二次函数综合应用-教师版(含解析)

1、二次函数一、二次函数的概念一般地，形如y=ax2+bx+c (a, b, c是常数，aM)的函数，叫做二次函数.二、二次函数解析式的三种形式(1) 一般式：y=ax2+bx+c(a， b， c为常数，aM).(2) 顶点式：y=a (x-i) 2+k (a, h, k为常数，aM)，顶点坐标是(h, k).(3) 交点式：y=a (x-d)( x-2),其中xi, X2是二次函数与x轴的交点的横坐标，aM).三、二次函数的图象及性质1二次函数的图象与性质解析式二次函数 y=ax2+bx+c ( a, b, c 是常数，aM)对称轴b2a顶点/ b 4ac b 、(-,)2a4aa的符号Ia&g

2、t;0a<0图象 / -Jv开口方向开口向上开口向下最值当x= -R时，2a4ac b2y 最小值=4a当x=丄时，2a4ac b2y最大值一4a最点抛物线有最低点抛物线有最高点增减性当x<时，y随x的增大而减小；2a当x>时，y随x的增大而增大2a当x<时，y随x的增大而增大；2a当x>时，y随x的增大而减小2a2二次函数图象的特征与a, b, c的关系字母的符号图象的特征aa>0开口向上a<0开口向下bb=0对称轴为y轴ab>0 （a与b同号）对称轴在y轴左侧ab<0 （a与b异号）对称轴在y轴右侧cc=0经过原点c>0与y轴正半

3、轴相交c<0与y轴负半轴相交b2 Vacb2 Tac=0与x轴有唯一交点（顶点）b2 Tac>0与x轴有两个交点b2 Tac<0与x轴没有交点四、抛物线的平移1. 将抛物线解析式化成顶点式y=a （X-1） 2+k，顶点坐标为（h, k）保持y=ax2的形状不变，将其顶点平移到（h，k）处，具体平移方法如下:厨 向上（Z）【或卜迩<o）】平移崗个单位疔向右3刈【或左也<o） 苹移旳I个以位或左（衣0）¥移|用个单位些凹向上冋【或卜g】平移册单位旦也兰3.注意二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析

4、式； 二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式.五、二次函数与一元二次方程的关系1. 二次函数y=ax2+bx+c （a老），当y=0时，就变成了一元二次方程ax2+bx+c=0 （a0）2 22. ax +bx+c=0 （ a老）的解是抛物线 y=ax +bx+c （aM）的图象与x轴交点的横坐标.3. （ 1） b2Tac>0?方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点；（2） b2Vac=0?方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点；（3） b2Tac<0?方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点.六、二次函数的综合1、函数存

5、在性问题解决二次函数存在点问题，一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物线的表达式，设出该点的坐标；然后用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他点的坐标等；最后结合题干中其他条件列出等式，求出该点的坐标，然后判别该点坐标是否符合题意，若符合题意，则该点存 在，否则该点不存在.2、函数动点问题(1) 函数压轴题主要分为两大类：一是动点函数图象问题；二是与动点、存在点、相似等有关 的二次函数综合题.(2) 解答动点函数图象问题，要把问题拆分，分清动点在不同位置运动或不同时间段运动时对 应的函数表达式，进而确定函数图象；解答二次函数综合题，要把大题拆分，做到大题小做，逐 步分析求解，最后汇总成

6、最终答案.(3) 解决二次函数动点问题，首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多少，结合直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后结合题干中与动点有关的条件进行计算.44命题点二次函数综合探究1. (2019年徐州中考第17题3分)已知二次函数的图象经过点P (2, 2),顶点为0 (0, 0)将该图象向右平移，当它再次经过点P时，所得抛物线的函数表达式为 _.【解析】解：设原来的抛物线解析式为：y= ax2 (a工0 .把P (2, 2)代入，得2= 4a,解得a=，故原来的抛物线解析式是:y=x2.设平移后的抛物线解析式为：y= (x- b) 2,把P

7、 (2, 2)代入，得2 = (2 - b) 2.解得b= 0 (舍去)或b = 4,所以平移后抛物线的解析式是：y= (x-4) 2.故答案是：y=- (x- 4) 2.2. (2019年淮安中考第26题12分)如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，D为顶点,其中点B的坐标为(5, 0)，点D的坐标为(1, 3).(1) 求该二次函数的表达式(2) 点E是线段BD上的一点，过点 E作x轴的垂线，垂足为 F，且ED = EF，求点E的坐标.(3) 试问在该二次函数图象上是否存在点G,使得ADG的面积是ABDG的面积的？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由.【解析】解:1)将点B

