ZEFD = 60°AZDAG=ZAGDA DA=DGADA-DE = DG-DF,即 AE=GF由易证4AGB也4ADC/. BG = CDabf=bg+gf=cd+ae（2）如图3,和（1）中相同，过点A做AGEF交BC于点G,图3由（1）可知，AE=GF, DC=BG,:.BF+CD = BF + BG

11、 = GF = AE故 BF = AECD.【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性 质，正确的作出辅助线是解题的关键.4.探窕与发现：如图（1）所示的图形，像我们常见的学习用品一圆规，我们，不妨把这 样图形叫做“规形图（1）观察“规形图（1）"，试探究NBDC与NA、NB、NC之间的数量关系，并说明理 由：（2）请你直接利用以上结论，解决以下问题：如图（2）,把一块三角尺XYZ放置在AABC上使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点 B、C,若NA=40 ，则NABX+NACX=° .如图（3） , DC 平分NADB, EC

12、 平分NAEB,若NDAE = 40，ZDBE = 130° ,求NDCE 的度数.图（1）图（2）图（3）【答案】（1） ZBDC=ZBAC+ZB+ZC,理由见解析：（2）50：NDCE = 85° .【解析】【分析】（1）首先连接AD并延长至点F,然后根据外角的性质，即可判断出NBDC=ZBAC+ZB+ZC；（2）由（1）可得NA+/ABX+NACX=NX,然后根据/A=40° , ZX = 90° ,即可求 解：（3）由NA=40。，NDBE = 130° ,求出/ADE+NAEB的值，然后根据NDCE = ZA+ZADC+ZAEC f求

13、出NDCE的度数即可.【详解】（1）如图，ZBDC=ZBAC+ZB+ZC,理由是：过点A、D作射线AF,VZFDC=ZDAC+ZCt NBDF= NB+NBAD,AZFDC+ZBDF = Z DAC+ ZBAD+ZC+ZB,K|JZBDC=ZBAC+ZB+ZC： （2）如图（2）, ,/x=9（r , 由（1）知：ZA+ZABX+ZACX= ZX = 90° , VZA=40° , AZABX+ZACX=50° , 故答案为：50；如图（3） , VZA=40° , ZDBE=130° , .ZADE+ZAEB = 130° -40&

14、#176; =90° , 二DC 平分NADB, EC 平分NAEB,11AZADC=-ZADB, NAEC= - NAEB, 22AZADC+ZAEC=-（ZADB + ZAEB） =45° , 2A ZDCE= ZA+ZADC+ZAEC=40° +45° =85° .【点睛】本题主要考查了三角形外角性质以及角平分线的定义的运用，熟知三角形的一个外角等于 和它不相邻的两个内角的和是解题的关键.V5.如图，八（0, 4）是直角坐标系y轴上一点，动点P从原点O出发，沿x轴正半轴运 动，速度为每秒1个单位长度，以P为直角顶点在第一象限内作等腰RS4

15、P8.设P点的 运动时间为t秒.01图2（1）若48x轴,如图1,求t的值：（2）设点4关于x轴的对称点为A,连接A8,在点P运动的过程中，NOA8的度数是否 会发生变化，若不变，请求出N048的度数，若改变，请说明理由.（3）如图2,当t=3时，坐标平面内有一点M （不与A重合）使得以M、P、8为顶点的 三角形和AABP全等，请直接写出点M的坐标.【答案】（1） 4； （2） NOA8的度数不变，NOA8=45°,理由见解析：（3）点M的坐 标为（6, -4） , （4, 7） , （10, - 1）【解析】【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质以及平行线的性质，可证明aAOP为等

16、腰直角三角形，从而求得答案：（2）根据对称的性质得：PA=PA'=PB,由N%8+NP8A = 90。，结合三角形内角和定理即 可求得 NO4'8=45。：（3）分类讨论：分别讨论当A8Pg/iA48P、AABPqAMPB、48Pg/kMP8 时，点 M 的 坐标的情况：过点M作x轴的垂线、过点B作y轴的垂线，利用等腰直角三角形的性质及 全等三角形的判定和性质求得点M的坐标即可.【详解】（1）.8x轴，4P8为等腰直角三角形，/ ZPAB= ZPBA = N4PO=45。，.40P为等腰直角三角形，：.OA = OP=4./=4。1=4 （秒），故t的值为4.（2）如图2, N

