中职数学公式大全.

1、中职数学常用公式及常用结论1. 元素与集合的关系x A x CU A, x CU A x A.2. 德摩根公式CU(A B) CU A CUB;CU (A B) CU A CU B .3. 包含关系A B A A B B A B CUB CUAA CU BCU A B R4 集合 a1,a2, , an的子集个数共有 2n 个；真子集有 2n1 个；非空子集有 2n 1 个；非空的真子集有 2n2 个.5. 二次函数的解析式的三种形式2(1) 一般式 f (x) ax2 bx c(a 0) ;2(2) 顶点式 f (x) a(x h)2 k(a 0);(3) 零点式 f (x) a(x x1)

2、(x x2)(a 0) .6. 闭区间上的二次函数的最值二次函数 f (x) ax2 bx c(a 0) 在闭区间 p,q 上的最值只能在 x b 处及区 2a 间的两端点处取得，具体如下：(1) 当 a>0时，若 x 2ba p,q ，则 fx() nim f( ,)2b(a)f x xamxam (f,)p()fq ；x b p,q ， f (x)max max f ( p), f (q) ， f(x)min min f(p),f(q) .2a(2) 当 a<0 时 ， 若 x b p,q ， 则 f ( xm) i n m i nf p( )f ,，q (若) 2a m i

3、nx b p,q ，则 f (x)max max f(p), f (q) ， f (x)min min f(p), f(q) .2a7. 一元二次方程的实根分布8 充要条件( 1)充分条件：若 p q ，则 p 是 q 充分条件 .(2) 必要条件：若 q p ，则 p 是 q必要条件 .( 3)充要条件：若 p q ，且 q p ，则 p 是 q充要条件 . 注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然 .9. 函数的单调性(1) 任取 x1,x2 a,b,x1 x2那么(x1x2)f(x1)f(x2)0f(x1)f(x2)0f(x)在a,b 上是增函数；x1 x2(x1x2)f(

4、x1)f(x2)0f(x1)f(x2)0f(x)在a,b 上是减函数 .x1 x2(2) 设函数 y f ( x)在某个区间内可导，如果f (x) 0，则 f(x) 为增函数；如果f (x) 0，则 f (x)为减函数 .10.如果函数 y f(u)和u g(x) 在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数y fg(x) 是增函数 .11奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y 轴对称 ; 反过来，如果一个函数的图 象关于原点对称， 那么这个函数是奇函数； 如果一个函数的图象关于 y轴对称， 那么这个函 数是偶函数12多项式函数 P(x) anxn an 1xn 1a0

5、的奇偶性多项式函数 P(x)是奇函数P(x)的偶次项 ( 即奇数项 )的系数全为零 .多项式函数 P(x)是偶函数P(x)的奇次项 ( 即偶数项 )的系数全为零 .13. 函数 y f (x) 的图象的对称性(1) 函数 y f (x) 的图象关于直线 x a对称 f (a x) f(a x)14. 两个函数图象的对称性15.若将函数 y f ( x)的图象右移 a、上移 b个单位，得到函数 y f(x a) b的图 象；16. 几个常见的函数方程(1) 正比例函数 f(x) cx,(2) 指数函数 f (x) ax ,.(3) 对数函数 f (x) loga x,.(4) 幂函数 f (x)

6、 x ,(5) 余弦函数 f(x) cos x ,正弦函数 g(x) sin x， 17. 分数指数幂m(1) a nm(2) a n1( a 0,m,n N ，且 n 1). nma1m ( a 0,m,n N ，且 n 1). an18根式的性质(1) (n a)n a.(2)当 n为奇数时， n an a；n n a,a 0 当 n 为偶数时， n an |a| .a,a 019有理指数幂的运算性质(1) ar as ar s(a 0,r,s Q) .(2) (ar )s ars(a 0,r,s Q) .上述有理指数幂的运算性(3) (ab)r arbr (a 0,b 0,r Q). 注

7、： 若 a>0，p 是一个无理数，则 ap表示一个确定的实数质，对于无理数指数幂都适用 .20. 指数式与对数式的互化式 loga N bab N (a 0,a 1,N 0) .21. 对数的换底公式 logm NlogaN m ( a 0,且a 1, m 0,且m 1, N 0). logma推论logambnn logab(a0,且a1, m,n0,且m1, n1,N0).am22对数的四则运算法则若 a>0，a1，M> 0，N>0，则(1) log a (MN ) logaM loga N ;(2) loga M loga M loga N ;N(3) logaM

8、n nlogaM (n R).23. 平均增长率的问题如果原来产值的基础数为N，平均增长率为 p ，则对于时间 x 的总产值 y ，有y N(1 p)x .24. 数列的同项公式与前 n 项的和的关系s1, n 1an1 ( 数列 an 的前 n 项的和为 sn a1 a2an).sn sn 1,n 225. 等差数列的通项公式*an a1 (n 1)d dn a1 d(n N ) ；其前 n 项和公式为sn n(a1 an ) na1 n(n 1)d 22d n2 (a1 1d)n.2 1 226. 等比数列的通项公式n 1 a1 n * an a1qn 1 1 qn(n N*) ； q其前