8、代入得0 = a (5 - 1) ED = EF, ( x 1) 2+ (-：x+ - 3) 2=( x+ ) 2 ii 4-4,14整理得 2x2+5x- 25= 0,解得 X1 = -, x2=- 5 (舍去)故点E的纵坐标为y = - -+，点E的坐标为(=!,(3)存在点G,当点G在x轴的上方时，设点 G的坐标为(m, n),点B的坐标为(5, 0),对称轴x= 1,二点A的坐标为(-3, 0), pD =玉把 +设AD所在的直线解析式为 y= kx+b,代入得母=耙+山，解得 直线AD的解析式为y=, AD的距离为5,过点G作直线AD: 3x- 4y+9 = 0的垂线，交点垂足为 Q

9、 (x, y)+3,得a=-二二次函数的表达式为：y=- (x- 1) 2+3(2)依题意，点 B (5, 0),点D (1, 3),设直线BD的解析式为y= kx+b代入得线段BD所在的直线为设点E的坐标为：(x, = =x+ ) , ED2=( x- 1) 2+ (- x+ - 3) 2,EF =(-二 x+亍)2,4-A4"-mLA4得，化简得，由上式整理得,2 =( 3m - 4n+9)(32+42) ( x m) 2+ (y - n)|GQ|=二=,点 G 到 AD 的距离为：di=©v羽*4 "L石由（2）知直线BD的解析式为：y= x+ , BD的距

10、离为5同理得点 G至BD的距离为：d2=_-_- ESl+4fl-£l5一-,整理得6m-32n+90 = 0点G在二次函数上， n =,3 c代入得 6m- 32 - ( m- 1) 2+3+90 = 0整理得 6m2 - 6m = 0? m （ m - 1） = 0解得mi= 0, m2= 1 （舍去）此时点G的坐标为（0,）U当点G在x轴下方时，如图2所示，/ AO : OB = 3: 5当AADG与ABDG的高相等时，存在点G使得 Saadg : Sbdg = 3: 5此时，DG的直线经过原点，设直线 DG的解析式为y = kx,” y =将点D代入得，k= 3,故y= 3x

11、,则有二邑仗_尸卄，整理得，（x- 1）（ x+15） = 0,得 X1 = 1 （舍去），x2=- 15, 当 x=- 15 时，y=- 45,故点 G 为（-15,- 45）综上所述，点G的坐标为（0，壬）或（-15,- 45）3. (2019年泰州中考第22题10分)如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数图象的顶点坐标为C,其中点A的横坐标为1.(4,- 3)，该图象与x轴相交于点A、B,与y轴相交于点(1) 求该二次函数的表达式;(2) 求 tan/ ABC.y= a (x - 4) 2- 3,( a0 .【解析】解：(1 )由题意可设抛物线解析式为:把 A (1, 0)代入，得 0

12、= a (1 - 4) 2- 3,解得a= 故该二次函数解析式为y= (x- 4) 2- 3;(2)令 x= 0，则 y =( 0-4) 2- 3=.贝U OC=.因为二次函数图象的顶点坐标为(4，- 3), A (1 , 0),则点B与点A关系直线x = 4对称，所以B ( 7, 0).所以 OB = 7.所以 tan/ ABC =，即 tan/ ABC =.(1) 请写出该二次函数图像的三条性质;(2) 在同一直角坐标系中， 若该二次函数的图像在丁九总的部分与一次函数-的图像有两个交点，求a的取值范围.【解析】解：(1)图像开口向上；图像的对称轴为直线二：；当肛宝时，y随x的增大而增大；当

13、:时，y随x的增大而减小；当二：时，函数有最小值.(2)：二次函数的图像与一次函数 戏=2世的图像有两个交点，.：一 =.一1：一=匚一-，即V.'-= i.一 一一. _-一一 ，解得的還：Y二次函数的图像在工卷姑的部分与一次函数字-：.T =:的图像有两个交点，二次函数-七-一：的图像与X轴兀珥禺的部分有两个交点.结合图像，可知=-时，朋璨特卜誤訂芻肘我当.二匸时， _ _ - - _ ,得扛 >.当二次函数的图像在 二-的部分与一次函数¥憑小 的图像有两个交点时，a的取值范围为九討空富. . 25. (2019年苏州中考第28题10分)如图，抛物线 y x (a

