122同角三角函数的基本关系

1、1.2.2 同角三角函数的基本关系1.1.掌握同角三角函数的基本关系式掌握同角三角函数的基本关系式; ;2.2.会用基本关系式证明有关问题会用基本关系式证明有关问题; ;3.3.会由角的一个三角函数值求其它三角函数值会由角的一个三角函数值求其它三角函数值. .三角函数的定义三角函数的定义A(1,0)A(1,0)xy yO OP(x,yP(x,y) )的终边的终边M MT Txytan（1） 叫做叫做 的正弦，记作的正弦，记作 ， 即即 ysinsiny =MPMP（2） 叫做叫做 的余弦，记作的余弦，记作 ，即，即 xcosxcos=OMOM（3） 叫做叫做 的正切的正切，记作，记作 ，即，即

2、xytan=ATAT)0( x 有向线段有向线段MPMP、OMOM、AT,AT,分别叫做角分别叫做角 的正弦线、的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线余弦线、正切线，统称为三角函数线. .22MPOM122sincos1如图，设如图，设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P P，那么，正弦线那么，正弦线MPMP和余弦线和余弦线OMOM的长度有什么内在联系？的长度有什么内在联系？由此能得到什么结论？由此能得到什么结论？ P PO Ox xy yM M1 1同角三角函数的基本关系同角三角函数的基本关系 上述关系反映了角上述关系反映了角的正弦和余弦之间的内在联

3、系，的正弦和余弦之间的内在联系，根据等式的特点，将它称为平方关系根据等式的特点，将它称为平方关系. .那么当角那么当角的终边的终边在坐标轴上时，上述关系成立吗？在坐标轴上时，上述关系成立吗？O Ox xy yP PP P22sincos1仍然有基本变形基本变形 22sin1 cos, 22cos1 sin, 2 2(sin(sin+ cos+ cos) = 1+ 2sin) = 1+ 2sincoscos, ,，2 2( (s si in n- - c co os s) ) = = 1 1- - 2 2s si in nc co os ssinycosxtan(0)yxxsintancos当当

4、 根据三角函数定义根据三角函数定义, ,sinsin，coscos，tantan满足什么关系？满足什么关系？()2akkZsincostansintancos基本变形基本变形 同一个角的正弦、余弦的平方和等于同一个角的正弦、余弦的平方和等于1 1， 商等于这个角的正切商等于这个角的正切. .同角三角函数的基本关系同角三角函数的基本关系:“同角同角”二层含义二层含义: :一是一是“角相同角相同”, , 二是二是“任意任意”一个角一个角. .是否存在同时满足下列三个条件的角是否存在同时满足下列三个条件的角 ? ?53sin) 1 (135cos)2(2tan)3(不存在不存在 例例1 已知已知 ,

5、求求 的值的值.53sintan,cos解解: :因为因为 , 1sin,0sin所以所以 是第三或第四象限角是第三或第四象限角. .由由 得得1cossin22.2516531sin1cos222同角三角函数的基本关系式的灵活应用同角三角函数的基本关系式的灵活应用1.1.求值求值从而从而如果如果 是第三象限角是第三象限角, ,那么那么.542516cos.434553cossintan如果如果 是第四象限角是第四象限角, ,那么那么.43tan,54cos例例2 2 求证：求证：cosx1+ sinx=1-sinxcosx2.2.证明三角恒等式证明三角恒等式证法一:由cos0 x ,知sin

6、1x ,所以1sin0 x,于是 左边=cos (1sin )(1 sin )(1sin )xxxx 2cos (1sin )1 sinxxx2cos (1sin )cosxxx1 sincosxx=右边 所以原式成立.22cos1 sin1 sincos1 sincosxxxxxx(1 sin )(1sin )(1 sin )cosxxxx1sincosxx=右边 所以原式成立所以原式成立. .1+ cossi n=,si n1-cosaaaa1+ si ncos=.cos1-si naaaa小结小结:DAA4.已知 tan =3，求下列各式的值 4sincos(1)3sin5cos， 2222sin2sincoscos(2)4cos3sin，2231(3)sincos42 【解析解析】(1)原式分子分母同除以0cos得， 原式an31tan4 (2)原式的分子分母同除以0cos2得： 原式=2323341329tan341tan2tan222 (3) 用“1”的代换 原式=402919219431tan21tan43cossincos21sin43222222 1.1.同角三角函数的两个基本关系是对同一个角而言的同角三角函数的两个基本关系是对同一个角而言的. .