中考压轴题之动点、中线定理

1、1 .如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的四个顶点坐标分别为0 （0, 0）, A （4, 0）, B （4, 3）, C （0, 3）, G是对角线AC的中点，动直线MN平行于AC且交矩形OABC的一组邻边于E、F,交y轴、x 轴于M、N.设点M的坐标为（0, t）, ZkEFG的面积为S.（1）求S与t的函数关系式：（2）当4EFG为直角三角形时，求t的值；（3）当点G关于直线EF的对称点G，恰好落在矩形OABC的一条边所在直线上时，直接写出t的值.302 .在qABOC中，AO1BO,且AO=BO.以AO、BO所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系， 已知B （-6, 0）,直

2、线y=3x+b过点C且与x轴交于点D.（1）求点D的坐标；（2）点E为y轴正半轴上一点，当NBED=45。时，求直线EC的解析式：（3）在（2）的条件下，设直线EC与x轴交于点F, ED与AC交于点G.点P从点O出发沿折线OF-FE 运动，在OF上的速度是每秒2个单位，在FE上的速度是每秒a个单位.在运动过程中直线PA交BE于H,3 .如图，在菱形ABCD中，AC、BD交于点O, AC=12cnn BD=16cm.动点P在线段AB上，由B向A 运动，速度为Icm/s,动点Q在线段OD上，由D向O运动，速度为lcm/s.过点Q作直线EFJ_BD交AD 于E,交CD于F,连接PF,设运动时间为t

3、（0<tV8）,问：（1）何时四边形APFD为平行四边形？求出相应t的值；（2）设四边形APFE面积为ycnR求y与t的函数关系式：（3 ）是否存在某一时刻t,使S内边形apfe： S麦形abcd=17： 40?若存在，求出相应t的值，并求出，P、E两4 .如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=8, OC=4.点 P从点O出发，沿x轴以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，当点P到达点A时停止运动，设点P运 动的时间是t秒.将线段CP的中点绕点P按顺时针方向旋转90。得点D,点D随点P的运动而运动，连接DP、DA.（1）填空：当仁时，点D恰

4、好落在AB上，即4DPA成为直角三角形；（2）若以点D为圆心，DP为半径的圆与CB相切，求t的值；（3）在点P从O向A运动的过程中，ADPA能否成为等腰三角形？若能，求t的值：若不能，请说明理由：（4）填空：在点P从点O向点A运动的过程中，点D运动路线的长为.5 .如图，ZABC中,ZC=90% AC=8cm, BC=6cm,点P、Q同时从点C出发,以Icm/s的速度分别沿CA、 CB匀速运动.当点Q到达点B时，点P、Q同时停止运动.过点P作AC的垂线1交AB于点R,连接PQ、 RQ,并作PQR关于直线1对称的图形，得到PQR.设点Q的运动时间为t （s）, PQR与4PAR重叠 部分的面积为

5、S （cm2）.（1）I为何值时，点Q'恰好落在AB上？（2）求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围：（3） S能否为其nf?若能，求出此时的t值：若不能，说明理由.86 .如图1,已知aABC中，AB=10cm, AC=8cm, BC=6cm.如果点P由B出发沿BA方向点A匀速运动, 同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为2cm/s.连接PQ,设运动的时间为t （单位: s） （0WtW4）.解答下列问题：（1）当t为何值时，PQBC.（2）设4AQP面积为S （单位：cnf）,当t为何值时，S取得最大值，并求出最大值.（3）是否存在某时刻3使线段PQ恰好把aAB

6、C的面积平分？若存在，求出此时t的值：若不存在，请说 明理由.（4）如图2,把4AQP沿AP翻折，得到四边形AQPQ-那么是否存在某时刻t,使四边形AQPQ，为菱形？ 若存在，求出此时菱形的面积：若不存在，请说明理由.7 .如图1, ZkABC中，ZC=90°, AC=6cm, BC=8cm,点D从点C出发，以2cm/s的速度沿CB匀速运动, 点E从点C出发，以lcm/s的速度沿CA匀速运动.当点D到达点B时，点D、E同时停止运动.过点D 作BC的垂线1交AB于点P,连接DE、PE.设点E的运动时间为t (s) (t>0).(1)当t为何值时，ZPDE的面积为4.5cnf?(2

7、)当t为何值时，4PDE的外心恰好在它的一条边上？(3)作点E关于直线1的对称点Et是否存在某一时刻3使点E恰好落在aABC的外接圆上？若存在，请 直接写出t的值；若不存在，请说明理由.8 .如图，直线1的解析式为y=-x+4,它与x轴、y轴分别相交于A、B两点，平行于直线1的直线m从原 点O出发，沿x轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动，它与x轴、y轴分别相交于M、N两点，运动 时间为t秒(0<tW4)(1)求A、B两点的坐标：(2)用含t的代数式表示AMON的面积Si：(3)以MN为对角线作矩形OMPN,记AMPN和aOAB重合部分的面积为S2；当2VtW4时，试探究S2与之间的函