14、1)x a与x轴交于A、B两点(点 A位于点B的左侧)，与y轴交于点C,已知 ABC的面积为6.(1) 求a的值；(2) 求ABC外接圆圆心的坐标；(3) 如图，P是抛物线上一点，点 Q为射线CA上一点，且P、Q两点均在第三象限内， Q、A 是位于直线BP同侧的不同两点，若点P到x轴的距离为d, QPB的面积为2d，且 PAQ AQB , 求点Q的坐标.（图）（图）【解析】（1）解：由题意得y所以 A（a,O）, B 1,0 ,C 0, a , a 3 ,x 1 x a，由图知：av 0,1 、S ABC 1 a a =6 , a3或 a 4(舍),2(2)由(1 )得 A(-3,0), B

15、1,0 ,C 0,3 ,直线AC得解析式为：y x 3,3 3AC中点坐标为一,一2 2 AC的垂直平分线为：y x又 AB的垂直平分线为：x 1 yx 得x 得x1y 1ABC外接圆圆心的坐标(-1, 1) AQ/ PB ,设PB直线解析式为；y x b过点B(1,0) , y x 1 ,y x1r小 x4x 1人.j 2勿得A舍)y x2x3y 5y 0所以 P(-4,-5),由题意及PAQAQB，易得:ABQB QPA , BQ=AP= . 26 ,设 Q ( m,-1) (mv0)2- 1 m1226 , m 4 , Q 4,16. (2019年无锡中考第27题10分)已知二次函数-

16、- (a> 0)的图像与x轴交于A、B两点，(A在B左侧，且OA v OB)，与y轴交于点C、D为顶点，直线 AC交对称轴于点 E,直线BE 交 y 轴于点 F, AC: CE = 2: 1.(1) 求C点坐标，并判断b的正负性；(2) 设这个二次函数的图像的对称轴与直线AC交于点D，已知DC : CA = 1 : 2，直线BD与y轴 交于点E,连接BC若ABCE的面积为8,求二次函数的解析式；若 ABCD为锐角三角形，请 直接写出OA的取值范围.Ji yjyxxOO【解析】(1)令 x=0，则 y=-4, C (0, -4)OA v OB ,对称轴在y轴右侧，即一 一 ，/ a>

17、0,.bv 0(2)过点D作DM丄oy,，设 A (-2m, 0) m>0,则 A0=2m,DM=m,二-0C=4，CM =2, D ( m, -6) , B (4m, 0)DNBN1A型相似可得：， 0E=8, Sabef4 4m 8, m 1,OEOB2 A(-2,0),B (4,0)，设 ya(x2)(x4)，即y ax22ax 8a,1令 x=0,则 y= -8a, C (0, -8a) , - - -8a=-4, a=2， y x x 42 ,易知：B (4m, 0) C (0, -4) D ( m, -6),通过分析可得/ CBD 一定为锐角，计算可得 CB216m2 16,

18、CD2 m24, DB2 9m2362 2 21°当/CDB为锐角时，CD DB >CBm 4 9m 36>16m16，解得 2 vmv22°当/BCD 为锐角时，CD2 CB2>DB2m2 4 16m2 16>9m2 36,解得 m > 2或 m v - 2(舍)综上：2v mv2 , 2 2v 2mv4 2 2v OAv 4.7. (2019年连云港中考第 26题12分)如图，在平面直角坐标系 xOy中，抛物线L1 :專：；-过点C(0，- 3)，与抛物线L2：- 一一 的一个交点为 A,且点A的横坐标为2,点P、Q分别是抛物线 Li、抛物

19、线L2上的动点.(1) 求抛物线Li对应的函数表达式；(2) 若以点A、C、P、Q为顶点的四边形恰为平行四边形，求出点 P的坐标;(3) 设点R为抛物线Li上另一个动点，且 CA平分/ PCR，若0Q / PR,求出点Q的坐标.【解析】解：(1 )将x=2代入y= x2+2,得.丫一 =d,故点A的坐标为：(；'，将.-? 代入 y=x2+bx+c,得-3=22 + 2tj + c 匚一H- 0 +cfb=-2，解得抛物线 L1 : y=x2-2x-3;(2)设点P的坐标为(x, x2-2x-3)，第一种情况：AC为平行四边形的一条边，当点 Q在点P右侧时，则点 Q 的坐标为(x+2,

20、 -2x-3)，将 Q (x+2, x2-2x-3)代入 y=x2+2，得-2x-3=(x+2)2- ( x+2) +2，解得，x=0 或 x=-1 ,因为x=0时，点P与C重合，不符合题意，所以舍去，此时点 P的坐标为(-1, 0);当点Q在点P左侧时，则点Q的坐标为(x-2, x2-2x-3),将Q (x-2, x2-2x-3)代入y= =x2=詁' +2，得 x2-2x-3= * - 2=汛工=小+2，解得，x=3,或 x=W ,4 as此时点P的坐标为(3, 0)或(-,丁)；第二种情况：当 AC为平行四边形的一条对角线时，由 AC的中点坐标为(1, -3),得PQ的中点坐标为