17、048的度数不变，NOA8=45。，点4关于x轴的对称点为A,：.PA = PA又 AP=PB,：.PA=PAl = PB,，NHVT = N%'A, NP8A=N%'8,又/%8+/P84=90°,，N W+N%'4+N%'8+NP8A= 180°-(ZPAB + ZPBA)= 180。-90°=90°,，ZA4,B=45",即 NOA8=45。：(3)当t=3时，M、P、8为顶点的三角形和8P全等,如图 3,若48Pg/M8P,则4P=PM,过点M作MD,OP于点。，V ZAOP=ZPDM, /APO=/DP

18、M,：.AAOP/MDP (AAS),：.OA = DM=4, 0P=PD=3,图3如图 4,若aABP9AMPB,则 A8 = PM，过点M作ME_Lx轴于点E,过点4作BG _Lx轴于点G ,过点3作8尸_L ）'轴于点/， 4P8为等腰直角三角形，则MPS也为等腰直角三角形，8Ap=NMP8=45。，PA = PB Z1 + Z3 = 9O° = Z2 + Z3, Z1 = Z2 . RiAOP三RlPGB:,BG = OP = 3, PG = AO = 4 BG_Lx 轴，轴 .四边形BGOF为矩形，：.OP = BG = 3,则AF = OAOF = 43 = 1B

19、F = OG = OP+PG = 3+4 = 7在RiABF和RiPME中ZBAF=450 + Z > ZMPF=45° + Z2«：,ZBAF=ZMPE,: AB = PM：.RABF = R«PME:.ME = BF = 7, PE = AF = 1.M的坐标为：（4, 7）,M如图 5,若4ABP9AMPB,则 =过点乂作MEJ_x轴于点。，过点3作BG _Lx轴于点E ,过点3作8尸_L )'轴于点F , WPS为等腰直角三角形，则MPS也为等腰直角三角形，：.ZBAP=ZMPB=45° , PA = PB Z1 + Z3 = 9O

20、° = Z2 + Z3, . Z1 = Z2:.RtAOP = R«PEB:.BE = OP = 3, PE = AO = 4,：BE-Lx , 8F_Ly 轴 .四边形BE。/7为矩形，：.OP = BG = 3,则AF = OA。尸=4-3 = 1BF = OE = OP+PE = 3+4 = 7在 R/OABP 和 RlPMD 中V BF ± y 轴A Z4 = Z2 Z4+ABF =+NPMD ZABF = NPMD AB = PM' Ri ABF = Ri PMD；.MD = AF = 1, PD = BF = 7 .M的坐标为：(10, -1)

21、.综合以上可得点M的坐标为：(6, -4) , (4, 7) , (10, - 1).【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，第(3)小题 要注意分类讨论，作此类型的题要结合图形，构建适当的辅助线，寻找相等的量才能得出 结论.二、八年级数学轴对称解答题压轴题（难）（1）若将aACE绕点4逆时针旋转，连接OE, M是DE的中点，连接MB、MC （图2）, 证明：MB=MC.（2）若将图1中的CE向上平移，NC4E不变，连接OE, M是DE的中点，连接M8、MC （图3）,判断并直接写出M8、MC的数量关系.（3）在（2）中，若NCAE的大小改变（图4）,其他

22、条件不变，则（2）中的例8、MC的 数量关系还成立吗？说明理由.【答案】（1）见解析：（2）M8=MC.理由见解析；（3）M8=MC还成立，见解析.【解析】【分析】（1）连接AM,根据全等三角形的对应边相等可得AD=AE, AB=AC,全等三角形对应角相等 可得NBAD=/CAE,再根据等腰三角形三线合一的性质得到NMAD二NMAE,然后利用“边角 边”证明AABM和ACM全等，根据全等三角形对应边相等即可得证：（2）延长DB、AE相交于E',延长EC交AD于F,根据等腰三角形三线合一的性质得到 BD二BE',然后求出MBAE',再根据两直线平行，内错角相等求出NMBC

23、二/CAE,同理求 出MCAD,根据两直线平行，同位角相等求出NBCM二NBAD,然后求出NMBC二NBCM,再根 据等角对等边即可得证；（3）延长BM交CE于F,根据两直线平行，内错角相等可得NMDFNMEF, NMBD二NMFE, 然后利用“角角边”证明MDB和AMEF全等，根据全等三角形对应边相等可得MB二MF,然 后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明即可.【详解】(2)/. AD=AE , AB=AC , Z BAD= CAE.,/ MD=ME ,：.Z MAD=A MAE ,：.Z MAD-i BAD=A MAE-4 CAE ,即 N8AM二N CAM.在ABM和4CM中，