8、数关系：在直线m的运动过程中，当t为何值时，S?为AOAB的而积的巨？9 .如图所示，在平面直角坐标系中，过点A （-6，0）的两条直线分别交y轴于B、C两点，且B、C两 点的纵坐标分别是一元二次方程x2 - 2x - 3=0的两个根（1）求线段BC的长度：（2）试问：直线AC与直线AB是否垂直？请说明理由：（3）若点D在直线AC上，且DB=DC,求点D的坐标；（4）在（3 ）的条件下，直线BD上是否存在点P,使以A、B、P三点为顶点的三角形是等腰三角形？若存 在，请直接写出P点的坐标：若不存在，请说明理由.10 .如图，在AABC中，AB=5, AC=9, SaAbc=-动点P从A点出发，沿

9、射线AB方向以每秒5个单位 2的速度运动，动点Q从C点出发，以相同的速度在线段AC上由C向A运动，当Q点运动到A点时，P、Q 两点同时停止运动，以PQ为边作正方形PQEF（P、Q、E、F按逆时针排序），以CQ为边在AC上方作正方 形QCGH.求tanA的值；（2）设点P运动时间为3正方形PQEF的面积为S,请探究S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值, 若不存在，请说明理由：（3）当t为何值时，正方形PQEF的某个顶点（Q点除外）落在正方形QCGH的边上，请直接写出t的值.11 .如图，在AABC中，AB=AC, ADLBC于点D, BC=10cm> AD=8cm,点P从点B出发，在线

10、段BC 上以每秒3cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线m从底边BC出发，以每秒2cm的速 度沿DA方向匀速平移，分别交AB、AC、AD于E、F、H,当点P到达点C时，点P与直线m同时停止运 动，设运动时间为t秒（t>0）.（1）当t=2时，连接DE、DF,求证：四边形AEDF为菱形：（2）是否存在某一时刻3使4PEF为直角三角形？若存在，请求出此时刻t的值；若不存在，请说明理由.HJJ12 .如图，平而直角坐标系中，将含30。的三角尺的直角顶点C落在第二象限.其斜边两端点A、B分别落 在x轴、y轴上，且AB=12cm（1）若OB=6cn】.求点C的坐标；若点A向右滑动的距

11、离与点B向上滑动的距离相等，求滑动的距离；（2）点C与点O的距离的最大值=cm.13 .如图，在ABC中，AB=AC=10cm, BC=16cm, DE=4cm.动线段DE （端点D从点B开始）沿BC边 以Icm/s的速度向点C运动，当端点E到达点C时运动停止.过点E作EFAC交AB于点F （当点E与点 C重合时，EF与CA重合），连接DF,设运动的时间为t秒（1）直接写出用含t的代数式表示线段BE、EF的长：（2）在这个运动过程中，4DEF能否为等腰三角形？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由；（3）设M、N分别是DF、EF的中点，求整个运动过程中，MN所扫过的面积.14 .如图，在边长为

12、2的正方形ABCD中，G是AD延长线上的一点，且DG=AD,动点M从A点出发， 以每秒1个单位的速度沿着A玲C玲G的路线向G点匀速运动（M不与A, G重合），设运动时间为t秒，连 接BM并延长AG于N.（1）是否存在点M,使AABM为等腰三角形？若存在，分析点M的位置：若不存在，请说明理由：（2）当点N在AD边上时，若BN_LHN, NH交NCDG的平分线于H,求证：BN=HN：（3）过点M分别作AB, AD的垂线，垂足分别为E, F,矩形AEMF与4ACG重登部分的而积为S,求S 的最大值.15 .如图，直角梯形OABC的直角顶点O是坐标原点，边OA, OC分别在x轴、y轴的正半轴上，OAB

13、C, D是BC上一点，BDQaS，AB=3, ZOAB=45% E、F分别是线段OA、AB上的两动点，且始终保持 4ZDEF=45°.（1）直接写出D点的坐标；（2）设OE=x, AF=y,试确定y与x之间的函数关系：（3）当4AEF是等腰三角形时，将4AEF沿EF折叠，得到AEF,求AEF与五边形OEFBC重登部分16 .如图，在平面直角坐标系中，AB=AC=10,线段BC在x轴上，BC=12,点B的坐标为（-3, 0）,线段 AB交y轴于点E,过A作ADLBC于D,动点P从原点出发，以每秒3个单位的速度沿x轴向右运动，设 运动的时间为t秒.（1）当4BPE是等腰三角形时，求t的值