21、(1, -3),故点 Q 的坐标为(2-x, -x2+2x-3)，将 Q (2-x, -x2+2x-3)代入 y'=-: +2,得-x ",设点Q坐标为(m, - m2-m+2),若 OQ/ PR,则需/ QOK = / PRH，所以 tan/ QOK=tan/PRH=2,所以 2m=- m2- m+2，解得，m= -7 ± , 所以点Q坐标为（-7+=, -7+虫耳）或（-7-亠，-7-肃）.8. （2019年宿迁中考第28题12分）如图，抛物线 y= x2+bx+c交X轴于A、B两点，其中点 A坐标 为（1, 0），与y轴交于点C （0,- 3）.+2x-3-：

22、(2 - £2占位为+2，解得，x=0 或 x=-3,因为x=0时，点P与点C重合，不符合题意，所以舍去，此时点P的坐标为（-3, 12）,综上所述,点P的坐标为（-1, 0）或（3,0)或(-4 3 ,13 9 )或(-3, 12);当点P在y轴左侧时，抛物线L1不存在点R使得CA平分/ PCR,当点P在y轴右侧时，不妨设点P在CA的上方，点 R在CA的下方，过点P、R分别作y轴的垂线，垂足分别为 S、T,过点P作PH丄TR于点H ,贝y有/ PSC=Z RTC=90° 由 CA 平分/ PCR，得/ PCA= / RCA，则/ PCS=Z RCT, PSCs RTC,.

23、, 设点 P 坐标为(xi, xi2-2 xi-3 )，点 R 坐标为(X2, x22-2 X2-3 ),所以有 Xixi2-2xi-3-(-3)=x2-3-(X22-2X2-3)，整理得，Xi +X2=4,=X1+X2-2 = 2,过点Q作QK丄x轴于点K,在 RtAPRH 中,(1) 求抛物线的函数表达式；(2) 如图，连接 AC,点P在抛物线上，且满足/ PAB = 2/ ACO.求点P的坐标；(3) 如图，点 Q为x轴下方抛物线上任意一点，点D是抛物线对称轴与 x轴的交点，直线 AQ、BQ分别交抛物线的对称轴于点 M、N .请问DM + DN是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是

24、，请说明理由.【解析】解：(1 )抛物线y=-3)解得：，抛物线的函数表达式为y= x2+2x-3 + u + r 一 3'广=(2)若点P在x轴下方，如图1，延长AP到H,使AH = AB，过点B作BI丄x轴,连接BH，作BH中点G,连接并延长 AG交BI于点F，过点H作HI丄BI于点I, 01fcA 当 x2+2x- 3= 0，解得：xi =- 3, X2= 1 B (- 3, 0) A (1 , 0), C (0,- 3) OA = 1 , OC= 3, AC =加，AB= 4 Rt MOC 中,sin/ ACO =,cos/ ACO = AB = AH , G 为 BH 中点

25、AG 丄 BH , BG= GH/ BAG = Z HAG，即/ PAB = 2/ BAG/ PAB= 2/ACO/ BAG = Z ACO RtMBG 中，/(AGB-90° sin / BAG-： 兰BG = BH = 2BG=,s/ HBI + / ABG = Z ABG+ / BAG= 90°/ HBI =Z BAG = Z ACOcos/ HBI =,JJf ilD Rt3 中，/ BIH = 90° 曲 HBI 曙乎,15鸟HI = ,BH = ,BI=BH =yH,即卩 H (-y = -T - z 4 i=ar +2x 3解得:设直线AH解析式为y

26、= kx+ajF32直线 AH: y= x-4* 鼻若点P在x轴上方，如图2,在AP上截取AH'= AH，则H'与H关于x轴对称图2设直线AH'解析式为y= k'x+a'直线 AH': y= x+4.44B7Ifiy =-it + -” 心解得:= x2 +2x 3（即点A)综上所述，点P的坐标为（=二，）或（一匚，）(3) DM +DN为定值抛物线y= x2+2x-3的对称轴为：直线 x=- 1 D ( 1 , 0) , xm= xn= 1设 Q (t, t2+2t- 3)( 3v tv 1) 设直线AQ解析式为y= dx+e-1-=0”f解得

