浙江省百校联考2021届高三12月联考数学试题(含答案解析)

1、时间120分钟.参考公式！球的表面积公式S=4叔 球的体积公式其中尺表示球的半径锥体的体积公式v=4saA. 2B. 23.在九运算术中将底而为长方形且有一条侧棱与底而垂直的四棱锥称之 为阳马已知四棱锥S-ABCD为阳马,SD丄底面ABCD其三视图如图 所示，正视图是著腰直角三角形，其直和边长为2俯视图是边长为2的正J1到 方形,则该阳马的表面积为A. 4©+8C.3D4C.8B.4 吃+4D普20202021学年高三百校12月联考2020.12注意事项：本科考试分试题巻和签题卷，考生须在答題卷上作苓,答題前，请在签題卷的密对线内填 写学校、玻级、学号、姓念；2.衣试卷分为第I卷（选

2、择題）和第U卷（非选择题）网部分共4页，全卷满分150分，考试柱体的体积公式V=Sh英中S表亦柱体的底而积弓h表7K柱体的窩 台体的体积公式w=¥cs】+ys£+S2）其中sls2分别表示台体的上、下底而积.h表示台体的高其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高第I卷（共40分）一、选择题（本大题共10小题,毎小题4分，共40分.在毎小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的）1.已知集合 P=UR|0r4.集合 Q=3ER|#-2V0>,则 FCIQ=C. 工 10M工M4D. h 12M=W4 ?A. <x|0r<2 B <|0<<

3、;2 2.已知aWR.若荟身=3 + i,则& =y+44.若实数 心 满足约束条件治+5+心0则 尸加+y的最大值为 k卄 3-40,A. -5B.1C. 2D.55.已知函数/（刃=去-log2|x|,其图象可能是6. 已知 a,"R,条件 p：a>b、条件 q：lg a>lg b+1,则 p 是q 的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必耍条件D.既不充分也不必耍条件7. 设分别是椭圆G和双曲线G的公共焦点,P是它们的一个公共点，且IPFiIVIPI， 线段PFl的垂直平分线经过点F?,若G和G的离心率分别为®代，则丄+4的值为A.2B.3

4、C. jD.j&已知数列匕”是首项为-公差为1的等差数列，数列仏”满足6 = 中若对任意的"G a”N”，都有成立则实数a的取值范围是A. 6,5B. （6, 5C. 5,4D. （5,4）9. 已知函数一心）=仁:打二：；：；有两个零点则实数。的取值范围是A. （c,十oo）B. （e2,+oo）C. （0,e2）D. （0,e）10. 在正四面体ABCD中,M,N分别为AD.BC的中点，P为线段MB上的动点（包括端点）， 记PN与CD所成角的最小值为a, PN与平面BCD所成角的最大值为禺则A. a=PB.C a<0D.&+/9=芳第II卷（共110分）二、

5、填空题（本大题共7小题，单空每题4分，双空每题6分，共36分）11. 已知 sin2=暫，且工（0,乎）,则 tang=, sin 2>r+l+cos 2x =.54sinQ-子）sinCr予）12. 已知（1+jc）（2jr）4二血+才+血壮“+如文'+。4文"+偽工5，则a? =，血+血+a.i= .13. 抛物线y=4才的焦点在直线/：2工+心，+1=0上，则加= ，若焦点在y轴上的双曲线的一条渐近线与直线2平行,则双曲线的离心率为.14. 一袋中有除颜色不同其他都相同的2个白球,2个黄球，1个红球，从中任意取出3个，有黄球的概率是 若£表示取到黄球的个

6、数,则E® =.15. 若实数工*满足条件才一b=2,且右+¥<M,则M的最小值为.16. 已知平面向量 a,b,c9d 满足 |a| = |Zr| =1, c =2,a b=O, cd =1,贝I | 2a十b-d 的取值范閘为【20202021学年鬲三百校12月联考数学 第2页共4页）17.已知a>l,若对于任恿的工 *, +8),不等式4xln(3x)er In a恒成立，则a的最 小值为 .三、解答题(本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程)1& (本小题满分14分) 在ZiABC中，角A.氏C的对边分别为a "

7、;,c,血鲁_sin £=辛.sin n sin C a 十c(I)求角A的大小；(U)若ZWEC为锐角三角形且d=2,求AAEC周长的取值范風19(木小题满分15分)如图，在四棱锥 P-ABCD 中，ZAPE = ZBPD = ZAPD=60° PB = PD=EC=CD = 4, AF=6.(I) 证明：人卩丄肌)；(II) 求PC与平面PAD所成角的正弦值.20.(本小题满分15分)已知数列仏”>的前n项和为S”,且ai=l,a”+=2S<f + l(”N+),数列ZU满足力= 1”+】 =%+%(I) 求数列©,仏“的通项公式；(II) 若数列