14、；（2）若点P运动的同时，4ABC以B为位似中心向右放大，且点C向右运动的速度为每秒2个单位，4ABC 放大的同时高AD也随之放大，当以EP为直径的圆与动线段AD所在直线相切时，求t的值和此时点C的17 .如图，在 RtZABC 中，ZA=90% AB=6, AC=8, D 在 AB 上且 AD=4, DEBC 交 AC 于 E,点 P 从点 D出发沿射线DE运动，过点P作PQJ_BC于Q,过点Q作QRAB交AC于R,当点Q与点C重合时， 点P停止运动.设BQ=x, RQ=y.（1）求y关于x的函数关系式：（2）是否存在点P,使4PQR为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值：若不存在

15、，请说明 由（3）当x怎样时，以Q为圆心，RP长为半径的圆与射线DE只有一个交点.18 .如图，矩形OABC在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A （0, 4）, C （2, 0）.将矩形OABC绕点 O按顺时针方向旋转135。，得到矩形EFGH （点E与O重合）.（1）若 GH 交 y 釉于点 M,则 NFOM=。，OM=；（2）将矩形EFGH沿y轴向上平移t个单位.直线GH与x轴交于点D,若ADBO,求t的值：若矩形EFGH与矩形OABC重叠部分的面积为S个平方单位，试求当OVtWaJ历- 2时，S与t之间的函 数关系式.19 .如图，平而直角坐标系中，直线1分别交x轴、y轴于A、B两点（

16、OAVOB）且OA、OB的长分别是 一元二次方程X?-（代+1） x+V5=（）的两个根，点C在x轴负半轴上，且AB： AC=1： 2（1）求A、C两点的坐标：（2）若点M从C点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，连接AM,设AABM的面积为S,点M 的运动时间为t,写出S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）点P是y轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q,使以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在, 请直接写出Q点的坐标：若不存在，请说明理由.20 .如图，在RtZABC中，ZC=90% BC=3, AC=4.点P, Q都是斜边AB上的动点，点P从B向A运动 （不与点B重合

17、），点Q从A向B运动，BP=AQ.点D, E分别是点A, B以Q, P为对称中心的对称点， HQLAB于Q,交AC于点H.当点E到达顶点A时，P, Q同时停止运动.设BP的长为x, ZHDE的而 积为y.（1）求证：ADHQAABC；（2）求y关于x的函数解析式：（3）当x为何值时，4HDE为等腰三角形？1.解：（1）当0VtV3时，如图1,过E作EHJ_CA于H,B (4, 3), C (0, 3),，OA=4, OC=3, AC=5, AAOEFAOCA,图iVA (4, 0),VMN/CA,AOE： OC=EF： CA,即 t： 3=EF： 5,，EF=&3VEH±CA

18、, /. ZECH=ZOCA, AsinZECH=sinZOCA, AEG：EC=OA： CA,即 EH： (3-t) =4： 5, EH(3-t),5S=i X EF X H E=x X X -1 (3-t) =-42+2t；22 3 53当3VtV6时，如图2,过C作CHJ_MN于H,则MC=t - 3,VCH±MN, AZCMH=ZOCA, AsinZCMH=sinZOCA,ACH： MC=OA： CA, KP CH： (t- 3) =4： 5,，CH1(t-3), 5易求直线AC解析式为：y=-&+3,4MNCA,.直线MN的解析式为:y=-*+t,令 y=3,可得

19、3=-2x+t,解得 x=» (t - 3) =4-4, /.E (&<-4, 3), '4333在 y=-率+，中，令 x=4 可得：y=t - 3, .*.F #- EF=J(At-4-4)2+(3-t+3)2=| <6(4, t-3),-t),SXEFXGHX互(t-3) = -It2+6t - 12：22 33(2)当 0VtV3 时,E (0, t), F (At, 0), G (2, W),32;.EF2t2, EG2=22+ (t-3) 2, GF2= (a-2) 2+ (3) 2,9232EF2+EG2=GF 则有为2+2?+ (t-W)

20、2=(£t-2) 2+ (2) 2,解得 t=o (舍去), 9232EF2+FG2=EG2,则有雪2+(刍-2) 2+ (2)2=22+ (t-工)2,解得 t=0 (舍去), 9322EG2+GF2=EF 则有 2?+ (t-3) 2+ (it-2) 2+ (2) 2-2,解得 t且， 23292当 3VtV6 时，E (&-4, 3), F (4, t-3), G (2, 旦),32/.EF2= (it-8) 2+ (t-6) 2, EG2= (a-6) 2+ (3) 2, GF2=22+ (t-旦)2,3322t=-工（舍去）, 3.21i，32若 EF2+EG2=G