27、:AQ :y=( t+3) x t 3当 x= 1 时，yM = t 3 t 3= 2t 6,. DM = 0-( 2t 6)= 2t+6设直线BQ解析式为y= mx+ n3wi= 0:解得:直线 BQ: y=( t - 1) x+3t - 3当 x=- 1 时，yN =- t+1+3t- 3 = 2t - 2 DN = 0 -( 2t- 2)=- 2t+2,. DM + DN = 2t+6+ (- 2t+2)= 8,为定值.9. (2019年盐城中考第27题14分)如图所示，二次函数 y= k (x- 1) 2+2的图象与一次函数 y= kx -k+2的图象交于A、B两点，点B在点A的右侧，

28、直线AB分别与x、y轴交于C、D两点，其中k v 0.(1) 求A、B两点的横坐标；(2) 若OAB是以0A为腰的等腰三角形，求 k的值；(3) 二次函数图象的对称轴与x轴交于点E,是否存在实数k,使得/ ODC = 2/ BEC，若存在，求【解析】解：(1)将二次函数与一次函数联立得：k ( x- 1) 2+2 = kx - k+2 ,解得：x= 1或2,故点A、B的坐标分别为(1, 2)、( 2, k+2);(2) OA = *乩当 OA= AB 时，即：1 + k2= 5，解得：k=±2(舍去 2);当OA= OB时，4+ ( k+2) 2= 5,解得：k=- 1或-3;故k的

29、值为：-1或-2或-3;图中：点 A (1, 2)、点 B (2, k+2)，贝U AH =- k, HB = 1 ,设：HM = m= MN，贝U BM= 1 - m,贝U AN = AH =- k, AB =戲淘令 t, NB = AB - AN ,由勾股定理得： MB2= NB2+MN2,即：(1 - m) 2= m2+ (.严亠+k) 2,解得：m=- k2- k声匸丄在 AAHM 中，tan 尸一 =k+= tan/ BEC = = k+2 ,juh一SrSJf解得：kF痢i （舍去正值），故 k= 磁.10. （2019年镇江中考第27题10分）如图，二次函数 y=- x2+4x+

30、5图象的顶点为 D，对称轴是直 线1, 一次函数y = =x+1的图象与x轴交于点A，且与直线DA关于I的对称直线交于点 B.（1）点D的坐标是;（2）直线I与直线AB交于点C, N是线段DC上一点（不与点D、C重合），点N的纵坐标为n.过 点N作直线与线段 DA、DB分别交于点P、Q,使得ADPQ与ADAB相似.当门=一时，求DP的长;n的取值范围(2)对称轴x=2 , C (2,)，由已知可求A (-, 0),点A关于x=2对称点为（匚，0），贝U AD关于x=2对称的直线为y=-2x+13. B (5, 3),当 n=时，N (2, ), DA= , DN= , CD=,当 PQ / A

31、B 时，ADPQDAB ,/ DAC s dpnDP= 弟Dd SJE込?当PQ与AB不平行时， ADPQ s DBA , , DP= ;综上所述，DP去爲或DP=蒸DJ2 'i2>当 PQ/ AB, DB=DP 时， DB=3*5,二 =, DN=DA uCS' N (2, ),有且只有一个 ADPQ与ADAB相似时，v nv ;s$百故答案为二vnv二Js11. (2019年常州中考第27题10分)如图，二次函数 y=-x2+bx+3的图象与x轴交于点A、B,与 y轴交于点C,点A的坐标为(-1 , 0),点D为OC的中点，点P在抛物线上.(1) b = _;(2)

32、若点P在第一象限，过点 P作PH丄x轴，垂足为H , PH与BC、BD分别交于点 M、N.是否 存在这样的点P,使得PM = MN= NH ?若存在，求出点 P的坐标；若不存在，请说明理由；(3) 若点P的横坐标小于3,过点P作PQ丄BD，垂足为Q,直线PQ与x轴交于点R,且Szpqb【解析】解：(1厂二次函数y=- x2+bx+3的图象与x轴交于点A (- 1, 0) - 1 - b+3 =0,解得：b= 2故答案为：2.(2)存在满足条件呢的点P,使得PM = MN = NH.二次函数解析式为 y=- x2+2x+3，当 x= 0 时 y= 3,二 C (0, 3)当 y= O 时，-x2

33、+2x+3 = 0,解得：x1 =- 1, X2= 3; A (- 1, 0) , B (3, 0),.直线 BC 的解析式为 y=- x+3.点D为0C的中点， D ( 0,)直线BD的解析式为y=-点+ ,H (t, 0)设 P (t, - t2+2t+3)( Ov tv 3),贝y M (t, - t+3), N (t,t+ ) PM =- t2+2t+3-( - t+3)=- t2+3t,MN =- t+3 -( - x+ )=- 1+ , NH = 1+ , MN = NHI PM = MN , - t2+3t =专t+，解得：ti=牙,t2= 3 (舍去)， P （，） ， P 的

