质点运动学典型例题1[原创][全套]

1、过山车驶过竖直圆轨道一列长为L的过山车由许多节车厢组成，以某一速度在水平轨道上行驶,然后进入半径为R的在竖直平面内的轨道。已知R比车厢的尺寸大很多，且。求：过山车在水平轨道上的速度应满足条件，才能使过山车安全的驶过竖直圆轨道。不计车与轨道间的摩擦。解：由于不考虑摩擦，则整车运动中机械能守恒。列车进入竖直面内的圆轨道时，有部分车厢的位置升高，整车的重力势能逐渐增加，则车的动能将随之减少，车速也随之减小。设列车单位长度的质量为l，当整个圆轨道上都分布有列车车厢时，这部分车厢较在水平轨道上时增加的重力势能为，此时列车的速度达到最小值，设其为V，则由机械能守恒定律，有 （1）列车的安全行驶应不脱离竖直

2、圆轨道，在竖直圆轨道内，列车最容易脱离轨道的是处于轨道最高点处的车厢。为研究列车在最高点处的运动情况，需分析处于最高点处列车的受力情况，位于最高点处的车厢与车厢之间有张力作用。为求这一张力，不妨如图二假想将运行中的列车断开，则断开后右部的车厢受到左部车厢的拉力T。又设在此拉力T作用下，右部车厢发生了一极小的位移，则此过程中拉力T对右部车厢做功，以这一做功过程的前后两状态比较，相当于将整列车尾长的一段移至圆轨道的最高点处，其重力势能增加了，而列车的速度不变，则其动能不变，可见上述重力势能的增加是由于拉力T做功的结果，乃有即 （2）只要车厢与轨道处于接触状态，轨道对车厢就有反作用力。轨道最高点对车

3、的反作用力最小，在临界状态下，这一反作用力为零。此时处于这一位置的车厢仅受重力和两侧车厢拉力作用，而这几个力的合力则提供车厢作圆周运动的向心力。现就这一节车厢的运动情况来进行研究，设有一节长为L（则其质量为）的车厢处于轨道最高点，如图三，令其所对的轨道圆心角为a，则它两端所受张力T分别与水平方向的夹角为，由于a很小，则此两张力的合力应为又由图中可见应有，故得到 （3）此时车厢在作圆周运动，由圆周运动向心力的公式，应有，以代入上式，即得 （4）联立（1）（2）（3）（4），可得即列车初速度应不小于，才能保证其安全地通过圆轨道。求解三球系统的碰撞情况一例三个钢球A、B、C由轻质的长为L的硬质杆连接

4、，竖立在水平面上，如图一所示，已知三球质量为距杆处有一面竖直墙。因受微小扰动，两杆分别向两边滑动，使B球下降。致使C球与墙面发生碰撞。设C球与墙面碰撞前后其速度大小不变，且所有摩擦不计，各球的直径都比L小很多，求：B球落地瞬间三球的速度大小。解：（1）求碰撞前三球的位置视ABC三者为一系统，则AC在水平面上滑动时，只要C不与墙面相碰，则此系统不受水平外力作用，此系统质心的水平坐标不发生变化。以图二表示C球刚好要碰撞前三球的位置。以a表示此时BC杆与水平面间的夹角，则AB杆与水平面间的夹角也为a，并令BA杆上的M点与系统的质心的水平坐标相同，则应有故得， （1）由上述知M点的水平坐标应与原来三球

5、所在位置的水平坐标相同，故知此刻M点与右侧墙面的距离即为a，即M点与C球的水平距离为a，由此有即由上式，得，故有 （2）（2）求碰墙前三球的速度由于碰墙前M点的坐标不变，则在AC沿水平面滑动的过程中的任意时刻，由于图中的几何约束，C点与M点的水平距离总等于A点与M点的水平距离的倍，可见任何时刻C点的水平速度大小总为A点水平速度大小的倍。以分别表示图二中三球的速度，则有 （3）又设沿BC方向的分量为，则由于和分别为杆BC两端的速度，则此两速度沿杆方向的投影应该相等，即再设沿BA方向的分量为，同理可得注意到BA和BC两方向刚好互相垂直，故得的大小为以（2）（3）两式代入上式，得 （4）由于系统由图