21、F 贝 lj 有(& - 8) 2+ (t - 6) 2+ (2 - 6) 2+ (W) 2=22+ (t-过)？，整理得 32t2 - 3631+1026=0, 3322二441,解得 L I- , t=6 (舍去)，32若 EF2+FG2=EG2,则有(& - 8) 2+ (t- 6) 2+22+ (t -2)2= (a -6) 2+ (老)2,整理得 6t2 - 79t+258=0, 3232=49,解得 t=6 (舍去)，L4口>6 (舍去)，6EG2+GF2=EF 则有(-it-6) 2+ (W) 2+2?+ (t-旦)2=(£t. 8) 2+(6)

22、2,解得 t=i,32232综上可知当4EFG为直角三角形时,或¥(3)直线 MN为y=-&x+t, G (2,旦), 42GG所在的直线与直线CA垂直，且过G点，故表达式为丫=*看，在y=% 看中，令x=0,可得：y=-L（0,-工），GG中点（1,工），代入直线MN为y= - x+t,解得 .666412令y=o,可得：x=工，（1，0）, GG中点（至，），代入直线MN为y=-当+3解得tU'8816 4'4、64令x=4,可得：y=2殳，（4, 空），GG中点（3,工L）,代入直线MN为y= - x+t,解得t=皇， 666412令y=3,可得：x=2

23、,（生，3）, GG中点（生，2）,代入直线乂1为丫=-当+3解得t空匚 '8816 4464综上可知满足条件的t的值为含或岩或胃或鬻.2 解:(1) VB (-6, 0), AOB=6, VAO=BO, AAO=6,二四边形 ABCD 是平行四边形 ABOC,，AC=BO=6,，C (6, 6),V直线过 y=3x+b 点 C,6=3X6+b，b= - 12,工直线CD的解析式为:y=3x-12,在y=3x12中,令y=0,解得：x=4, AD (4, 0)； (2)设 E (0, t), t>0,即 EO=t,VZBEO+ZOED=45% AtanZBEO-50-6 >

24、 tan/OED必/. tan (ZBEO+ZOED) =tan450=l=-tan/ BEO+tan/OED10t1 " t anZBEO t an/ OED 12 - 24r.t=12, t=-2 (舍)，：.E (0, 12),VC (6, 6), 直线 EC 的解析式为：y=-x+12：(3)分两种情况：当P在OF上运动时，;直线 EC 的解析式为：y=-x+12,令 y=0,得:x=12,，OF=OE=12, A ZOFE=45%ACOB, A ZACE=ZOFE=45% A ZCEG+ZAEG=45°,V ZBAD=45% AZHEA=ZGEC,要使aEHA 与

25、AEGC 相似，只要NHAE=NGCE=450即可.当NHAE=45。时，ZOAP=ZHAE=45°,AOP为等腰直角三角形，OP=OA=6,即t=6+2=3：当P在EF上运动时，由可知，ZkEHA与AEGC中，NHEA=NGEC, ZGCE=45°,，只需要NEHA=45唧可.当NEHA=45。时，V ZHEI=45% A ZHIE=90°,V API ED,二直线AP的解析式为:y=Lx+n,3把A （0, 6）代入，得：n=6, 直线AP的解析式为:,联立方程：*升6 ,解得:y= - x+12x=4. 5y=7. 5AP (4.5, 7.5), EPl9圾

26、,2EF=V2OE= 12®FP=12V2 -黑工”!2,22，点P从O到P所用的时间=12+ 22婆旦.223.（2015杭州模拟）解：（1） 四边形ABCD是菱形， ，ABCD, AC_LBD, OA=OCAC=6, OB=OD=1-BD=8.22在 RtZXAOB 中，AB=62 + g2=10. VEF1BD, A ZFQD=ZCOD=90°.又NFDQ=NCDO, AADFQADCO.更*即史 J, .,.DF旦DC 0D 10 84四边形APFD是平行四边形，AP=DF.即10-t旦，解这个方程，得49，当t=2&s时，四边形APFD是平行四边形. 9V

27、S 芟产 abcd=ABCG=-AOBD, 2即 10CG=Xxi2X16, ：.CG=. 25AS 睇形 4pfd（AP+DF） CG=X （10- t+包）圾包+48.2245 5VADFQADCO, .QP_-_SL.即，QF旦. 0D 0C 8 64同理，EQ月.，EF=QF+EQ=4. 42，S aEFD QD=i X X t-3_t2. 22 24/. y=（且+48）-22= - 3_t2+i-t+48 .'544 5（3）如图，过点P作PM_LEF于点M, PN«LBD于点N,即 5t2 - 8t-48=0,若 S 四边彩 apfe： S 菱形 abcd=17