34、坐标为（一，），使得 PM = MN = NH .（3）过点P作PF丄x轴于F，交直线 BD于E/ OB = 3, OD = = ,Z BOD = 90° cos/ OBD = PQ丄BD于点Q, PF丄x轴于点F / PQE = / BQR=/ PFR= 90°cos/ OBD = / PRF + / OBD = / PRF+ / EPQ = 90° / EPQ = / OBD，即 cos/ EPQ =2 G 在 RtAPQE 中，cos/ EPQ=,PQ =PE在 RtPFR 中，cos/ RPF =:-,' Sapqb = 2Saqrb, Spqb=

35、 BQ?DQ, Saqrb= BQ?QR PQ = 2QR设直线BD与抛物线交于点Gt - -: v+ =- x2+2x+3，解得：xi = 3 (即点 B 横坐标)，X2=- 点G横坐标为-,设 P (t，- t2+2t+3)(tv 3)，则 E (t,- t+ ) PF =|-t2+2t+3|, PE = |-t2+2t+3-(-t+ ) |= |-t2+ t+ |,若- v tv 3，则点P在直线BD上方，如图2,22 占 J PF =- t2+2t+3 , PE=- t2+ t+ ,/ PQ = 2QR, PQ = PR，J6PE=5PF 6 (- t2+ t+ )= 5 (- t2+

36、2t+3)解得：ti = 2, t2= 3 (舍去) P (2, 3) 若-1v t<-=，则点P在x轴上方、直线 BD下方，如图3,此时，PQV QR,即卩Spqb= 2Saqrb不成立. 若t V- 1，则点P在X轴下方，如图4,/22Jz 22J PF =-( - t2+2t+3)= t2- 2t - 3, PE=-=rt+ -( - t2+2t+3) = t2 - t-/ PQ = 2QR PQ = 2PR解得：ti= , t2= 3 （舍去） P （-，-） 综上所述，点P坐标为（2, 3）或（-三，_=）苏州市5年中考真题高频考点二次函数综合探究. . 21. （2019年苏

37、州中考第28题10分）如图，抛物线 y x （a 1）x a与x轴交于A、B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C,已知 ABC的面积为6.（1）求a的值；（2）求ABC外接圆圆心的坐标；（3）如图，P是抛物线上一点，点 Q为射线CA上一点，且P、Q两点均在第三象限内， Q、A是位于直线BP同侧的不同两点，若点P到x轴的距离为d, QPB的面积为2d，且 PAQ AQB，求点Q的坐标.（图）（图）【解析】（1）解：由题意得y所以 A（a,O）, B 1,0 ,C 0, a , a 3 ,x 1 x a，由图知：av 0,1 、SABC 1 a a =6 , a3或 a 4(舍),2(2)由

38、(1 )得 A(-3,0), B 1,0 ,C 0,3 ,直线AC得解析式为:3 3AC中点坐标为 AC的垂直平分线为:又 AB的垂直平分线为:ABC外接圆圆心的坐标-1 ,1).由题意得:PD=d,（3）解：过点P做PD丄x轴,1-S abp PD AB =2d,2/ QPB的面积为2d ,S abp S bpq , 即A、D两点到PB得距离相等, AQ/ PB ,设PB直线解析式为；y x b过点B(1,0) , y x 1 ,y x1r小 x4x 1人.j 2勿得A舍)y x2x3y 5y 0所以 P(-4,-5),由题意及PAQAQB，易得:ABQB QPA , BQ=AP= . 26

39、 ,设 Q ( m,-1) (m<0)2- 1 m1226 , m 4 , Q 4,12. (2018年苏州中考第25题8分)如图，已知抛物线y X24与x轴交于点A , B(点A位于点B的左侧)，C为顶点直线y x m经过点A，与y轴交于点D .(1) 求线段AD的长；(2) 平移该抛物线得到一条新抛物线，设新抛物线的顶点为 C'.若新抛物线经过点 D，并且新抛物线的顶点和原抛物线的顶点的连线CC'平行于直线 AD，求新抛物线对应的函数表达式【解析】解：(1 )由 x2-4=0 得，X1=-2, x2=2,点A位于点B的左侧， A (-2, 0),直线 y=x+m 经过