9、 n 项的和公式为a1(1 qn),q 1sn1qna1,q 1a1 anq,q 1或 sn1 q .na1,q 127. 同角三角函数的基本关系式sin2cos2 1，tan = sin ，tan cot 1.cos28. 正弦、余弦的诱导公式n( 1)2 sin ,n1sin( 2 )(n 为偶数 )( 1) 2 cos ,nn ( 1 2)co s ,cos(2 ) n 12 ( 1)2 si n(n 为奇数 )(n 为偶数 )(n 为奇数 )29. 和角与差角公式sin() sin cos cos sin ;cos() cos cos sin sin ;tan( )tan tan1 t

10、an tansin( )sin( ) sin2 sin 2 (平方正弦公式 ); cos( )cos( ) cos2sin2 .asin bcos = a2 b2 sin()(辅助角 所在象限由点 (a,b)的象限决定, tanb ).a30. 二倍角公式sin2 sin cos .2 2 2 2cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin .tan22tan1 tan231. 三角函数的周期公式2 函数 y sin( x)， x R(A, , 为常数，且 A0，>0)的周期 T32. 正弦定理c 2R.sinA sinB sinC2bc cos A ; 2cacosB; 2ab

11、cosC .33. 余弦定理2 2 2a2 b2 c22 2 2b2 c2 a22 2 2 cab34. 面积定理111(1) Sahabhbchc ( ha、hb、hc 分别表示 a、b、c 边上的高)222111(2) Sabsin Cbc sin Acasin B.22235. 三角形内角和定理在 ABC中，有 A B C C (A B)C A B2C 2 2(A B) .2 2 236. 平面向量基本定理如果 e1、 e 2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且 只有一对实数 1 、 2，使得 a= 1e1+ 2e2不共线的向量 e1、e2叫做表示这一平面内

12、所有向量的一组 基底 37向量平行的坐标表示设 a=(x1,y1) , b=(x2,y2) ，且 b 0，则 a/ b(b 0) x1y2 x2y1 0.38. a 与b的数量积 (或内积 ) a· b=| a| b|cos 39. 平面向量的坐标运算(1) 设 a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则 a+b= (x1 x2,y1 y2) .(2) 设 a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则 a-b= (x1 x2,y1 y2) .AB OB OA (x2 x1,y2 y1).(3) 设 A(x1,y1)，B(x2,y2),则 AB(4) 设 a=(x, y),R，则 a=(

13、 x, y).(5) 设 a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则 a·b=x1x2 y1y2.40. 两向量的夹角 公式cos2 x1x22 y1y22 2 (a=(x1,y1),b=(x2, y2).x12 y12 x22 y2241. 平面两点间的距离公式| AB | (x2 x1)2 (y2 y1)2 (A (x1,y1)，B(x2,y2) ).42. 向量的平行与垂直设 a=(x1,y1), b=(x2,y2)，且 b 0，则A| b b=ax1y2 x2 y1 0.a b(a 0)a·b=0 x1x2 y1y2 0.43. 22ax2 bx c同号，则其解集在

14、两根之外；如果a与 ax2 bx c异号，间. 简言之：同号两根之外，异号两根之间.x1 x x2 (x x1)(x x2) 0(x1 x2) ；x x1,或 x x2 (x x1)(x x2) 0(x1 x2) .44. 含有绝对值的不等式当 a> 0 时，有x ax2 a a x a .22x a x a x a或 xa .45. 指数不等式与对数不等式(1) 当 a 1时,a f(x) ag(x)f (x) g(x);f(x) 0loga f(x) loga g(x)g(x) 0 .f(x) g(x)22元二次 不等式 ax2 bx c 0(或 0) (a 0,b2 4ac 0)

15、，如果 a 与则其解集在两根之(2) 当 0 a 1 时 , af(x) ag(x)f (x) g(x);f(x) 0loga f(x) loga g(x) g(x) 0f(x) g(x)46.斜率公式 y2 y1k 2 1 ( P1(x1,y1)、 P2(x2,y2). x2 x147 直线的五种方程k)(1)点斜式 y y1 k(x x1) (直线 l过点 P1( x1, y1) ，且斜率为 斜截式 y kx b(b 为直线 l 在 y 轴上的截距 ).3)两点式y y1 x x11 1 ( y1 y2)( P1(x1,y1)、 P2(x2,y2) y2 y1 x2 x1( x1 x2 )

16、.(2)xy(4) 截距式1( a、b 分别为直线的横、纵截距， a、b 0)ab(5) 一般式 Ax By C 0(其中 A、B 不同时为 0).48.两条直线的平行和垂直(1)若l1: y k1x b1，l2: y k2x b2l1 |l2k1 k2,b1 b2 ; l1 l2 k1k21.(2)若l1: A1x B1y C1 0,l2:A2x B2y C2 0,且 A1、A2、B1、B2都不为零 l1 |l2A1A2B1B2C1 ；C2 l1 l2A1A2 B1B2 0 ；49四种常用直线系方程(1) 定点直线系方程：经过定点P0(x0,y0) 的直线系方程为y y0 k(x x0 )(