28、： 40,则一2?一旦+48=»1"义96, 4 540解这个方程，得t1=4, 12=一丝（舍去）5过点P作PMLEF于点M, PN_LBD于点N,当t=4时，VAPBNAABO. .则其典即里二邺.A0 AB B0 6 10 8，PN=A, BN=I. EM=EQ_ MQ=3- 12 3.555 5PM=BD - BN - DQ=16-2-4=姐.55在 Rt/kPME 中，%/百卢+£23y（cm）.4.（2013惠山区校级二模）解：（1）如图1,图1V ZCOP=90°, ZCPD=90°, ZPAD=90°, AACOPAP

29、AD,ACP COt PC=2PD, OC=4 积，PA=2, 2t+2=8,解得 t=3；PD FA（2）如图2,过点D作DEJ_x轴，垂足为E,延长ED交CB于F,则DF_LCB, F为切点图2则PEDsMOP,产一明,，PE=2, DE=t, OC POVDF=DP 即 DF2=DP2,得出 t2+22= （4-t）t 旦2（3）由（1）得，t=3 时，AP=DA：由（2）得，EA=EP=2 时，DP=DA, OP=4, t=2：2t+g3 产8, t=；t=PA=PD 时，OP=2t, PDW+Qt ）图3当点P在点O位置时，PD=2,当点P在点A位置时，作DE_LOA交OA的延长线于

30、E,VAAEDACOA, CA=2AD> AAE=2, DE=4,A点D运动路线的长为J g 2 +及2=4口.5. (2012大连)解：(1)连接 QQZ,VPC=QC> ZC=90% A ZCPQ=45% 又 1J«AC, :.ZRPQ=ZRPC - ZCPQ=900 - 45°=45%由对称可得 PQ'=PQ, /QPQ'=90。，QQf=2t,且 QQZCA, ，NBQQ'=NBCA,又NB=NB, AABQQABCA,J BQ . BC u, gpQQ， CA 4（2）当 0VtW2.4 时,6 十一3,解得：t=2.4；2t

31、4过Q，作QDJJ于D点，则QD=t,又RPBC, AARPAABCA, 用.一忙,即即/-BC AC 68.,.RP= （8-t） JL乙4 - Jt , .sRPQ'D其"'箕t=-2？+3匕 442248当2.4VtW6时，记PQ，与AB的交点为E,过E作EDJJ于D, 由对称可得：NDPE=NDEP=45°,又NPDE=9（T,DEP为等腰直角三角形，DP=DE,VARDEABCA, /.£R = BC =6_=3_> 即 DRa）E,DE AC 8 44、VARPAABCA, .史至_,即/Rpf 二*LFA AC 8-t g4.R

32、P=RD+DP=DR+DE=DE+芭DE=3（* 。,即工DE上竺史，DE图3 44447.sArp.de2迎上蛇包-骂+三2247567 T（3） S能为9cm2,理由为：若且（2-堂4-乌里（2.4<1或6）, 856778整理得：t? - 16t+57=01_解得：金芋亘8±巾，/.ti=8+Vr （舍去），t2=8 -若-当2+3t=旦（0<t2.4）,88整理得：t2-8t+3=0,解得：t亶主”3=4士后，2Ati=4+VT3 （舍去），t2=4 - a/T5,6. （2012六盘水）解：VAB=10cnK AC=8cm, BC=6cm, ，由勾股定理逆定理得

33、4ABC为直角三角形，ZC为直角.(1) BP=2t,则 AP=10-2LVPQ/BC,二AQ.,即1匕 汲-上,解得当时，PQBC.AB AC 10899（2）如答图1所示，过P点作PD±AC于点D.PDBC,.怛即I。- 2t 二里 解得口=6-且.AB BC 1065S=I-XAQXPD=ix2tX （6-乌）=-22+6（=-反（-$）2+1, 2255522，当t旦时，S取得最大值，最大值为叫nf. 22（3）假设存在某时刻3使线段PQ恰好把AABC的面积平分，则有 Saaqp=S/：.abc，而 S.&abcaACBC=24, .,.此时 Saaqp=12.由（2

34、）可知，Saaqp= - -t2+6t,： - t26t=12,化简得：* - 5t+10=0» 5；= （ -5） 2-4X1X10=- 15<0,此方程无解，不存在某时刻3使线段PQ恰好把4ABC的面积平分.（4）假设存在时刻t,使四边形AQPQ，为菱形，则有AQ=PQ=BP=2t. 如答图2所示，过P点作PD_LAC于点D,则有PDBC, AP _PD _AD小- 2t JD 二AD ,B"BC"AC，'、10 一 6 一 8 解得：PD=6一2t, AD=8-瑞， 55A QD=AD - AQ=8 -春-2t=8 -出.在RtPQD中，由勾股