24、AB=AC ,Z BAM=A CAM ,AM=AM ,:, & ABM 4 ACM ( SAS ),，MB=MC.(2 ) MB=MC .理由如下：如图(3),延长CM交D8于£延长8M到G,使得MG=8M,连接CG.(3)CEW BD ,Z MEC=，MDF , Z MCE=N MFD.M是E。的中点，/. MD=ME.在仆MCE和MFD中，Z MCE=N MFD ,Z MEC=N MDF ,MD=ME ,: & MCE拶 4 MFD ( AAS ).?. MF=MC.：.在仆MF8和MCG中，MF=MC ,Z FMB=N CMG ,BM=MG , MFB a MC

25、G ( SAS ).?. FB=GC f Z MFB=N MCG ,/. CGII BD,即G、C. E在同一条直线上. Z GCB=90°.在a FBC和AGCB中，FB=GC ,Z FBC=Z GCB tBC=CB ,. FBC GCB ( SAS )./. FC=GB.1 1/. MB=-GB- FC=MC. 22(3 ) M8=MC还成立.如图(4),延长8M交CE于F,延长CM到G,使得MG二CM,连接8G.(4) CEW BD ,?. Z MDB=N MEF f Z MBD=N MFE.又是OE的中点， MD=ME.在MD8和MEF中，Z MD8=N MEF , Z MB

26、gN MFE t MD二ME ,. MDB MEF ( AAS ), /. MB=MF.CEW BD , /. Z FCM=A BGM.在仆FCM和8GM中，CM=MG ,Z CMF=N GMB ,MF=MB ,.a FCM BGM ( SAS )./. CF=BG , Z FCM=t BGM.CF/BG,即久8、G在同一条直线上.在4 CFB和8GC中，CF=BG ,Z FCB=N GBC ,CB=BC , CFB BGC ( SAS ).BF=CG.1 1MC=-CG=-BF=MB . 22【点睹】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，等角对等边的性质, 直角三角形斜

27、边上的中线等于斜边的一半的性质，以及三角形的中位线定理，综合性较强，但难度不大，作辅助线构造出等腰三角形或全等三角形是解题的关键.7.定义：如果一条线段将一个三角形分成2个小等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三 角形的"好线"：如果两条线段将一个三角形分成3个小等腰三角形，我们把这两条线段叫 做这个三角形的“好好线”.理解：（1）如图 1,在A4BC中，A3 = AC,点。在4c边上，且AD = 8Z） = 8C,求NA的大小：（2）在图1中过点C作一条线段CE,使8D, CE是AA8C的"好好线”；在图2中画出顶角为45的等腰三角形的“好好线”，并标注每个等腰三

28、角形顶角的度数（画出一种即可）：应用：（3）在AABC中，N8 = 27'，AO和。石是AABC的"好好线"，点。在8C边上，点 石在4C边上，且AD = BD，DE = CE,请求出NC的度数.【答案】（1） 36。： （2）见详解；（3） 18°或42°【解析】【分析】（1）利用等边对等角得到三对角相等，设NA=NABD=x,表示出NBDC与NC,列出关 于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出NA的度数.（2）根据（1）的解题过程作出aABC的“好好线”：45°自然想到等腰直角三角形，过底 角一顶点作对边的高，发现形成一个等

29、腰直角三角形和直角三角形.直角三角形斜边的中 线可形成两个等腰三角形；第二种情形以一底角作为新等腰三角形的底角，则另一底角被 分为45°和22.5° ,再以22.50分别作为等腰三角形的底角或顶角，易得其中作为底角时 所得的三个三角形恰都为等腰三角形；（3）用量角器，直尺标准作27°角，而后确定一边为BA, 一边为BC,根据题意可以先 固定BA的长，而后可确定D点，再分别考虑AD为等腰三角形的腰或者底边，兼顾A、 E、C在同一直线上，易得2种三角形ABC：根据图形易得NC的值；【详解】解：（1） VAB=AC,.ZABC=ZC,VBD=BC=AD,AZA=ZABD

