高二数学人教A必修5练习：2.4.1 等比数列 Word版含解析

1、课时训练11等比数列一、等比数列中基本量的运算1.已知an是等比数列,a2=2,a5=14,则公比q等于()A.-12B.-2C.2D.12答案:D解析:a5a2=a1q4a1q=q3=142=18,q=12.2.已知等比数列an中,a1=32,公比q=-12,则a6等于()A.1B.-1C.2D.12答案:B解析:由题知a6=a1q5=32×-125=-1,故选B.3.(2015福建宁德五校联考,7)已知等比数列an中,a2+a3a1+a2=2,a4=8,则a6=()A.31B.32C.63D.64答案:B解析:设等比数列an的公比为q,由a2+a3a1+a2=2,a4=8,得q(

2、a1+a2)a1+a2=2,a1q3=8,解得a1=1,q=2.所以a6=a1q5=25=32.故选B.4.(2015山东潍坊四县联考,3)已知等差数列an的公差为2,若a1,a3,a4成等比数列,则a2等于()A.-4B.-6C.-8D.-10答案:B解析:等差数列an的公差为2,a1,a3,a4成等比数列,(a1+4)2=a1(a1+6),a1=-8,a2=-6.故选B.5.(2015江西吉安联考,2)已知等比数列an的公比q=-13,则a1+a3+a5+a7a2+a4+a6+a8等于()A.-3B.-13C.3D.13答案:A解析:等比数列an的公比q=-13,a1+a3+a5+a7a2

3、+a4+a6+a8=a1+a3+a5+a7(a1+a3+a5+a7)q=1q=-3.故选A.二、等比中项及应用6.2+3和2-3的等比中项是. 答案:±1解析:设A为等比中项,则A2=(2+3)(2-3)=1,A=±1.7.已知等比数列an的各项均为正数,它的前三项依次为1,a+1,2a+5,则数列an的通项公式an=. 答案:3n-1解析:由题意,知(a+1)2=2a+5,a2=4.an的各项均为正数,a+1>0且2a+5>0.a=2.a+1=3.q=a+11=3.an=3n-1.三、等比数列的判定8.给出下列数列:2,2,4,8,16,3

4、2,;在数列an中,a2a1=2,a4a3=2;常数列c,c,c,c,.其中等比数列的个数为. 答案:0解析:不是等比数列,因为a2a1a3a2;不一定是等比数列,因为不知道a3a2的值,即使a3a2=2,数列an也未必是等比数列;不一定是等比数列,当c=0时,数列不是等比数列.故填0.9.设an是公比为q的等比数列,设q1,证明数列an+1不是等比数列.证明:假设an+1是等比数列,则对任意的kN*,(ak+1+1)2=(ak+1)(ak+2+1),ak+12+2ak+1+1=akak+2+ak+ak+2+1,a12q2k+2a1qk=a1qk-1·a1qk+1+a1qk

5、-1+a1qk+1,因为a10,所以2qk=qk-1+qk+1.因为q0,所以q2-2q+1=0,解得q=1,这与已知矛盾.所以假设不成立,故an+1不是等比数列.(建议用时:30分钟)1.已知在等比数列an中,a1+a3=10,a4+a6=54,则该等比数列的公比为()A.14B.12C.2D.8答案:B解析:因为(a1+a3)q3=a4+a6,所以q3=a4+a6a1+a3=5410=18,即q=12,选B.2.若等比数列的首项为98,末项为13,公比为23,则这个数列的项数为()A.3B.4C.5D.6答案:B解析:a1=98,an=13,q=23,98×23n-1=13,则n

6、=4.3.已知等比数列an中,a1=3,8an2=an+1·an+2,则a3=()A.48B.12C.6D.2答案:B解析:设数列an的公比为q,则由8an2=an+1an+2,得8a12=a2a3,即8a12=a12q3,q=2.a3=a1q2=3×4=12.4.如果-1,a,b,c,-9成等比数列,那么()A.b=3,ac=9B.b=-3,ac=9C.b=3,ac=-9D.b=-3,ac=-9答案:B解析:-1,a,b,c,-9成等比数列,b2=(-1)×(-9)=9.又a2=-1×b=-b,b=-3.又b2=ac,a与c同号.ac=9.5.已知1既

7、是a2与b2的等比中项,又是1a与1b的等差中项,则a+ba2+b2的值是()A.1或12B.1或-12C.1或13D.1或-13答案:D解析:由题意得,a2b2=(ab)2=1,1a+1b=2,ab=1,a+b=2或ab=-1,a+b=-2.又a+ba2+b2=a+b(a+b)2-2ab,其值为1或-13.6.设a1=2,数列1+2an是公比为2的等比数列,则a6等于. 答案:79.5解析:1+2an=(1+2a1)×2n-1,1+2a6=5×25,a6=5×32-12=79.5.7.已知等差数列an的公差d0,它的第1,5,17项顺次成等比数列,则这

8、个等比数列的公比是. 答案:3解析:由已知a52=a1·a17,(a1+4d)2=a1(a1+16d).a1=2d.公比q=a5a1=a1+4da1=6d2d=3.8.某林场的树木每年以25%的增长率增长,则第10年末的树木总量是今年的倍. 答案:1.259解析:设这个林场今年的树木总量是m,第n年末的树木总量为an,则an+1=an+an×25%=1.25an.则an+1an=1.25.则数列an是公比q=1.25的等比数列.则a10=a1q9=1.259m.所以a10a1=1.259.9.等比数列的前三项和为168,a2-a5=42,求a5,a7的等比中项.解:由题意知a1+a1q+a1q2=168,a1q·(1-q)(1+q+q2)=42,÷得q(1-q)=42168,q=12.a1=168×47=96.又a6=a1q5,a6=96×125=3,a5,a7的等比中项a6=3.10.已知数列an满足a1=78,且an+1=12an+13,nN*.(1)求证:an-23是等比数列;(2)求数列an的通项