浅谈幂级数收敛半径和收敛域的求法

1、浅谈幕级数收敛半径和收敛域的求法型”时，可通过换元转换为特型求解；若为有缺项时，半径公式已不再适用，要 用比值法求收敛域收敛半径。本文先用引理引出其结论，然后讨论不同类型的求 解方法，最后将其结论进行推广应用。关键词函数项级数； 幕级数；收敛半径 ；收敛域；比值判别法1问题的实际背景QOy a xn本文对形如nwn（其中S N,t Z）的幕级数进行了研究，这类幕级数在函数方面非常重要，尤其是求他们的收敛半径和收敛区间， 因此如何求解各类幕 级数的收敛半径及收敛域，是值得研究的问题。2问题的提出2.1问题的分析要求幕级数的收敛半径和收敛域首先要了解幕级数的相关概念，包括幕级数的形式、收敛点、发散

2、点、收敛域等的概念，以及端点处x=R 的敛散性。2.2问题的重述幕级数的形式多样，不同类型的幕级数求解方法各异，那么有几种关于幕级 数收敛半径和收敛域的求法呢？这些方法又利用了什么原理呢？让我们一起来 研究一下。3问题的求解3.1引理：如果幕级数摘要对形如O0anXnn -o（其中s N,tZ）的幕级数，当其为“特型”时，直接利用公式R=limn_.anan 1（an为系数）求其收敛半径和收敛区间；当其为“一般收敛区间为（-1,1）当X=-1时，v 1，发散n A当x=1时，7 -1n4，发散n 4-收敛域为（-1,1）“一般型”的求法例：求幕级数t 2心 的收敛半径和收敛域n =1noOLn

3、2anxa0a1xa2xn + anXn十. 的系数满足条件limJ-则(1)当0Lv：:时,R=L(2) 当L=0时，R=+E(3) 当L= ：时，R=03.2相关定理 不同类型的幕级数收敛半径和收敛域的求法“特型”的求法步骤：求R=lim *n，an 1 |求收敛区间 （一R,R）收敛域（考察端点X=R的敛散性）例：求QOnd n(-1)Xn吕的收敛半径和收敛域解:Un=(-1)n -1R=limn j：:n -1Xanan 1=1要点：通过换元将“一般型”转化为“特型”，利用“”方法求解:Un(2x 1)n:tn令 t =2x 1 得新级数、n nn +1= lim =1 ,t -1,1

4、 nn1当t= -1时，7 -1-收敛nn 1当t=1时，V1发散ndn.收敛域：-1,1)由-1 _ t：1 得 -1 乞 2x 1：1-1 _ x： ：0原级数收敛域：-1,0)丄收敛半径：2(3) “有缺项”的求法要点：半径公式不再适用，用比值法求收敛域和收敛半径oOnd例：求幕级数-1 3nx2n的收敛半径和收敛域lim-=3xn n 1当 3x2：1时，:un收敛n d当 3x21时，Un发散n3解：Un-1nJn 2n3 xun 1Un(T )十岀2nd23 x2n .nJ nx (-1) 3(3)华东师范大学数学系.数学分析(上册)高等教育出版社4结论由于求收敛域和收敛半径题目类型多样，为更好更快的解决问题，需要按“特型”“一般型”和“有缺项”三种类型求解。在上述过程中我们以“特型” “一 般型”“有缺项”三种类型的三个例题来具体说明求收敛域和收敛区间的求解方法。数学问题中许多题目都是有规律可循的， 我们应在掌握基础知识的基础上注 意寻找规律，并利用规律，分清题目范围、类型，按不同的类型分类求解。同时， 在数学中有许多知识是互通的，我们应发散思维，全面考虑，灵活运用所学知识。由此可知，在我们的学习、生活中也要注意寻找规律利用规律， 灵活运用自 己所学所知，这将对我们的学习、生活用很大帮助，值得推广