40、点 A, -2+m=0,解得,m=2,点D的坐标为(0, 2), AD=.iU 亠=2;(2)设新抛物线对应的函数表达式为：y=x2+bx+2, y=x2+ bx+2= (x+ ) 2+2-, 则点C'的坐标为(-二，2),34/ CC平行于直线 AD，且经过C ( 0, -4),直线CC的解析式为：y=x-4,并 hr- 2-=- -4，解得，bi=-4, b2=6,新抛物线对应的函数表达式为：y=x2-4x+2或y=x2+6x+2.23. ( 2017年苏州中考第28题10分)如图，二次函数y x bx c的图像与x轴交于 、 两点， 与y轴交于点C ,C 点D在函数图像上，CD/

41、X轴，且CD 2，直线l是抛物线的对称轴， 是抛物线的顶点.(1)求b、c的值；(2)如图，连接，线段C上的点F关于直线l的对称点F恰好在线段上，求点F的坐标；(3)如图，动点在线段上，过点作x轴的垂线分别与C交于点，与抛物线交于点.试冋：抛物线上是否存在点Q,使得Q与的面积相等，且线段Q的长度取小？如果存在，求出点 Q的坐标；如果不存在，说明理由.【解析】解：（1 ） CD / x轴，CD=2 ,抛物线对称轴为 x=1 . - -= 1, b = -2 ./ OB=OC, C （0, c）, B点的坐标为（-c, 0）, 0=c2+2c+c,解得c=-3或c=0 （舍去），- c= -3;设

42、点F的坐标为(0, m).对称轴为直线 x=1 ,点F关于直线I的对称点F的坐标为(2, m).由(1)可知抛物线解析式为y=x2-2x-3= (x-1) 2-4, E (1, -4),直线 BE 经过点 B(3，0)，E( 1，-4),利用待定系数法可得直线BE的表达式为y=2x-6.点F在BE上， m=2X2-6=-2，即点F的坐标为(0, -2);存在点Q满足题意设点 P坐标为(n, 0)，贝U PA=n+1 , PB=PM=3 -n,PN=-n2+2n+3.-(n+1)(3- n) = -(- n2+2n+3)?QR,. QR=1 .Jl 点Q在直线PN的左侧时，Q点的坐标为(n-1,

43、 n2-4n), R点的坐标为(n, n2-4n),N 点的坐标为(n, n2-2n-3).在 RtAQRN 中，NQ2=1+ (2n-3) 2, n=时，NQ取最小值1.此时Q点的坐标为(1 2 ,-=); 点Q在直线PN的右侧时，Q点的坐标为(n+1, n2-4).同理，NQ2=1+ (2n-1) 2, n=时，NQ取最小值1.此时Q点的坐标为(，-二).综上可知存在满足题意的点Q,其坐标为115 t15(,-)或(,-=).4. (2016年苏州中考第28题10分)如图，直线l : y 3x 3与x轴、y轴分别相交于 A、B两点，抛物线y ax2 2ax a 4(a0)经过点B.(1)

44、求该地物线的函数表 达式；(2) 已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接 AM、BM .设点M的横坐标为m , ABM的面积为S.求S与m的函数表达式，并求出 S的最大值;在的条件下，当S取得最大值时，动点 M相应的位置记为点 M . 写出点M的坐标； 将直线I绕点A按顺时针方向旋转得到直线 I，当直线I与直线AM 重合时停止旋转.在旋转过 程中，直线I与线段BM交于点C 设点B、M到直线I的距离分别为di、d2，当di d2最大时，求直线I旋转的角度（即/ BAC的度数）【解析】解：（1 ）令x=0代入y= 把 B （0, 3）代入 ynax2- 2ax+a+4-3x+3

45、, y=3 , B (0, 3),，3= a+4，a= 1,二次函数解析式为：y= - x2+2x+3 ；（2）令 y=0 代入 y=- x2+2x+3,. 0= - x2+2x+3 , x= - 1 或 3,抛物线与x轴的交点横坐标为-1和3,v M在抛物线上，且在第一象限内, Ov mv 3，令 y=O 代入 y= - 3x+3, x=1, A 的坐标为(1, 0),由题意知：M的坐标为(m,- m2+2m+3),S=S 四边形 oamb - Saaob=Saobm +Soam Saaobi2o二a!5 o ZE=：x mx 3+x 1( m2+2m+3)-TX 1 人3= -"