30、, ZC=ZBDC,1 QQ设NA=NABD=x,则NBDC=2x, ZC= - 2由 c 180 -x可得2x =2x=36。则 NA=36° ；（2）如图所示:当AD=AE时，V2x+x=27° +27° ,Ax=18° ；当AD=DE时，27。+27° +2x+x=180° ,，x=42。；综上所述，NC为18°或42。的角.【点睛】本题主要考查了三角形内角、外角间的关系及等腰三角形知识，解题的关犍是学会用分类 讨论的思想思考问题，属于中考常考题型.8.在等边48C中，点。在8c边上，点E在4C的延长线上，DE=D4（

31、如图1）.求证：ZBAD=ZEDC若点E关于直线8c的对称点为M（如图2）,连接DM, AM.求证：DA=AM.8 B 厂、图1图2【答案】（1）见解析：（2）见解析【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质，得出N84>NAC8=60。，然后根据三角形的内角和和外角性 质，进行计算即可.（2）根据轴对称的性质，可得DM=DA,然后结合（1）可得NMDC=N8AD,然后根据三角 形的内角和，求出NAD仁60°即可.【详解】解：如图1,A8C 是等边三角形，A ZBAC=ZACB=60：.ZBAD=60Q - /DAE, NEDC=60。- NE,又： DE=DA,：.ZE=ZD

32、AE.：.ZBAD=ZEDC.由轴对称可得，DM=DE, NEDC;NMDC,9：DE=DA,：.DM=DA.由可得，/BAD=/EDC,；NMDC=NBAD,V AABD 中，ZBAD+ZADB=180Q - Z8=120°,：.ZMDC+ZADB=120：.ZADM=6Oq9.WDM是等边三角形，：.AD=AM.【点睛】本题主要考察了轴对称和等边三角形的性质，解题的关键是熟练掌握这些性质.9.（阅读理解）截长补短法，是初中数学几何题中一种输助线的添加方法，截长就是在长边上载取一条线 段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问 题.（1）如图1，

33、ABC是等边三角形，点。是边8c下方一点，ZBDC=12O探索线段DA. DB、DC之间的数量关系.解题思路：延长DC到点E,使CE=8D.连接4E,根据N8AC+N8DC= 180°,可证N48D =乙4名易证得八8Dg"C£,得出儿）£是等边三角形，所以4。=。£,从而探寻线段 DA. D8、DC之间的数量关系.根据上述解题思路，请直接写出。4。8、DC之间的数量关系是（拓展延伸）（2）如图 2,在 Rt448C 中，ZBAC=90°, 48=AC .若点。是边 8c 下方一点，N8DC=90。，探索线段。4 D8、DC之间的数量

34、关系，并说明理由；（知识应用）（3）如图3,一副三角尺斜边长都为14cm,把斜边重叠摆放在一起，则两块三角尺的直角 顶点之间的距离PQ的长为 cm.图1；图2图荚【答案】（1） DA = DB + DC； （2）叵DA = DB + DC，理由见详解；（3） 7V2+75/6 ZABD = ZACE：.ABD =ACE(SAS)：.AD = AE,/BAD = ZCAE ABAC = 60° ZBAD + ZDAC = 60° /DAE = ADAC + ZCAE = 60°.AOE是等边三角形：.DA = DE = DC+CE = DC+DB(2) y/2DA

35、= DB + DC延长OC到点E,使CE=8D,连接4E,v ABAC = 90 /BDC =90°：.ZAB£> + ZACD = 180°又NACE + NACO = 180°ZABD = ZACE/ AB = AC.CE = BD.ABD =ACE(SAS)/. AD = AE.乙BAD =/CAE：./DAE = ABAC = 90°/. DA1 + AE2 = DE2:.2DA2 =(DB + DC)2应DA = DB + DC(3)连接PQ,.MN = 14,NQMN = 30°：.QN = ；MN = 7根据勾股定

36、理得 MQ = yMN2 -QN2 = V142-72 = V147 = 7石 由（2）知 J?PQ = QV + QMQN +。河_7 + 7退_7五+ 7遥Q=r=2【点睛】此题是三角形的综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、直角三角形和等边三角形 的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关犍.10.如图，在等边AA3C中，线段AM为边上的中线.动点O在直线AM上时，以 CO为一边在CO的下方作等边ACQE,连结8E.（1）求NC4M的度数：（2）若点。在线段AM上时，求证：AADC = ABEC：（3）当动点。在直线AM上时，设直线4E与直线AW的交点为。，试判断NAO3是否