35、定理得：QD2tPD2=PQ2,即(8-吗)2+ (6-刍)2= (2t) 2, 55化简得：13t2-901+125=0,解得：tl=5, t2=,13t=5s时，AQ=10cm>AC,不符合题意，舍去，1=空.13由（2）可知,Saaqp= -t2+6t>5(cm2).，S 芟形aqpq'=2Saaqp=2X （ - t2+6t） =2X - -X （-）?+6乂2. =2400551313169所以存在时刻t,使四边形AQPQ，为菱形，此时菱形的面积为区空cnf.169解答图1解答图27 .(2012秋江南区校级期中)解：(1)由题意得BD=8-2t,V DP /7

36、AC A B DP< BC A, .-.M-DP/.DP=6 -BC AC 862若APDE的面积为4.5,则工(6-31) X2t=4.5解得：t=l或3, 22，当t=l或3时，2PDE的面积为4.5：(2)显然，NPDEX90。，当NPED=90。时，如图1, ACDEAEPD, 还上殳. 工 二 巡: 解得:DE DP V5t 6-J 132当NDPE=90。时，如图 2, CE=DP，t=6-之弋解得：，当t或基时，APDE的外心恰好在它的一条边上.135(3)存在：如图3,设AB的中点为O,过点O作OMLBC交EE，于点N, ON=3 - 3 NE=4t - 4,在 RtZX

37、ONE 中,ON2+NE2=OE2A (3-t) 2+ (4t-4) 2=25 解得：t=0 (舍去)，t至178 . (2009邵阳)解：(1)当 x=0 时，y=4：当 y=0 时，x=4. A A (4, 0), B (0, 4)：(2) VMN/7AB, 趴二i，OM=ON=t, .Si=loM*ON=142： ON OB 122(3)当2VtW4时，易知点P在OAB?外面，则点P的坐标为(t, t).理由：当 t=2 时，OM=2, ON=2, OP=MN=22+22=2V2直角三角形AOB中，设AB边上的高为h,易得AB=W，则Lx伞历】=4X4xl>,解得11=26，2故t

38、=2时，点P在1上，2VtW4时，点P在ZkOAB的外面.f x=tF点的坐标满足，即F(t, 4-t),、尸-t+4同理 E (4-t, t),则 PF=PE=t- (4-t) =2t-4,所以 S2=S.MPN - Sapef=SaOMN - S./.PEF，- 1pE>pF=1t2.1 (2t-4) (2t>4)=-雪2+8t - 8：22222当 0VW2 时,$242, i2=-X-X4X4=v z z Lb z2解得t尸-晶VO, 12s>2,两个都不合题意，舍去：当2<tW4时，S2=-+粗-8卫，解得t3=3,匕=工， 223综上得，当t=-nk t=3

39、时，S2 TjAOAB的面积的9. （2016齐齐哈尔）（1） Vx2 - 2x - 3=0, 9x=3 或 x=L AB （0, 3）, C （0, 7）, （2） VA （ -V3，0）, B （0, 3）, C （0, - 1）,/. OA=V3> OB=3, OC=h aoa2=ob*oc,V ZAOC=ZBOA=90% AAAOCABOA,r. ZCAO=ZABO> :. ZCAO+ ZBAO= ZABO+ ZBAO=90°,/. ZBAC=90% A AC ± AB：（3）设直线AC的解析式为y=kx+b,C = b, G把 A （-石，0）和 C

40、（0, - 1）代入 y=kx+b,7 一 一，解得：1二-返，0二-祗 k+b；，直线AC的解析式为：y=-近X - 1,3VDB=DC, I点D在线段BC的垂直平分线上，D的纵坐标为1,.把y=l代入y=-2X- 1,/=-26，.D的坐标为（-26，1）,（4）设直线BD的解析式为：y=n】x+n,直线BD与x轴交于点E,rn_3Hi把 B （0, 3）和 D （-2畲，1）代入 y=mx+n,，° 一 ,解得4 nH 3 ,1 二-3陋| n=3，直线BD的解析式为：yR3x+3,令y=0代入y=Y3x+3,，x=-N8, 33，E（-36，0）,，OE=3V.，tai】NB

41、EC=°B=2A,，NBEO=300,0E 3同理可求得：NABO=30°, AZABE=30%当 PA=AB 时,如图 1,此时,NBEA=NABE=30。,，EA=AB,，P与E重合，P的坐标为（-3日，0）,当 PA=PB 时，如图 2,此时，ZPAB=ZPBA=30%VZABE=ZABO=30°, AZPAB=ZABO, APA/7BC,.NPAO=90。，点P的横坐标为-V3.令x= 至代入广叵x+3,，y=2,，P (-正，2), 3当PB=AB时,如图3,由勾股定理可求得：AB=2>/3> EB=6,若点P在y轴左侧时，记此时点P为P1，