46、 (m -) 2+；当m=3时，S取得最大值g（3）由（2）可知：M的坐标为（，）；过点M作直线I1 / I，'过点B作BF丄11于点F ,根据题意知：d什d2=BF，此时只要求出 BF的最大值即可,/ BFM =90°，点F在以BM为直径的圆上，设直线AM与该圆相交于点 H ,点C在线段BM上， F在优弧二二上，当F与M重合时，BF可取得最大值，此时 BM丄li, A (1 , 0), B ( 0, 3), M (,),由勾股定理可求得：AB= , M B=,M A ,过点M作M G丄AB于点G,设BG=x，由勾股定理可得：M B- BG5. (2015年苏州中考第27题1

47、0分)如图，已知二次函数y x 1 m x m (其中0v mv 1)的图像与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C,对称轴为直线I .设P为对 称轴I上的点，连接 PA、PC, PA=PC.(1) / ABC的度数为°(2) 求P点坐标(用含 m的代数式表示)；(3) 在坐标轴上是否存在点Q (与原点O不重合)，使得以 Q、B、C为顶点的三角形与 APAC相似，且线段PQ的长度最小？如果存在，求出所有满足条件的点Q的坐标；如果不存在，请说明理由.=M' A2-AG2,- -（- X）2= - x2, x= -x ,cos/ M'ssBG=li/l ,

48、 / BCA=90 ° / BAC=45【解析】解：（1） 45.理由如下：令x=0,则y=-m, C点坐标为（0, -m）.令 y=0,则 x2 1 m x m 0，解得 x11 , x2 m. 0v mv 1，点A在点B的左侧，B 点坐标为（m，0）. OB=OC=m./ BOC = 90°BOC 是等腰直角三角形，/ OBC= 45°（2）解法一：如图，作 PD丄y轴，垂足为D，设I与x轴交于点E,由题意得，抛物线的对称轴为1 mx2设点P坐标为（一m , n）.2/ FA= PC,. PA2= PC2, 即卩 AE2+ PE2=CD2+ PD2.n2解得n

49、 1一m P点的坐标为2解法二：连接PB.由题意得，抛物线的对称轴为x/ P在对称轴I上， PA=PB ./ PA=PC , PB=PC .BOC是等腰直角三角形，且 OB=OC, P在BC的垂直平分线yx上.1 m P点即为对称轴x 丄巴与直线y x的交点.2 P点的坐标为1 m 1 m2 , 2 .图（3）解法一：存在点 Q满足题意.T P点的坐标为 PA2+ pc2=ae2+ PE2+CD2+ PD221 m 12 m2m22 AC2=1 m , pa2+ PC2=AC2./ APC= 90° PAC是等腰直角三角形.以Q、B、C为顶点的三角形与 APAC相似， QBC是等腰直

50、角三角形.由题意知满足条件的点 Q的坐标为（-m, 0）或（0, m）如图，当Q点的坐标为（-m, 0）时，若PQ与x轴垂直，则mm，解得m - , PQ=-.2 33若PQ与x轴不垂直，2Q E2PE2Q p 贝2m2122 - 5m5 - 21 - 2m22m5 - 2 m m21 Ov mv 1 ,当m 2时，PQ2取得最小值 -,PQ取得最小值 二051010.10,1- v 一 ,10 32当m ，艮卩Q点的坐标为(2 , 0)时，PQ的长度最小55如图，当Q点的坐标为（0, m)时，若PQ 与 y轴垂直，则1 mm，解得m11 PQ= .233若PQ与y轴不垂直,21 m21 mm

51、5 2m12m25 m2221222510贝U PQ2 PD2 DQ2 Ov mv 1 ,当m -时，PQ2取得最小值 丄，PQ取得最小值51010.10 v 1v ,103当m -，即Q点的坐标为（0,-）时，PQ的长度最小.55综上：当Q点坐标为（2 , 0）或（0, 2 ）时，PQ的长度最小.55解法二：如图，由（2）知P为ABC的外接圆的圆心./ APC 与/ ABC 对应同一条弧 AC，且/ ABC = 45 °教学主管签字:/ APC = 2/ ABC= 90°年月日一73 2 2运_1. （2019年苏州工业园区一模第 26题10分）如图，已知抛物线y xx与x轴相交于O、33A两点，B为顶点，点C是第二象限内抛物线上一点，且AOC 120 .（1）求点C的坐标；（2）向下平移该抛物线得到一条新抛物线，设新抛物线与x轴相交于点O'、A'（点A'在点O'的右侧）.问:是否存在以点 A'、A、B为顶点且与 OBC相似的三角形？若存在，求出新抛物线对应的函数表达式；若不存在，请说明理由【解析】解：(1 )令y=0,则x=2,则函数对称轴为x=1，故点A (2,0 )、B