【数学】专题五第2讲概率及其与统计的交汇问题(文)

1、专题五概率与统计第2讲概率及其与统计的交汇问题 考向预测1 .以选择题、埴空题的形式考查古典概型、几何概型的基本应用，同时渗透互斥事件、对立事件;2 .概率常与统计知识结合在一起命题，主要以解答题形式呈现，中档难度.知识与技巧的梳理 I 1 .古典概型的概率(1)公式 P(A)=A中所含的基本事件数 一基本事件总数(2)古典概型的两个特点：所有可能出现的基本事件只有有限个；每个基本事件出现的可能性相等.2 .几何概型的概率小明一构成事件A的区域长度(而积或体积)(1*6)一试验的全部结果所构成的区域长度(面枳或体枳),(2)几何概型应满足两个条件：试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个

2、：每个基本事件出现的可 能性相等.3 .概率的性质及互斥事件的概率(1)概率的取值范围：OWP(A)W1.必然事件的概率：P(A)= 1.(3)不可能事件的概率：P(A)=O.(4)若 A, 8 互斥，则尸(AU8)=P(A)+P(8),特别地 P(A)+P(I)= 1 .热点一古典概型的概率【例1】(2019湘潭一模)在一次53. 5公里的自行车个人赛中，25名参赛手的成绩(单位：分钟)的茎叶图 如图所示，现将参赛选手按成绩由好到差编为25号，再用系统抽样方法从中选取5人.已知选手甲的成绩 为85分钟，若甲被选取，则被选取的其余4名选手的成绩的平均数为()0123s0 2 3 43 5 S

3、7 900 5 67A . 97B . 96C . 95D . 98解将参赛选手按成绩由好到差分为5组，则第一组(80,81,82,83,85),第二组(86,86,86,86,88),第三组(89,90,92,93,94),第四组(95,95,95,97,99),第五组(100,100,105,106,107).甲的编号为第一组的第 5 个，则其余4名选手的成绩分别为88, 94, 99, 107,这4个成绩的平均数为97,故选A.探究提高1.求古典概型的概率的关键是正确列举出宓本事件的总数和待求事件包含的基本事件数.2.两点注意：(1)对于较复杂的题目，列出事件数时要正确分类，分类时应不重

4、不漏.(2)当直接求解有困难时，可考虑求其对立事件的概率.【训练1】(2017昆明诊断)某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取40名学生的 测试成绩，整理数据并按分数段40, 50), 50, 60), |60, 70), 70, 80), 80, 90), 90, 100进行分组,假 设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得到体育成绩的折线图(如下).体育成绩大于或等于70分的学生常被称为“体育良好”.已知该校高一年级有1000名学生，试估计该校 高一年级中“体育良好”的学生人数；(2)为分析学生平时的体育活动情况，现从体育成绩在60, 70)和80, 90)

5、的样本学生中随机抽取2人，求在抽 取的2名学生中，至少有1人体育成绩在60, 70)的概率.解(1)由折线图，知样本中体育成绩大于或等于70分的学生有14+3+13 = 30(人).30所以该校高一年级中，“体育良好”的学生人数大约有1 000X而=750(人).设“至少有1人体育成绩在60, 70)”为事件M,记体育成绩在60, 70)的数据为4, A2,体育成绩在80, 90)的数据为9，B”则从这两组数据中随机抽 取2个,所有可能的结果有10种，即(4,42), (Ai, Bi), (Ai, B» (Ai, &),(小，B。,，&)，&), (S, 4)

6、,，&)，(%, By).而事件 M 的结果有 7 种，即(4, 4), (A】，Bi), (Ai, &), (4, &),如,Bi), (A2, &),(小，Bi). 7因此事件M的概率2团=m.热点二概率与统计的综合问题【例2】(2018.湘潭一模)近期中央电视台播出的中国诗词大会火遍全国，下而是组委会在选拔赛时随机 抽取的100名选手的成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下所示.题号分组频数频率第1组160,165)0. 100第2组165,170)第3组170,175)20第4组175,180)200. 200第5组180,185100. 100第6组1