37、为定值？并说明理由.备用图1备用图2【答案】（1）30。： （2）证明见解析；（3） NAO8是定值，ZAOB = 60°.【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质可以直接得出结论：（2）根据等边三角形的性质就可以得出AC = AC, DC = EC,ZACB = ZDCE = 60°,由等式的性质就可以NBCE = NACO,根据S4s就可以得出 A4DC =gEC；（3）分情况讨论：当点。在线段AM上时，如图1,由（2）可知AACQ三MCE,就可 以求出结论：当点。在线段4W的延长线上时，如图2,可以得出而有 NC8E = NC4O = 30。而得出结论；当点O在线段

38、M4的延长线上时，如图3,通过得出 A4C£三ABCE同样可以得出结论.【详解】(1) .A48C是等边三角形，/. ABAC = 60°.线段AW为8C边上的中线，/. ZCAM=-ZBAC, 2，NC4M=3O°.(2) 243c与 MEC都是等边三角形，AC = BC, CD = CE, ZACB = ZDCE = 6O。,ZACD + ADCB = ADCB + ZBCE,:./ACD = NBCE.在MDC和ABEC中AC = BC< ZACD = /BCE ,CD = CEAACZ) = ABCE(SAS)：(3) NAO8是定值，ZAOB =

39、60°,理由如下：当点O在线段AM上时，如图1,由(2)可知 A4CQ=MCE,则 NC3E = NC4。= 30。，又 NA5C = 60。，.ZC5E + ZABC = 60o + 30o = 90°,.AABC是等边三角形，线段AM为8C边上的中线,AM 平分 ZBAC, RP ZBAM = - ABAC = lx 60° = 30° 22/. ZBa4 = 90°-30o = 60°.当点。在线段AM的延长线上时，如图2, 与AOEC都是等边三角形，/.AC = BC, CD = CE, ZACB = ZDCE = 60。,.

40、ZACB + ZDCB = ZDCB+ZDCE ,:.NACD = NBCE,在MCD和ABCE中AC = BC< ZACD = ABCE ,CD = CE：.SACD = ABCE(SAS) 9，NC5E = NC4D = 30°,同理可得：BAM = 30°,/.4。4 = 90。-30。= 60°.当点D在线段MA的延长线上时，AA8C与AOEC都是等边三角形，/. AC = BC> CD = CE，ZACB = ZDCE = 60。,：.ZACD+ZACE = ZBCE+ZACE = 60° ,:./ACD = NBCE，在MCD和A

41、BCE中AC = BC-ZACD = ZBCE ,CD = CE .ACD = ABCE(SAS) 9/. ZCBE = ZCAD,同理可得：ZCAM =30°/.ZCBE = ZG4D = 150°/. ZCBO = 30° , ZBAM = 30°,：.NBQ4 = 900-30° = 60°.【点睛】此题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，等边三角形三线合一的性质，解 题中注意分类讨论的思想解题.三、八年级数学整式的乘法与因式分解解答题压轴题(难)11 .阅读材料：若 m? - 2mn+2n2 - 8n+16=0,求

42、m、n 的值.解：Vm2 - 2mn+2n2 - 8n+16=0t /. (m2 - 2mn+n2) + (n2 - 8n+16) =0(m - n) 2+ (n - 4) 2=01 .* (m - n) 2=0> (n - 4) 2=0,，n=4, m=4.根据你的观察，探究下面的问题：(1)已知 x?+2xy+2y2+2y+l=0,求 2x+y 的值:(2)已知 a - b=4, ab+c2 - 6c+13=0,求 a+b+c 的值.【答案】(1)1： (2)3.【解析】【分析】(1)根据题意，可以将题目中的式子化为材料中的形式，从而可以得到x、y的值，从而 可以得到2x+y的值；(

43、2)根据a-b=4, ab+c2-6c+13=0,可以得到a、b、c的值，从而可以 得到a+b+c的值.【详解】解：(l)Vx2+2xy+2y2+2y+l=0,(x2+2xy+y2)+(y2+2y+l)=0,.,.(x+y)2+(y+l)2=0,/ x+y=Ot y+l=O»解得，x=l, y=-l,.2x+y=2xl+(-l)=l；(2)Va-b=4,a=b+4»将 a=b+4 代入 ab+c2-6c+13=0» 得b2+4b+c2-6c+13=0,A(b2+4b+4)+(c2-6c+9)=0,A(b+2)2+(c-3)2=0,，b+2=0, c-3=0,解得，

