三角函数线课件

1、知识回顾：知识回顾：1.任意角的三角函数的单位圆定义：任意角的三角函数的单位圆定义：tancossinyxxyoxy( (x,yx,y) )三角函数三角函数定义域定义域RsincostanR)(2Zkk(x0) 任意角任意角 的三角函数值仅与的三角函数值仅与 有关，而有关，而与点与点 在角的终边上的位置无关在角的终边上的位置无关.P2.定定义推广：义推广：0),(22yxrPyxP与原点的距离点是终边上的任意一点，是一个任意角，设角)0(tan)3(cos)2(sin) 1 (xxyyxrxrxryry的正切，即叫作的余弦，即叫作的正弦，即叫作那么 由三角函数的定义我们知道，对于角由三角函数的

2、定义我们知道，对于角的各的各种三角函数我们都是用种三角函数我们都是用比值比值来表示的，或者说来表示的，或者说是用是用数数来表示的，今天我们学习来表示的，今天我们学习正弦、余弦、正弦、余弦、正切函数正切函数的另一种的另一种表示方法表示方法几何表示法几何表示法 新课引入新课引入知识探究（一）：知识探究（一）：正弦线和余弦线正弦线和余弦线 思考思考1 1：如图，设角如图，设角为第一象限角，其终边与单为第一象限角，其终边与单位圆的交点为位圆的交点为P P（x x，y y），则），则 ， 都是正数，你能分别用一条线段表示角都是正数，你能分别用一条线段表示角的正弦的正弦值和余弦值吗？值和余弦值吗？siny

3、cosxP P（x x，y y）O Ox xy yM|sinMPy|cosOMx5思考思考2 2：若角若角为第三象限角，其终边与单位圆为第三象限角，其终边与单位圆的交点为的交点为P P（x x，y y），则），则 ， 都都是负数，此时角是负数，此时角的正弦值和余弦值分别用哪条的正弦值和余弦值分别用哪条线段表示？线段表示？sinycosx|sinMPy|cosOMxP P（x x，y y）O Ox xy yM M为了简化上述表示，我们设想将线段的两个端点规定为了简化上述表示，我们设想将线段的两个端点规定一个为始点，另一个为终点，使得线段具有方向性，一个为始点，另一个为终点，使得线段具有方向性，带

4、有正负值符号带有正负值符号. .根据实际需要，我们规定根据实际需要，我们规定线段从始线段从始点到终点与坐标轴同向时为正方向，反向时为负方向点到终点与坐标轴同向时为正方向，反向时为负方向. 规定了始点和终点，规定了始点和终点，带有方向的线段，叫做有向线段带有方向的线段，叫做有向线段. .由上分析可知，当角由上分析可知，当角为第一、三象限角时，为第一、三象限角时，sinsin、coscos可分别用有向线段可分别用有向线段MPMP、OMOM表示，即表示，即MP= sinMP= sin，OM=cosOM=cos，那么当角，那么当角为第二、四象限角时，你能检验为第二、四象限角时，你能检验这个表示正确吗？

5、这个表示正确吗？ P P（x x，y y）O Ox xy yM MP P（x x，y y）O Ox xy yM M* 带有方向的线段叫有向线段带有方向的线段叫有向线段.*有向线段的大小称为它的数量有向线段的大小称为它的数量.在坐标系中在坐标系中, ,规定规定: : 有向线段的方向与坐标系的方向相有向线段的方向与坐标系的方向相同同.即同向时即同向时,数量为正数量为正;反向时反向时,数量为数量为负负.定义：定义：设角设角的终边与单位圆的交点为的终边与单位圆的交点为P P，过，过点点P P作作x x轴的垂线，垂足为轴的垂线，垂足为M M，称有向线段，称有向线段MPMP，OMOM分别为角分别为角的的正

6、弦线正弦线和和余弦线余弦线. .思考：思考：当角当角的终边在坐标轴上时，角的终边在坐标轴上时，角的正的正弦线和余弦线的含义如何？弦线和余弦线的含义如何？P PO Ox xy yM MO Ox xy yP PP P思考：思考： 设设为锐角，你能根据正弦线和余弦线说为锐角，你能根据正弦线和余弦线说明明sinsincoscos 1 1吗？吗？P PO Ox xy yMMPMPOMOP=1OMOP=1A AT T思考思考1 1：如图，设角如图，设角为第一象限角，其为第一象限角，其终边与单位圆的交点为终边与单位圆的交点为P P（x x，y y），则），则 是正数，用哪条有向线段表示是正数，用哪条有向线段