7、60,1851001. 00(1)请先求出频率分布表中、位置的相应数据，再完成如下的频率分布直方图:”中/加鹿0.08 0.07 Q06 W OXM QO3 0.020加01M165 170 17$ 180 185(2)组委会决定在5名(其中第3组2名，第4组2名，第5组1名)选手中随机抽取2名选手接受4考官 进行而试，求第4组至少有1名选手被考官力面试的概率.解(1)第1组的频数为人100 X0. 100 = 10,所以处应填的数为100-(10 + 20 + 20 + 10) = 40, 从而第2组的频数为券=0. 400,因此处应填的数为1一(0.1 + 0. 4+ 0. 2 + 0.

8、1) = 0. 200. 频率分布直方图如图所示，0JKICKI 1(0 17U 17 IM) IIO 质地(2)设第3组的2名选手为之,乙，第4组的2名选手为名,4,第5组的1名选手为C则从这5名选手中 抽取 2 名选手的所有情况为（4,&）,（/1，81）,（4,82）,（/1，。1）,（阳81）,（42,%）,，0）,（比,%）, （%，（%，共 10 种，其中第4组的2名选手中至少有1名选手人选的有（41，81）,（勺,），（色，4），（&，），® B2）, （Bp CJ, （B2, G）, 共7种，所以第4组至少有1名选手被考官力面试的概率为套.探究提高1.

9、概率与统计的综合题一般是先给出样本数据或样本数据的分布等，在解题中首先要处理好数据， 如数据的个数、数据的分布规律等，即把数据分析清卷，然后再根据题目要求进行相关计算.2.在求解该类问题要注意两点：（1）明确频率与概率的关系，频率可近似替代概率.（2）此类问题中的概率模型多是古典概型，在求解时，要明确基本事件的构成.【训练2】（2017.成都诊断）某省2017年高中数学学业水平测试的原始成绩采用百分制，发布成绩使用等级制.各 等级划分标准为：85分及以上，记为A等；分数在70, 85）内，记为8等：分数在60, 70）内，记为C等；60 分以下，记为。等.同时认定A, 8,。等为合格，。等为不

10、合格.已知甲、乙两所学校学生的原始成绩均分 布在50, 100内，为了比较两校学生的成绩，分别抽取50名学生的原始成绩作为样本进行统计.按照50, 60）, 60, 70）, 70, 80）, 80, 90）, 90, 100的分组作出甲校样本的频率分布直方图如图1所示，乙校的样本中 等级为C,。的所有数据的茎叶图如图2所示.求图中x的值，并根据样本数据比较甲、乙两校的合格率：（2）在乙校的样本中，从成绩等级为C,。的学生中随机抽取2名学生进行调研，求抽出的2名学生中至少有1 名学生成绩等级为。的概率.解（1）由题意，可知 10x+0. 012X10+0. 056X10+0. 018X10+0

11、. 010X10=1, ：.x=0. 004,.甲学校的合格率为（1-10 X 0 . 004）X100%=。. 96X100%=96%.，乙学校的合格率为（1 一专卜100%=0. 96X100%=96%.甲、乙两校的合格率均为96%.（2）由题意，将乙校的样本中成绩等级为C的4名学生记为Cu G, C3, &,成绩等级为D的2名学生记为 。,£）2»则随机抽取 2 名学生的基本事件有G，C2）, C, G，（G，CG，G，5，（G，。2，C2, Q, g， Ca, Cl, D1, C2, D2, C3, C4, C3, D1, C3, D1, C4, O“，C4

12、, D2, Di, D2,共 15 个基 本事件.其中“至少有1名学生成绩等级为ZT包含G,其, G, Di, C2, Di, Ci, Di, C3,其, C3, 6,窥限时训练一（45分钟）0经典常规题1. （2018全国HI卷）若某群体中的成员只用现金支付的概率为0. 45,既用现金支付也用非现金支付的概率为 0. 15,则不用现金支付的概率为（）A. 0. 3B. 0. 4C. 0. 6D. 0. 72. （2018全国II卷）从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为 （）A. 0. 6B. 0. 5C. 0. 4D. 0. 33. （2017.山东