44、b=-2, c=3,Aa=b+4=-2+4=2,Aa+b+c=2-2+3=3.【点睛】此题考查了因式分解方法的应用：利用因式分解解决求值问题：利用因式分解解决证明问 题：利用因式分解简化计算问题.此题解答的关键是要明确：用因式分解的方法将式子变形 时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分.12.材料：数学兴趣一小组的同学对完全平方公式进行研究：(/-/?)2>0,将左边展开 得到a2 -2ab + b2 >0» 移项可得:a2 + b2 > lab.数学兴趣二小组受兴趣一小组的启示，继续研究发现：对于任意两个非负数6、，都存 住m +之2屈，并

45、进一步发现，两个非负数？、”的和一定存在着一个最小值.根据材料，解答下列问题：(1)(2x)2+(5y)2> (x>0, y>0) . x2+ 1 >(x>0)：(2)求6% + ；(x>0)的最小值: 4人9（3）已知x>3,当X为何值时，代数式2x + 2007有最小值，并求出这个最小2x 6值.-99【答案】（1） 20xy , 2； （2） 2/；（3）当工=一时，代数式2x + 2007的22x-6最小值为2019.【解析】【分析】（1）根据阅读材料即可得出结论：（2）根据阅读材料介绍的方法即可得出结论：9（3）把已知代数式变为2x-6 +

46、2013,再利用阅读材料介绍的方法，即可得到2x-6结论.【详解】（1）Vx>0, y>0,（2x） +（5y）2 > 2x2x-5y = 20a>?,V x > 0,x2 + L' >2x-l = 2： xj x（2）当x>0时，2x.二均为正数， 2x.6x + - > 2 5=2 炳所以，61+上的最小值为2疝.2x9（3）当x>3时，2X，, 2x-6均为正数,2x-69/e 2x 4+ 20072x-6,9= 2x 6 + 20132x 6> 2J（2x6）- +2013 = 2+2013 = 2019由（a可知，当

47、且仅当时，/+取最小值,99，当2工一6 =,即工=一时，有最小值.2x 62Vx>399故当x =一时，代数式2x + 2007的最小值为2019.22a- 6【点睛】本题考查了完全平方公式的变形应用，解答本题的关键是理解阅读材料所介绍的方法.13.把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以 得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积.例如，由图 1,可得等式：(a+2b) (a+b) =a:+3ab+2b:(1)如图2,将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为a+b+c的正方形，试 用不同的形式表示这个大正方形的面积，你能发现什么结论？请用等

48、式表示出来.(2)利用(1)中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c=11, ab+bc+ac=38,求a'+b'+c'的值.(3)如图3,将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B, C, G三点在同一直线上， 连接BD和BF.若这两个正方形的边长满足a+b=10, ab=20,请求出阴影部分的面积.【答案】(1)(a+b+c) =a:+bc+c:+2ab+2bc+2ac； (2) 45； (3) 20.【解析】【分析】(1)此题根据面积的不同求解方法，可得到不同的表示方法.一种可以是3个正方形的面 积和6个矩形的面积，种是大正方形的而积，可得等式(a+b+c)

49、 2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac ；(2)利用(1)中的等式直接代入求得答案即可：(3)利用S渭所正方形ABCD的面积+正方形ECGF的而积-三角形BGF的而积-三角形ABD 的面积求解.【详解】(1)( a+b+c ) 2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac ；(2 ) Va+b+c=ll , ab+bc+ac=38 ,.a2+b2+c2= ( a+b+c ) 2 - 2 ( ab+ac+bc ) =121 - 76=45 ；(3 ) Va+b=10 , ab=20 ,AS ；=a2+b2 - - ( a+b ) #b - - a2 22=(a+b )2- - ab221

50、 , 3= -xl02 - -x202 2=50 - 30=20.【点睛】本题考查了完全平方公式几何意义，解题的关犍是注意图形的分割与拼合，会用不同的方 法表示同一图形的面积.14.请你观察下列式子：(x-l)(x + l) = x2-l(x-l)(x2+x + l) = x3-l(x-l)(x3 +X2 +X4-1) =X4 -1(x-l)(x4 +x3+x2 +X + 1) = x5 -1 根据上面的规律，解答下列问题：(1)当 x = 3 时，计算(3-1)(323 7 + 32016 + 32015 +33 + 32 + 3 + 1)=:(2) a = 22017 + 22016 +