42、过点P1作P1FJ_X轴于点F,F PP1B=AB=2近，EPi=6-2近，AsinZBEO=，FPi=3-鱼, EP1令 y=3-正代入 y=x+3, Ax=-3, A Pi (-3, 3->/?),3若点P在y轴的右侧时，记此时点P为P2,过点P2作P2G_Lx轴于点G,图1图2图310. （2015衢州）解：（1）如图1,过点B作BM_LAC于点M, AC=9, Ssbc="，A即工X9BM=L,解得 BM=3.22222由勾股定理，得AM多趣2-B俨符二P=4,则认嗡（2）存在.如图2,过点P作PN_LAC于点N.依题意得 AP=CQ=5t. VtanA=-,，AN=4

43、t, PN=3t.4，QN=AC-AN-CQ=9-9t.(OCtvW).5根据勾股定理得到：pn2+nq2=pq2,s 正方形pqexPQ2= (3t) 2+ (9-9t) 2=90t2 - 162t+81/一一162 一 9在t的取值范围之内,2a 2X90 104a4X9010:S ：；.=4ac- b2 4X90X81 - 1622 81t3=l如图4,当点F在边HG上时，t2哈；如图5,当点P边QH （或点E在QC上）时,11.（2014秋连云港期中）（1）证明:当t=2时，DH=AH=4,则点H是AD的中点,VEF1AD,，EF 为 AD 的垂直平分线，AE=DE, AF=DF,VA

44、B=AC, AD±BC, ，NB=NC, EFBC, ，NAEF=NB, NAFE=NC, AZAEF=ZAFE, ，AE=AF, AE=AF=DE=DF,，四边形AEDF为菱形:（2）解：存在，理由:点E为直角顶点，如图1,此时PEAD, PE=DH=2t, BP=3t, .,PEAD, .坦即2-=, AD BD 85Vt>0,故此情况不存在；点F为直角顶点，如图2,此时 PFAD, PE=DH=2t, BP=3t, CP=10 - 3t, PFAD, 'PF 二CP.,即红JO 3t ,解得：t=12, AD CD 8517点P为直角顶点，如图 3,过 E 作 E

45、MLBC 于 M,过 F作 FNJ_BC 于 N,则 EM=FN=DH=2t, EMFNAD, /eEM 即解得：BM卫t，PM=BP-BM=3t一2工，AD BD 8544 4在 RtaEMP 中，由勾股定理得：PE2=EM2+PM2= (2t) 2+ (工t) 2=lilt2,416 FNAD,，型二即2tBt 解得：CN旦， AD CD 854APN=BC - BP - CN=10 - Ht, 4在 RtZFNP 中，由勾股定理得：PF2=FN2+PN2= (2t) 2+ (10-AL) 2=lt2 - 85t+100, 416在 RtZiPEF 中,由勾股定理得:EF2=PE2+PF2

46、 RP： (10-2)？= (Hit2) +(i§2t2 - 85t+100),21616解得：1=2, t=0 (舍去)，183综上所述：当t=也秒，或1=%秒时，ZPEF为直角三角形. 1718312 .（2015徐州）解： 过点C作y轴的垂线,垂足为D,如图1：在 RtzAOB 中，AB=12, OB=6,则 BC=6,，NBAO=30。，ZABO=60%又NCBA=60。，A ZCBD=60% ZBCD=30%，BD=3, CD=3g,所以点C的坐标为（-3。多9）：设点A向右滑动的距离为x,根据题意得点B向上滑动的距离也为x,如图2：5-3A A1图2AO= 12XcosZ

47、BAO= 12Xcos30°=6V3. ，A'O=66-x, B'O=6+x, A'B'=AB=12 在AD B，中，由勾股定理得，（由-x） 2+ （6+x） 2=122,解得：x=6 （e-1）, ，滑动的距离为6（V3- 1）：（2）设点C的坐标为（x, y）,过C作CEJ_x轴，CDJ_y轴，垂足分别为E, D,如图3：VZACE+ZBCE=90% ZDCB+ZBCE=90°, AZACE=ZDCB, CE _ACeeCD"BC又NAEC=NBDC=90°, AAACEABCD,OC2=x2+y2=x2+ （-心）

48、。2,当且仅当C, D, O三点共线时取等号,J取AB中点D,连接CD, OD,则CD与OD之和大于或等于CO,此时 CO=CD+OD=6+6=12, 故答案为：12.第二问方法二：因角C与角O和为180度，所以角CAO与角CBO和为180度，故A, O, B, C四点共圆, 且AB为圆的直径，故弦CO的最大值为12.13 . (2015徐州模拟)解：(1) VBD=tcm, DE=4cm,，BE=BD+DE= (t+4) cm,VEF/7AC, AABEFABCA, AEF： CA=BE： BC,即 EF： 10= (t+4)： 16,解得：EF=至(t+4) (cm)：8(2)分三种情况讨