13、卷）某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A，4, 4和3个欧洲国家当,B” 当中选择2个国家去 旅游.若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；（2）若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括人但不包括&的概率.高频易错题1. （2016.全国II卷）某险种的基本保费为（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的 保费与其上年度出险次数的关联如下:上年度出险次数0!23425保费0. 85a1. 25a1. 5a1. 15a2ci随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表:出险次数01234>5频数6050303020

14、10（1）记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”.求P（A）的估计值:(2)记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”.求P(B)的估计值;(3)求续保人本年度的平均保费的估计值.2.某市拟招商引资兴建一化工园区，新闻媒体对此进行了问卷调查，在所有参与调查的市民中，持“支持”“保 留”和“不支持”态度的人数如下表所示：支持保留不支持30岁以下90012028030岁以上(含30岁)300260140(1)在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取部分市民做进一步调研(不同态度的群体中亦按年龄分层抽 样)，已知从“保留”态度的人中抽取了 19人，则在“

15、支持”态度的群体中，年龄在30岁以上的人有多少人 被抽取:(2)在持“不支持”态度的人中，用分层抽样的方法抽取6人做进一步调研，将此6人看作一个总体，在这6 人中任意选取2人，求至少有1人在30岁以上的概率.精准预测题1.在某校举行的航天知识竞赛中，参与竞赛的文科生与理科生人数之比为1 ： 3,且成绩分布在40, 100,分数在80以上（含80）的同学获奖.按文、理科用分层抽样的方法抽取200人的成绩作为样本，得到成绩的 频率分布直方图如图所示.（1）求的值，并计算所抽取样本的平均值x（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）:（2）填写下面的2X2列联表，并判断能否有超过95%的把握认为“获

16、奖与学生的文、理科有关”？文科生理科生合计获奖5不获奖合计200附表及公式: (ad-be) 2(a+)(c+J) (4+c) (b+d)0. 150. 100. 050. 0250. 0100. 0050. 001ko2. 0722. 7063. 8415. 0246. 6357. 87910. 8282.（2019.肇庆一模）下图是某市2001年至2017年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的条形缸（1）若从2011年到2015年的五年中，任意选取两年，则这两年的投资额的平均数不少于140亿元的概率：<2）为了预测该市2019年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归

17、模型.根据2001年至 2017年的数据（时间变量t的值依次为1,2,，17）建立模型：夕=-30. 4 + 13. 5t：根据2011年至2017年的 数据（时间变量t的值依次为1,2,，7）建立模型：y= 99 + 17. St.分别利用这两个模型，求该地区2019年的环境基础设施投资额的预测值；（ii）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由.参考答案经典常规题1 .【解题思路】由公式P(AUB) = P(A) + P(B) + P(AB)计算可得，【答案】设设事件A为只用现金支付，事件B为只用非现金支付，则P(A U B) = P(A)+ P(B) + P(AB),因为P(A)

18、= O. 45,P(AB)= 0. 15,所以P(B) = 0. 4,故选 B.2 .【解题思路】分别求出事件“2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务''的总可能及事件“选中的2 人都是女同学”的总可能，代入概率公式可求得概率.【答案】设2名男同学为力,42, 3名女同学为名,4，%，从以上5名同学中任选2人总共有力遇2,481,482,8182,8183,8283共1。种可能，选中的2人都是女同学的情况共有无为，/%,%共三种可能则选中的2人都是女同学的概率为P=捺=0. 3,故选D.3 .【解题思路】(1)列举从6个国家中任选两个国家的所有可能结果，并找出这2个国家都

19、是亚洲国家的基本 事件；(2)列举从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个的所有可能结果，并找出这2个国家包括4但不包括当 的基本事件，这两间考察的都是古典概型.【答案】解(1)由题意知，从6个国家中任选两个国家，其一切可能的结果组成的基本事件有：4,42), 4, 4, 4, 8, 4, &, Ai, &,52,43, 42,明, Az, &), Az, &, A3, Bi, 入，&, A3, &，&, &,&, B3f Blt &,共 15 个.所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有：A, Ai, Ai, A