51、22015 +. +23 + 22 + 2 + H 则 a 的个位数字为_：(3)求式子52017 + 52m6 + 5201s +. +53 + 5? + 5 的和.苗2018_5【答案】(1) 3如8一1： (2) 3： (3)：4【解析】【分析】(1)根据已知的等式发现规律即可求解；(2)先根据x=2,求出a=2刈8，再发现2的甯个位数字的规律，即可求出a的个位数 字；(3)利用已知的等式运算规律构造(5-1) X(5236+ 5刈5+5刈4+ . + 52+5 + 1)即可 求解.【详解】(1) V (x-l)(x + l) = x2-l(x-l)(x2+x+l) = x3-l(x-l

52、)(x3 +x2 +x+l) = x，- 1(x-l)(x4 +X3+X2 +A + 1) = X5 -1 . (X- 1)(x" + XW-1 + Xn2 +. + X2 +x+l) = x"" 一1故x=3 时，(3- 1)(3刈7 + 32016 + 32015 + .+33 +32 +3 + 1) = 32018 -1故填：32018 -1 ：(2) a = 22017 + 22016 + 22015 +. +23 +22 +2 + I=(2-1) (22017 + 2 (1)阅读下列文字与例题：将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的 方法是分

53、组分解法 例如： am + an + bm + bn = (am + bm) + (an + bn) = m(a + b) + n(a + b) = (a + b)(m + n).l=x2-(y2+2y + l) = x2-(y + l)2 =(A + y + l)(A-y-l). 试用上述方法分解因式 +2出? +枇+仇+ 2 =(2)利用分解因式说明:(+ 5)2-(-1)2能被12整除. 【答案】(1) (+b)(a+"+c)；(2)证明见解析. 【解析】,6 + 22015 +. +23 + 22 + 2 +1) = 22018-1V21=2,22=4,23=8,24=16/

54、25=32,26=64.2八的个位数按2,4,8,6,依次循环排列，V2018-？4=504.2,2刈s的个位数为%2刈'I的个位数为3,故填：3：(3) 5M7 + 52016 + 5刈§ +. +53+52+545-X (5-1)= 1(5-I)x5x ( 5刈6 + 52015 + 520" + +5? + 5 +1 )(52O.6+52O15+52O14 + +52+5 + 1)45454【点睛】此题主要考查等式的规律探索及应用，解题的关键是根据已知等式找到规律.【分析】(1) a?+2ab+ac+bc+b2可以进行分组变成(a2+2ab+b2) + (ac

55、+bc),则前边括号内的三项 可以利用完全平方公式分解，后边的三项可以提公因式，然后再利用提公因式法即可分 解.(2)先利用平方差公式将( + 5)2-(-1)2进行四式分解，之后即可得出答案.【详解】(1)原式=(/+2aZ?+) + (ac+Z?c)= (. + )- +c(a + b)= (a + Z?)m + Z? + c)(2) ( + 5)2 -1)2=( + 5)+0?-1) (? + 5) -(/-I)= 6(2 + 4)=12( + 2)*(篦 + 5)2 -(M -1)2 能被 12 整除.【点睛】本题考查分组分解的因式分解方法，做题时先分析题中给的例子是解题关犍.四、八年

56、级数学分式解答题压轴题(难)16.阅读下面内容：我们已经学习了二次根式和乘法公式，聪明的你可以发现： 当。>0,人>0 时，-(y/a-yfb)2 =a-2yfab+b>0, ：,a + b>2yb,当且仅当 =匕时取等号.请利用上述结论解决以下问题：当x0时，x 的最小值为:当x<o时，x的最大值为.XX(2)当x>0时，求)，=二+3'-16的最小值.X如图，四边形ABCD的对角线AC, BD相交于点O, AOB、COD的面积分别为4和 9,求四边形ABCD面积的最小值.【答案】(D 2,-2； (2) 11： (3) 25【解析】【分析】(1)当x>0时，按照公式a+b22而(当且仅当a=b时取等号)来计算即可：xVO时,由于-x>0, -AO,则也可以按照公式a+b22而（当且仅当a=b时取等号）来计算: x（2）将），=.1+3工一16的分子分别除以分母,展开，将含X