6、一状态到图二状态的机械能守恒，有将（1）（2）（3）（4）代入上式，解得 （5）（3）求C球刚碰墙后三球的速度如图三所示，由于C球与墙碰撞，导致C球的速度反向而大小不变，由于杆BC对碰撞作用力的传递，使B球的速度也随之变化，这一变化的结果是：B球速度沿BC方向的分量与C球速度沿CB方向的分量相等，即 （6）由于BC杆只传递沿其杆身方向的力，故B球沿垂直于杆身方向（即BA方向）的速度不因碰撞而发生变化，A球的速度也不因碰撞而发生变化，即其仍为。故得此时B球速度沿BA方向的分量满足 （7）得，刚碰墙后B球速度的大小为 （8）（4）求B求落地时三球的速度大小碰后，三球速度都有水平向左的分量，可见此后

7、系统质心速度在水平方向的分量应该方向向左，且由于此后系统不受水平外力，则应保持不变，由上解得的三球速度，可得应该满足以（3）（5）（6）（7）代入上式，解得 （9）当B球落地时，ABC三球均在同一水平线上，它们沿水平方向的速度相等，显然，这一速度也就是系统质心速度的水平分量.而B球刚要落地时，AC两球的速度均沿水平方向（即只有水平分量），B球的速度则还有竖直分量，以表示此刻B球速度的大小。则由图三所示的状态到B球刚要落地时，系统的机械能守恒，由此有以（9）（8）（5）式代入上式，解得 （10）考虑小物体向右的倾倒如图一，长度为L的轻杆上端连着一质量为m的体积可忽略的小重物B。杆的下端被用铰链固

8、接于水平面上的A点。同时，置于同一水平面上的立方体C恰与B接触，立方体C的质量为M。今作微小扰动，使杆向右倾倒，设B与C，C与水平地面间均无摩擦，而B与C刚脱离接触的瞬间，杆与地面夹角恰为，求：B、C的质量之比。解：B、C分离前，B对C有作用力，使C沿水平方向加速,且两者相接触时，两者在水平方向上的速度总是相等。在水平方向上的加速度也总是相等。直至B、C分离瞬间，B与C在水平方向上的速度还相等，水平方向的加速度也相等，且其间应刚好无相互作用力。由于其间无相互作用力，可见此刻C的加速度为零，则B的加速度的水平分量为零。则杆对B的作用力的水平分量必为零，由于杆为轻杆，它对B如有作用力则必沿杆身方向

9、，而其水平分量要为零。故可肯定此刻杆对B的作用力为零。现以B球为研究对象，如图二，设此刻B球的速度大小为V，杆与水平面夹角以q表示（），则B此刻是仅仅受重力作用而绕A点作半径为L的圆周运动，其向心力由重力沿杆方向的分力（mgsinq）提供，由向心力的公式，有所以，并且由图二还可见此刻B的速度的水平分量为又由上述知此刻C的速度和相等，即有对于由BC组成的系统，在此过程中满足机械能守恒定律的条件，故有将以及代入上式，可以解得求解复合振子的振动周期三个质量均为m的小球，由两根原长均为,劲度系数均为K的弹簧相连，置于光滑的水平面上，试求：此系统稳定振动时的振动周期（只考虑三球在同一直线上运动的情况）。