20、3, A2, A3,共3个.3 1则所求事件的概率为尸=去=玄. A J J(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个，其一切可能的结果组成的基本事件有：A, Bi9 A1,&, A1，By9 A2, 8, 42, &, 42,9 A3，5i，A3, &，A3, 83,共 9 个.2 包括4但不包括当的事件所包含的基本事件有4，历), A，4，共2个，则所求事件的概率为尸=g.高频易错题1 .【解题思路】(1)计算事件A的频率，以频率估计尸(A)；(2)计算事件8的频率，以频率估计尸(B)；(3)计算保费的平均值.【答案】解(1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2,由所

21、给数据知，一年内出险次数小于2的频率 为=0. 55,故P(A)的估计值为0. 55.(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4,由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的 频率为3,故产的估计值为03.(3)由所给数据得:保费0.85a1. 25a1. 5a1. 75la频率0.300. 250. 150. 150. 100. 05调查的200名续保人的平均保费为：0. 85X0. 30+“X0. 25+1. 25</X0. 15+1. 5aX0. 15+1. 15aX0. 10+2“X0. 05 = 1. 192 5a.因此，续保人本年度平均保费的估计值为1. 192 5

22、”.2 .【解题思路】(1)分层抽样是按比例抽取，根据比例值相等列式；(2)列举在这6人中任意选取2人的所有可 能结果，并找出至少有1人在30岁以上的基本事件.【答案】解(1)设在''支持"的群体中抽取个人，其中年龄在30岁以上的人被抽取x人，4120+260 900+300，曰 “ nil 3001IQ ,长于 =60,则 X 2oon =4n ="人.所以在“支持”的群体中，年龄在30岁以上的人有15人被抽取.(2)设所选的人中，有？人年龄在30岁以下，则，、=：=>，1=4.ZoU-r 14U j O即从30岁以下抽取4人，30岁以上(含30岁)

23、抽取2人，分别记作4, A2,小，4, S，电,则从中任取2人 的所有基本事件为(4, A?), (Ai, A3), (Ai, 4), (4, Bi), (4, &), (4, A3), (A2, 4),Bi), (Ai, &), ，4),(4，&),入，&),入，丛)，(4, &)，(&，&)，共 15 个.其中至少有1人在30岁以上的基本事件有9个，分别是(4，&), (A, &),(4, BJ, (A2,)，(&，Bi), (A3, &), (4, &), (A4, B», (Bi,

24、 Bi).9 3所以在这6人中任意选取2人，至少有1人在30岁以上的概率为市=不 1 J J用精准预测题1 .【解题思路】(1)根据频率和为1计算小 再计算其平均值；(2)完成2*2列联表，并计算烂，对比表格中数 据确定结果.【答案】解 (l)n=l-(0. 01+0. 015+0. 03+0. 015+0, 005)X1010=0. 025, x =45X0. 1+55X0. 15+65X0. 25+75X0. 3 + 85X0. 15 + 95X0. 05=69.文科生人数为2OOX：=5O,获奖学生人数为200X(0. 015+0. 005)X10=40,故2X2列联表如下:文科生理科生

25、合计获奖53540不获奖45115160合计50150200Bin s 200X (5X115-35X45) 2 25 .，厂个 因为k=40X160X50X150 不167>3 841 所以有超过95%的把握认为“获奖与学生的文、理科有关”.2.【解题思路】(1)现将5年投资额中抽取两年的基本事件列举出来，然后计算出符合“两年的投资额的平均 数不少于140亿元”事件的个数，由此求得所求的概率.(2) (i)将t = 19" = 9分别代入两个回归直线方程， 计算出相应的预测值.(ii)根据散点图的变化趋势进行分析，可得利用模型得到的预测值更可靠.根据(i) 中的预测值值进行分析，也可以得出利用模型得到的预测值更可靠.【答案】(1)从条形图中可知，2011年到2015年这五年的投资额分别为122亿、129亿、148亿、171亿、184亿，设2011年到2015年这五年的年份分别用a,表示，则从中任意选取两年的所有基本事件有：(a, b), (a, c), (a, d), (a, e), (b, c), (b, d), (b, e), (c, d), (c,