7、表示角角的正切值最合适？的正切值最合适？tanyxP PO Ox xy yM MtanyATx（1，0）知识探究（二）：知识探究（二）：正切线正切线AT T思考思考2 2：若角若角为第四象限角，其终边为第四象限角，其终边与单位圆的交点为与单位圆的交点为P P（x x，y y），则），则 是负数，此时用哪条有向线段表示角是负数，此时用哪条有向线段表示角的正切值最合适？的正切值最合适？tanyxP PO Ox xy yM MtanyATxA AT TA AT TP PO Ox xy yM M思考思考3 3：若角若角为第二象限角，其终边为第二象限角，其终边与单位圆的交点为与单位圆的交点为P P（x

8、x，y y），则），则 是负数，此时用哪条有向线段表示角是负数，此时用哪条有向线段表示角的正切值最合适？的正切值最合适？tanyxtanyATxtanyx思考思考4 4：若角若角为第三象限角，其终边为第三象限角，其终边与单位圆的交点为与单位圆的交点为P P（x x，y y），则），则 是正数，此时用哪条有向线段表示角是正数，此时用哪条有向线段表示角的正切值最合适？的正切值最合适？P PO Ox xy yM MA AT TA AT TtanyATx思考思考5 5：根据上述分析，你能描述正切线根据上述分析，你能描述正切线的几何特征吗？的几何特征吗？过点过点A A（1 1，0 0）作单位圆的切线，与

9、角）作单位圆的切线，与角的终边或其反向延长线相交于点的终边或其反向延长线相交于点T T，则，则AT=AT=tantan. .A AT TO Ox xy yP PA AT TO Ox xy yP P思考思考6 6：当角当角的终边在坐标轴上时，角的终边在坐标轴上时，角的正切线的含义如何？的正切线的含义如何？O Ox xy yP PP P当角当角的终边在的终边在x x轴上时，角轴上时，角的正切线的正切线是一个点；当角是一个点；当角的终边在的终边在y y轴上时，角轴上时，角的正切线不存在的正切线不存在. .这三条与单位圆有关的有向线段这三条与单位圆有关的有向线段MP、OM、AT,分别叫做角分别叫做角的

10、的正弦线、余弦线、正切线正弦线、余弦线、正切线,统称统称为为三角函数线三角函数线当角当角的终边与的终边与x轴重合时轴重合时,正弦线、正切正弦线、正切线线,分别变成一个点分别变成一个点,此时角此时角的的正弦值和正正弦值和正切值都为切值都为0;当角当角的终边与的终边与y轴重合时轴重合时,余余弦线变成一个点弦线变成一个点,正切线不存正切线不存在在,此时角此时角的的正切值不存在正切值不存在.的终边的终边yxA(1,0)PO的终边的终边yxA(1,0)O三 角 函 数 线的终边的终边OyxA(1,0)PMTPMT的终边的终边yxA(1,0)OPMTMTsinMPcosOMtanAT例例1 1：作出下列各

11、角的正弦线、余弦线、正切线：作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线332（1） ；（2） 32sin54sin3254与与 2、tantan与与tantan 解：解： 如图可知如图可知32sin54sin3254tan tanyx32的终边的终边54的终边的终边ATTPPMM 1、思考：思考：对于不等式对于不等式（其中（其中为锐角），你能用数形结合思想证明吗？为锐角），你能用数形结合思想证明吗？si ntanaaaP PO Ox xy yM MA AT TOATOAPOAPSSS扇形证明:ATOAOAMPOA.21.21.212tansin即ATMP小结作业小结作业1.1.三角函数线是三角函数的一种几何表示，三角函数线是三角函数的一种几何表示， 即即用有向线段表示三角函数值用有向线段表示三角函数值，是今后进一步，是今后进一步研究三角函数图象的有效工具研究三角函数图象的有效工具. .2.2.正弦线的始点随角的终边位置的变化而变化，正弦线的始点随