10、解一：由于此系统在水平方向上不受外力作用，故振动中系统的质心位置不变。另外，本题的三球相同，两弹簧也相同，因而具有明显的对称性。由于有上述的两个特点，图一是一种显而易见的满足题述条件的情况，即图中B球不动，AC两球分别在B球两侧对称的振动（此时系统的质心在B球球心上）。这种情况下，C球（或A球）相当于被一个一端固定，劲度系数为K的弹簧连接，质量为m的弹簧振子，则其振动周期为此系统的稳定振动还有一种可能情况是ABC三球均参与振动（当然此时仍需保证系统的质心位置不变）。由于对称，可以假想将B球分为左、右两个质量各为的部分，其左边部分与A一起组成一个振动系统，右边部分。显然这两个振动系统有相同的结构

11、，它们分别振动时，周期相同，也可以有相同的振幅。因此，当左右两边的两个振动系统这样配合起来振动时，实际上并不需要把B球拆开，这样也形成了ABC三球同时参与整个系统的振动，其振动周期即为上述的左边部分（或右边部分）的振动周期。如图二，对于左边部分（既由半个B球和A球组成的系统），其质心位置位于，平衡时，与A相距，振动中点不动，则对于A来说，相当于弹簧的点固定，点左侧的弹簧连着A构成一个弹簧振子，而点左侧这段弹簧对应的劲度系数，则则所求振动周期可能为和解二：对于三球均发生振动的情况，也可通过演绎的方法来求解，具体解法如下：如图三，设ABC为三球各自的平衡位置，某时刻三球分别位于，对应的位移分别为，

12、以图中向右的方向为坐标正方向，则此刻ABC三球所受合外力分别为，若设，则上述三式分别变为，由于是稳定振动，则三球应有相等的振动周期，由以上三式显然应该满足即由可以解得，代入，得，所以故得此时A（BC）球振动的周期为大圆柱如何能翻过小圆柱如图一，半径分别为和的两个均匀圆柱体置于同一水平面上，在大圆柱上绕有一根细绳，通过细绳对大圆柱施以水平拉力P。设所有接触处的经摩擦因数均为m.为使在力P的作用下，大圆柱能翻过小圆柱，问：应满足何条件? 解：（1）设大圆柱能翻过小圆柱，则在图示的情况下，必是小圆柱在地面上即不滑动也不转动，而大圆柱则在小圆柱上作无滑滚动（向上）。显然，此时BC两处都必定有摩擦力作用

13、，且由于此两处都不能发生滑动，则两处的全反力与接触面法线的夹角都必小于对应的摩擦角。（2）由于A为大圆柱的最高点，C为两圆的切点，B为小圆柱的最低点，有简单的几何关系可以证明：B、C两点连线的延长线必过A点。即BCA三点共线。（3）作图三，以表示两圆柱的圆心，a表示，其余各位置标示如图。则当大圆柱刚好能离开地面滚上小圆柱时，大圆柱受到自己的重力，绳的拉力P和小圆柱对它的全反力三个力的作用，其中与P的作用线交于A点，由三力平衡的条件知的作用线必过A点。则a就是C处接触面法线（）与全反力的夹角，由摩擦角的概念知，要在C处能不发生滑动，则应不大于该处的摩擦角f，即要求，而，故得应有（4）对于小圆柱，

14、它受到自己的重力，大圆柱对它的全反力和地面对它的全反力三个力的作用。其中为前述的反作用力，其方向由C指向B，且与竖直方向的夹角为a。由小圆柱的受力平衡条件知表示和三力的矢量必组成一个封闭的三角形，如图三。由图可见，与的夹角（即B处全反力与接触面法线间的夹角）小于a。前已有，则应有，说明此时在接触面B处不会发生滑动。又由于小圆柱所受诸力汇交于一点，其合力矩为零，则小圆柱也不会发生转动。（5）综合上述知时，在拉力P作用下大圆柱可翻过小圆柱。为求得与之间的关系，在图三中，有故得，。所以，在拉力P的作用下，为使大圆柱能翻过小圆柱，静摩擦系数m应满足的条件是。考虑五球碗平衡现象四个半径均为R的光滑球，静

