圆锥曲线的双切线问题初探

1、圆锥曲线的双切线问题初探蓝婷深圳市第二高级中学；广东深圳518055【摘要】：本文以高考题为载体，在一个引理的基础上给出了一个关于圆锥曲线双切线问题的定理，弁总结出了解决圆锥曲线的双切线问题的一套统一的简洁方法，充分体现定理的妙处。【关键词】：圆锥曲线；双切线；切点弦方程一、研究背景圆锥曲线是高考数学中的必考问题，圆锥曲线以切线为背景与导数相结合的问题长期被高考命题者所青睐。我们发现，这类问题的标准答案使用的传统方法解答过程一般较为复杂，并且在高强度的高考环境下，考生不得不将有限的时间浪费在繁杂的运算中。笔者在这个问题的研究中试图寻求一种简单统一的方法，将此类问题的运算量降低，从而达到简化解题

2、过程的目的。二、定理证明为了简捷且更具一般性和代表性，我们将圆锥曲线(包含圆)统一写成最一般的形式：Ax2By2CxDyExyF0,下面给出定理的证明。引理：设PXo,yo是圆锥曲线Ax2By2CxDyExyF0上一点，则与该圆锥曲线切于点P的直线方程为：AxoxByycf0)D/J)丘严行余勺)F0。证明：在圆锥曲线方程Ax2By2CxDyExyF0两边求导，可得：2Ax2ByyCDyEyExy0,所以：y2AxEyCEx2ByD则切线方程为：yyo2Ax0EA0_(xX)Exo2By。D得：(yy)(Ex2ByD)(2AxoEyC)(xx)化简：2Ax)22By22Cx)2Dy2Ex)y0

3、2Ax)x2ByyCxDyCx°DyEx)yExy因为Px)丫0在圆锥曲线上，所以：2Ax022By22Cx)2Dy2Ex)y2F0整理得：AxxByyC(写。)D(宁)E(座严)F0定理：设Px),y0不在圆锥曲线Ax2By2CxDyExyF0上，过点P引该医锥曲线的两条切线，切点为A、B,则切点弦AB的方程为:AxoxByoyC(l)D(U)EAAA)F0222E(yaX xi) 2 e( ybX Xby)证明：设切点坐标AXa,ya,Bxb,yb,由引理可得:直线Ap方程：AxaxByayC(-Xa)D(*纠22直线BP方程：AxbxBybyC(XXb)D(#间22因为Px),

4、y。在直线ap且在直线bp上，所以:Byayo C(d a) D(AxbXo Byb yo C(Xo x AX aXo2xo xby。ya) E(yaXo2 2-b) D0 先纠匚(ybx沧丫以上两式说明：点A xa, ya ,B xb, yb均满足方程:Xay。)AXoX Byoy C(2LA) “宁)所以切点弦AB方程为：Axox Byo y匚严 )f2.E(中7xy三、定理应用例1、(2007年浙江省高中数学竞赛)若P、Q为圆x2y21的两动点，且满足圆内一点1A02使得PAQ2,求过点P、Q的两条切线的交点M的轨迹方程。xox yoy 1解：设MxO,y°Pxi,yiQX2,

5、y2,根据定理，则切点弦PQ的方程为:联立方程:Xo罗1,得:2 y2 1X y八贝 U： X-I x2 x1x22 2，因为：paq , Xh Pa pb,即:2(X。21 y2 kpAkpB2、yoy12 2 yo )X 2x oX 12 V。 y2-2-2Xo yo11 x：-22Xoyo则：xix2 (%1122)(y2)0,即：3xo3yo4y80所以M的轨迹方程为：3x23y24y8022xy1例2、（2008年江西高考14题）若椭圆21的焦点在x轴上，过点（1，-）作圆ab222xy1的切线，切点分别为A,B,直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，求椭圆方程。1 0 , 即： y

6、 2 2x解：根据定理,则切点弦AB的方程为：x1由题可知：直线y22x过点（c,0）和（0,b）2所以c1,b2，则a,5，所以椭圆方程:x"5例3、（2008年江西高考21题）设点P（xo,yo）在直线xm（ym,0m1）上，过点P作双曲线x21的两条切线PAPB,切点为AB,定点M（1,0）om（1）求证：三点A、M、B共线;（2）过点A作直线xy0的垂线，垂足为N,试求AMN勺重心G所在曲线方程。解：（1）因为P在直线xm上，则P（m,y。），根据定理，则切点弦AB的方程为:m1xmyy°10,即：yxy。y。1m11将点M（,0）代入直线AB的方程，有0成立，my

7、0my°所以点M在直线AB上，所以A、MB三点共线。（2）略。例 4、 （ 2013 年广东高考22 题）已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点F （0,C）（C0）到直线l:xy20的距离为11,设P为直线I上的点，过点P做抛物线C的两条切线PA,PB,2A，B为切点；（1）求抛物线C的方程； 2） 当点P（x0,y。）为直线I上的定点时，求直线AB； 3） 3）当点P在直线I上移动时，求|AF|BF|的最小值。解：（1）易得抛物线C方程：x24y（ 2） 根据定理，则切点弦直线AB的方程为：xx4（-沧）0,即：y鱼xy,又因为P在直线I上，则yx222所以直线AB的方程为：y（ 3） 略。本文的定理在解决圆锥曲线的双切线问题时会使得过程得到极大的简化，且切点弦方程Ax°xBy°yC(XXo)D(y纠E(-y°XX°y)F0与圆锥曲线的方程在形式上是222非常相似的，显得非常的漂亮，很