49、论:如图 1,:当 DF=EF 时，NEDF=NDEF,VAB=AC.，NB=NC,EFAC,，/DEF=NC,，NEDF=NB,，点 B 与点 D 重合，At=0；如图2,当DE=EF时，贝IJ 4至(t+4),解得：t=丝；85如图 3, 丁当 DE=DF 时，有NDFE=NDEF=NB=NC,AADEFAABC.，胆二空，即工解得：AB BC 101625综上所述，当t=0、丝或图秒时，ADEF为等腰三角形. 52 5(3)如图4,设P是AC的中点，连接BP,EFAC, AAFBEAABC.，典二里.AC BC CP BC又NBEN=NC, AANBEAPBC, AZNBE=ZPBC.J

50、点B, N, P共线，点N沿直线BP运动，MN也随之平移.如图5,设MN从ST位置运动到PQ位置，则四边形PQST是平行四边形.M、N分别是DF、EF的中点，MNDE,且 ST=MNDE=2.2分别过点T、P作TKJ.BC,垂足为K, PL_LBC,垂足为L,延长ST交PL于点R,则四边形TKLR是矩形,:当 t=0 时，EF二 (04) 望，TK=i-EFsinZDEF=i<-=-；g 222 2 5 4当 t=12 时，EF=AC=10, PL=XAC>sinZC=X* 10*-l=3.225Z.PR=PL - RL=PL - TK=3 -乏望.4 4，S平行四边形pqst=S

51、TPR=2xZ=.4 2，整个运动过程中，MN所扫过的面积为旦nf.2国4国514.(2015绵阳)解:存在：当点M为AC的中点时，AM=BM,则ABM为等腰三角形: 当点M与点C重合时，AB=BM,则4ABM为等腰三角形：当点M在AC上，且AM=2时，AM=AB,则AABM为等腰三角形；当点M为CG的中点时，AM=BM,则AABM为等腰三角形：(2)证明：在AB上截取AK=AN,连接KN；如图1所示：:四边形 ABCD 是正方形，A ZADC=90% AB=AD,，NCDG=90。，VBK=AB - AK, ND=AD-AN,，BK=DN,VDH 平分NCDG, :. NCDH=45。，/.

52、 ZNDH=9O°+45°=I35%，ZBKN=1800 - NAKN=135°,，NBKN=NNDH,在 RtAABN 中，ZABN+ZANB=90%XVBN1NH, RPZBNH=90%，ZANB+ZDNH=1800 - ZBNH=90°,，NABN=NDNH, rZN=ZDKH在BNK 和NHD 中，BK=DN, BNK%NHD (ASA), Z.BN=NH：BKN=/MEH(3)解：当M在AC上时，即0VtW2«时，ZAMF为等腰直角三角形，VAM=t, AAF=FM=Vlt,2/. SAF FM=1 X 返4 X 返.2222 4当t

53、=2证时，S的最大值二Lx (22)2=2；2当M在CG上时，即“历VtV4V4，如图2所示：CM=t - AC=t - 272> MG=46-t,13DG在4ACD 和4GCD 中，(/ADC=NCDG , AAACDAGCD (SAS),kCD=CD/. ZACD=ZGCD=45% :. ZACM= ZACD+ ZGCD=90°,A ZG=90° - NGCD=45。，为等腰直角三角形，.-.FG=MG*cos450= (4a/2 - t)-返t,22，S=Saacg - Sacmj - Safmg= X4X2 -ixCMXCM -ixFGXFG 222=4-1.

54、 (t-2V2) 2-l (4-2ZAt)2=_1_12+4施-8=-誉2吟，.当别，S的最大值为去15. （2010荆州）解:（1）过 B 作 BM_Lx 轴于 M：长ABM 中，AB=3, ZBAM=45°：则 AM=BM3企.:2ABC=OA - AM=4V2-CD=BC-BD=X，D 点的坐标是号正，-|）：（2）连接OD；如图（1）,由（1）知：D在NCOA的平分线上，则/DOE=/COD=45。： 又在梯形 DOAB 中，ZBAO=45%，OD=AB=3,由三角形外角定理得：Zl = ZDEA-45°,又N2=NDEA-45。，AZ1=Z2, AAODEAAEF二 0E _ OD ,即.x 3AF -杷 y孰巧" x.y与x的解析式为：（3）当4AEF为等腰三角形时，存在EF=AF或EF=AE或AF=AE共3种情况；当 EF=AF 时，如图（2）, ZFAE= ZFEA= ZDEF=45°：AEF为等腰直角三角形，D