15、止于一个水平放置的半球形碗内，该四球球心恰在同一水平面上。现将一个相同的第五个球放在前述四球之上，而此系统仍能保持平衡，求：碗的半径为多少？解：四球平衡时，过四球心的截面图如图一所示，由于对称，四球心恰位于一边长为2R的正方形的四个顶点上，两相对球心的距离则为放上第五个球后，令其球心为C，过ABC三点做截面图如图二。由于故为等腰直角三角形。由于球是光滑的，故各球之间均只有弹力存在，显然，这些弹力方向应沿两球连心线方向。由于对称，下面四球对C球弹力的大小必定相等，以N表示这个弹力的大小。结合图二可见，这几个弹力的方向与竖直方向的夹角均为。以G表示每个球的重力，则由C球的平衡，有所以，设四球处于临

16、界平衡状态，即四球之间刚好无相互作用力，则此时A球仅受三个力的作用而平衡。此三力是：重力G，C球对A球的弹力和碗对A球的支持力。设碗面球心为D，则必沿AD连线方向，如图三所示，用a表示图中的，由于G，三力的合力为零，则表示此三力的矢量应组成一个封闭三角形如图四，由图可得解，得由因图四表示三力的矢量所组成的三角形应与图三中相似，有。以表示此时碗的半径，显然有，又由前已经解得将其分别代入上式，则上式变为解，得以上解得的为系统临界平衡时对应的碗面半径，也可以理解为碗面半径的诸多可能值中的一个临界值，当碗面半径较增大时，图三中碗面对球A的支持力的作用点将自E点向右移至新的支持点，这样，A球所受重力G和

17、弹力两力的合力对点的力矩不为零，使A球将向左侧转动，由此，四球将分开，原平衡将被破坏。反之，当碗面半径较减小时，碗面对球A的支持力的作用将自E点向左移至新的支持点，这样，A球所受重力G和弹力两力的合力对点的力矩不为零，使A球将向右侧转动，由此，下面的四球之间将出现弹力而阻止上述转动的发生，原来的平衡得以维持。显然，碗口半径太小时，其上是无法放上四球而平衡的，对应于能使四球在碗口上面平衡的碗口半径最小的情况，应为碗口边缘刚好能支于图三中的E、F两点，即此时EF两点间的距离为碗口的直径。以表示此时碗口的半径，则由图三可得而注意到此时代入前式便得故得即考虑使载有圆柱体的小车匀速运动的情况重为G的圆柱

18、位于可动的水平平面与固定的倾角为的斜面之间，如图一所示，圆柱体与水平面间的动摩擦因数和静摩擦因数均为，圆柱体与斜面间的动摩擦因数和静摩擦因数均为.为使水平面能向左匀速运动，至少要对它施以多大的力？不考虑圆柱以外的物体施于水平面的阻力。解：如图二，由于水平面向左匀速运动，圆柱有随之运动的趋势，由于受到斜面的限制，圆柱不能随水平板一起向左运动，由此圆柱受到水平板的方向向左的摩擦力的作用。在图二所示的位置时，圆柱的运动状态只可能是以下三中形式中的一种，即：（1）圆柱与水平面的接触点B处不发生滑动，即圆柱沿顺时针方向绕B点作无滑滚动，由于水平板的运动是匀速的，则此时圆柱体的转动也是匀速的；（2）圆柱与

19、斜面的接触点C处不发生滑动，而圆柱与水平面的接触点B处发生滑动，此时圆柱处于静止状态（当然圆柱也没有转动）；（3）圆柱在B点和C点处均不发生滑动，这时圆柱也是处于静止状态，且圆柱下的水平面也被“卡死”而不能发生运动。以上三种情况下，圆柱均处于平衡状态（静止或匀速转动），均可根据圆柱所受合力矩为零的条件定出斜面对圆柱体的摩擦力方向应沿斜面向下。故得这三种情况下圆柱体的受力如图二所示:其中G为圆柱体的重力，和为水平面对圆柱体的弹力和摩擦力，和为斜面对圆柱体的弹力和摩擦力。对于圆柱体，以O点为转轴时其转动平衡方程为，式中R表示圆柱的半径。可见与大小相等，以f表示之，则有 (1)对圆柱体以A点为转轴列