8、匕满足G= 且cl+"r(2&ri 1)A + 1对任意"WN+恒成立,求实数入的取值范围21.（本小题满分15分）已知椭圆C：石十君= l（a>b>0）的长轴长为4,焦距为273.（I）求椭圆C的标准方程；（II）设直线l：y=kxn与椭圆C交于P,Q两个不同的点，且前03=0,0为坐标原点, 问:是否存在实数入，使得I就|=腐前II页I恒成立？若存在，请求岀实数右若不存 在，请说明理由.22.（本小题满分15分）已知函数 /（工）=匚一心+sin jr1.（I ）当a = 2时,求函数/'（工）的单调区间；（H）当1&<2时证明

9、:函数、f（D有2个零点.20202021学年高三百校12月联考数学 第4页（共4页）】20202021学年高三百校12月联考数学参考答案1. B 由题意可得 Q=N|00<2,PflQ=&|0<X2>故选 B.2. D 由题意可得2十亦=(3十i)(l十i) = 2十4is=4故选D3. A rh本题三视图知该阳马是底而为正方形的四棱锥两个侧而泉等腰直角三角形另外两个侧面是直角三角形,S=2+2 + 2Q+2Q+4=4Q+8故选 A.4. C根据题意作出可行域如图所示擞形结合可知当直线z=2y经过 点(2.-2)时细尸2故选C.5. A根据题总函数fCr)为偶函数，

10、图象关于3-轴对称，有两个零点为工= ±1、排除B和C.同时利用二次函数y=/和对数函数y=log，T对图彖在 工f+oo的趋势影响，可知答案选A.6. B由题意可得，若lg a>lg 0+1.则a>10A>0,故a>b；反之，若a>b.当其中有负数时T不成立故选B7. A根据题意设双曲线Q的方程为召-君=1備点心",则皿1 = 1吓|¥,|昭|=2幼+十严宁十斜2.故选A8. D根据题意,卄"=导=±十,有+浇对任意的,3成立.因此数列心单调递增且公<0心>()所以a-=5+a_1<0»

11、;Y = 6+a 1>0.故一5Va<4.故选 D.9. B当工=0时,/(O) = -l-e2,G=0不是函数只文)的零点当x<0时，由fCx) = O.得a=卑尹，设人Cr)牛川(刃=笔亠<0则力(刃在(一8.0)上单调递减且A(a*)<0.当疋>0时J(vr)=O等价丁 u=兰土令g(x)得g(Q在0.2)上单调递减.在十8)上单调递増,gQ)罰=以2)=乱以小孑風 因为/(工)有2个零点所以a>e.故选B10. C根据最小角、最大角定理 PN与CD所成最小角为CD与平面BCM所成的角即 ZDCM.PN与平面BCD所成最大角为二面角MBC-D.在

12、正四面体中易得仙z =tanXIX?M=y wtan *=tanZDNM= 则 a<P故选 C11. y 6/2 12.16 1 13.16 祸 14 常 y-A- (jr )15. 2原式=2 ；” +¥=_*(于严+2于+令于=红有+ 2.则 =匸*$0,因此圧(一1,1) 则原式=一+严十2/+<2,旳的最小值为2.C160"+3令 a=(bO).b=(O>l).c=(>y)t设 C 的坐标为Cr.R.C 的轨迹 为圆心在原点，半径为2的圆上.设d=cAy).D的坐标为(xy).n的轨迹为圆心在原点大圆半径为3小圆 半径为1的圆环上|2a+b+

13、| = |d-( 2 1)|表示D与点P( 2 1)的距 离，由图可知,故12a+b+d|的取值范围为0,岳+32020-2021学年高三百校12月联考数学参考答聚 第1页(共4页)A/(z)在1 上单调递増.Va>l# +oq) / 3z<aer 口 +°°) 3xcze8乎£ 恒成立只盅 心&3咖 令 g(J-) = .gz(a > = 3 g,3j . *当 j=1 时,gCr)的最大值为半,山鼻丄"的最小值为色.ee18.躺(I )由豐仁豐皆忌，利用正弦定理可得蛋=忌,化为 lr+c2-a2=bc.由余弦定理可得COS八

14、=沪+；：严-=*,AW (0,n),所以人=专.(D在小眈中由正弦定理得七=爲=彘，乂尸2,sin -z-所以 b=sin Bc=sin C=sin(警一B), 10分故 +c=sin B+sin(今B) = (-ysin B+岁cos B)=4sin(BH 12分因为0B-|-且号(仔八且E,C都是锐角，从而青£号且 時号, 故号3+专弩且B+-，所以彎sin(B十卡1 t6+cG(2«/3号故周长a+6+c的取值范围是(2+2/3,6). 14分19解：(I)因为ZAPB=ZAPD=6O°PD=PB所以AAFE也AFD,所以AD=AB. 3分取BD的屮点E,