17、 除直线x x0 ),(3) 平行直线系方程： 直线 y kx b 中当斜率 k 一定而 b 变动时， 表示平行直线 系方程与直线 Ax By C 0 平行的直线系方程是 Ax By0(0)，是参变量(4) 垂直直线系方程：与直线 Ax By C 0 (A 0，B0) 垂直的直线系方程是 Bx Ay0, 是参变量50. 点到直线的距离 | Ax0 By0 C |d 0 2 0 2 (点P(x0,y0),直线l： Ax By C 0).A2 B251. 圆的 2 种方程( 1)圆的标准方程(xa)2(y b)2 r 2 .(2)圆的一般方程x2y2Dx Ey F0( D2E24F >0).

18、52. 点与圆的位置关系点P(x0,y0)与圆 (x a)2 (y b)2 r 2的位置关系有三种若 d (a x0)2 (b y0 )2 ，则d r 点 P 在圆外 ; d r 点 P 在圆上 ; d r 点 P 在圆内 .53. 直线与圆的位置关系2 2 2直线 AxBy C0 与圆 (x a) (y b) r 的位置关系有三种 :dr相离0;dr相切0;dr相交0.Aa Bb C其中 d .A2 B2过圆外一点的切线方程可设为 y y0 k(x x0) ，再利用相切条件求 k，这时必 有两条切线，注意不要漏掉平行于 y 轴的切线斜率为 k 的切线方程可设为 y kx b ，再利用相切条件

19、求 b，必有两条切线(2) 已知圆 x2 y2 r 2 2过圆上的 P0 ( x0, y0 ) 点的切线方程为 x0x y0y r2;54. 双曲线的方程与渐近线方程的关系(2)（1 ）若双曲线方程为若渐近线方程为(3)轴上，2 若双曲线与 x2 a 2 b 0 ，焦点在 y 轴上） .2 x a2 bb xa 2 y2 1 有公共渐近线，可设为2 2 22 1 渐近线方程： 2 2 abax by 0 双曲线可设为22 xy22 a2 b 255. 二次函数 y ax2 bx c a(x)22a4ac b4ab0 y x.a22x y .2 2 . ab2（a 0） 的图象是抛物线：焦点在1

20、）点坐标为 ( b ,4ac b2 )2a 4a56. 抛物线的内外部(1) 点 P(x0, y0) 在2 y22 p (x p 0的内) 部p (x p抛 物 线 y2 22y 2px(p 0) .2px( p 0) 的外部 2x0 ()2) 点 P(x0,y0 ) 在抛物2y 2px(p 0) . 22py(p 0) 的内部 x2 2py(p 0).22py( p 0) 的外部x2 2py(p 0) .2 点 P(x0,y0) 在抛物线 y2(3) 点 P(x0, y0)在抛物线2 点 P(x0,y0) 在抛物线 x2(4) 点 P(x0,y0)在抛物线 x2 2py(p 0) 的内部x2

21、 2py(p 0).点P(x0,y0)在抛物线 x22py(p 0)的外部 x2 2py(p 0) .57. 直线与圆锥曲线相交的弦长公式AB(x1 x2)2 (y1 y2)2 或2 2 y kx b AB （1 k ）（x2 x1） （弦端点 A（x1,y1）,B（x2, y2） ，由方程消去F（x,y） 02y 得到 ax2 bx c 0 ，0, 为直线 AB 的倾斜角， k 为直线的斜率） .58证明直线与直线的平行的思考途径（ 1）转化为判定共面二直线无交点；（2）转化为二直线同与第三条直线平行；（3）转化为线面平行；（ 4）转化为线面垂直；（ 5）转化为面面平行 .59证明直线与平面

22、的平行的思考途径（ 1）转化为直线与平面无公共点； （2）转化为线线平行；（ 3）转化为面面平行 .60证明平面与平面平行的思考途径 （1）转化为判定二平面无公共点；（2）转化为线面平行；（ 3）转化为线面垂直 .61证明直线与直线的垂直的思考途径（ 1）转化为相交垂直；（ 2）转化为线面垂直；（3）转化为线与另一线的射影垂直；（ 4）转化为线与形成射影的斜线垂直.62证明直线与平面垂直的思考途径（ 1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；（ 2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；（ 3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（ 4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；（ 5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直.63证明平面与平面的垂直的思考途径 （1）转化为判断二面角是直二面角；（ 2）转化为线面垂直 . 向向量）64. 直线 AB 与平面所成角65. 二面角l 的平面角66. 三余弦定理，AB与设 AC是 内的任一条直线，且 BC AC，垂足为 C，又设 AO与 AB所成的角为 AC所成的角为 2，