15、连接AE.PE.所以AE丄BD.PE丄BD.所以BD丄平面PAE.又APU平面PAE所以AP±BD. 7分(U解法1(几何法)：在APJ3 屮，根据余弦定理得 A& =AP2+PB2-2 AP PB cos 6=2&所以AB=210分又因为 BE=2,所以 AE=276,PE=2s/3,所以 AP2 =AEZ 十PE2,即 AEA.PE.设点C到平面PAD的距离为爪PC与平面FAD所成角为沢因为 Vc pad=Vp-畑、即寺" Smw =寺 PE Saacd ,所以h = 2(、譬,13分所以&“0=焉=违2,所以PC与平面PAD所成角的正弦值为幻許

16、.15分2020-2021学年髙三百校12月联考数学参考答案 第2页決4页)解法2(坐标法”在厶APB 中根据余弦定理得 AB2=AP2+PB2-2 AP PB cos 60°=2& 所以 AI3=2.又因为 BE=2.所以 AE=2v/6.PE=2s/3<所以AF2 =AE2+PE2,即AE丄尸E又因为PE丄DB/EnDB=EAEDBU平面ABCD.所以PE丄平面ABCD.如图，以E为原点，分别以ED,EA,EP所在直线为工轴轴二轴建立空间宜角坐标系E-xy 10分则 A02用0)D(200)P(0.0,2)C(0一2,0),A5=(2,-2v.0),DF=(-2T0

17、,2y3),p£=(0t-2</3,-2/3).设平面PAD的法向虽为n = (x.y.z) 则r宪f即严-2屁=o.令円则尸“咼G DP=0.l-2z+2屁=0.13分所以 n=(y6.b/2),设PC与平面PAD所成角为0 stn 0= |cos<Pc?w>|=23+2 = 2±/23X2/6 6【20202021学年醫三百校12月联考数学参考答実 第4页（共4页）】=2()3+13+八(n)g=6?-心 _ 1+1? (+12 2令A=c+c2+a+s则 Tu = 2l-(3n4-l"-314-l>_1<3l4-l"3

18、2+l>_l'，* + <3"_+l_3,Vl)115分11分所以PC与平面PAD所成和的止弦值为送辽.20解：(I )Val»l,a+i=2S.+lGzeN+)，/-=2Sll-i + l<W6N+>2),/ <jw4-an=2(SftS.r-i)即心t aN=2an G卄i =3心(nN+ 而 Uz 勿+ 1 3 02 =3d *数列d,>是以1为首项3为公比的等比数列，心=3” /+】=人十3”一】，： bn = 5 伉一I > + (伉 1 九 2) (仏bl) + 靳=3+3一+3° + lX(匕31+

19、=岂±1.31 4 31=2()出23+1_2_ t 3M+r匚(2伉一 1以+1对任意九 N十恒成立99*-1 4- 1'I一詁刁$(2X七U i)久十1对任意底n+恒成立,9只需入W(3“ + ) 3川_1他in艮卩可 133卜=二 _2y_ (3U + 1)3”7_3(3”T)2+3”一八令z=3-'>l,则=話毛在( = 1，即当”=1吋取到最小值一*，15分* 2L解,I ）由题意可知a=2“=推,芒=1,的标准方程为晉+b=i.5分（n > v 石5=o.故opq为直角三如形,设原点到直线i的距离为厶 由 Smfq=* - ip5i =* oP

20、 io3i7分10分要求实数入使得IpShaiDPi - |Dq|恒成立即入=号 设点F（ryi） ,Q（X2，2）联立方程彳° +十4护）才十8如>?.r十4"?'4=0,y=kx+m.f _ 8km1+耳=匸时=（狄初尸一4（1+4 护）（4讦 一 4）>0=> 讦 <1+4 也 4 加4北斗匕卫卄心+如十亦伽审一* 一8宀卄肿+仍亦_ 4X +川1+4段TTfc 7a _的24 4於+加2_5加2_4_4疋 0卩(?0,5工2十卩力一匸丽十i+q疋 一J+4P0,1+4/13分5亦=4+4/, / =T7=£ 入=+=写 15 分J1+"I 十班 5d 222解：(I )当 a = 2 时,/(&) = *2才+sinz19则 /无)=&2+cos 尤，可彳导 f (jr) = ez sin x. 2 分当(一8.0时可得于W1.所以 /(xX-l+cos所以/Gr)在(-oo,0单调递减；4分当工 (0,+co)吋出>