20、转动平衡方程，为由于AB=AC，则上式变为对圆柱体列其水平方向受力平衡的方程，为故得， （3）(1) 现就B处无相对滑动而C处有相对滑动的情况入手进行讨论，此时相当于圆柱在水平板上作沿顺时针方向的无滑滚动。以B点为转轴，圆柱能发生顺时针方向转动的条件是和对B点的合力矩应沿顺时针方向，即对B点的力矩值应大于对B点的力矩值，为即 （4）而，可见即当时，任意大小的和都可以保证（4）式的成立，这时，不管为多大，也不管对水平板施加多大的外力F，均可使圆柱在水平板上作无滑滚动。显然，为使水平板维持匀速运动的最小外力是F=0.若，则由和作用于圆柱的力矩将要求圆柱绕B点沿顺时针方向转动，显然，这是不可能的。即

21、在这种情况下，在C点处圆柱与斜面之间不可能再发生相对运动了。（2）在时，设在B点发生相对滑动，则有 （5）由（2）（3）（5）式，有，所以，令，则上式可以写为 （6）若，则为某一正值，表明上述假设在B点发生相对滑动（此时在C点处无相对滑动）是成立的。此时拉水平板匀速前进的力F与大小相等，由（3）式和（6）式，有，所以，若，由（6）式可见无意义或为负值，结合本题实际表示的是在B点不可能发生相对滑动，由前述这时在C点也不能发生相对滑动。即此时水平板已被“卡死”，不管用多大的水平力都不可能使它沿水平方向向左作匀速运动了。（3）综合上述，本题的答案为：若，则不管为何值，均有F=0;若，且，则；若，且，

22、则无论用多大的水平力均不可能使水平板向左作匀速运动。求解挡板给圆柱的最大外力 如图一，质量为m的n（n>3）个均匀圆柱体，依次搁置在倾角为的斜面上，并以铅垂设置的挡板挡住，挡板长L，其下端以铰链固定，挡板可绕其下端自由转动。圆柱体的半径为R，各圆柱体与斜面间的静摩擦因数均为而各圆柱体之间的摩擦则可忽略不计。今以水平力P作用于挡板的上端而维持此系统的平衡，试求：P的最大值为多少? 解：此系统平衡时，有两种可能的状态是：当P值较小时，挡板有逆时针转动的趋势，则圆柱1相对于挡板和斜面都有向下运动的趋势，于是挡板对圆柱有沿板面向上方向的静摩擦力作用，斜面对圆柱有沿斜面向上方向的静摩擦力作用。当P

23、值较大时，挡板有顺时针转动的趋势，则圆柱1相对于挡板和斜面都有向上运动的趋势，此时挡板对圆柱有沿板面向下方向的静摩擦力作用，斜面对圆柱有沿斜面向下方向的静摩擦力作用。在后一种可能情况中，当达到临界情况（即上述的两个静摩擦力中有一个达到最大静摩擦力或者是两个同时都达到最大静摩擦力）时，对应的P值即为维持系统平衡的P的最大值。设系统已处于上述的临界状态，现取第1圆柱为研究对象来研究：自己的重力G，挡板对它的摩擦力，弹力；斜面对它的摩擦力，弹力；第二圆柱对第1圆柱的弹力F，F的方向平行于斜面向下。其余各力的方向均如图所示。由于第一圆柱处于平衡，则它所受各力对任一转轴的合力矩都应为零，现取此圆柱的中心

24、轴线（过图中O点）为转轴，列出力矩平衡方程，即. （1）又假设转轴过图中的点，则第1圆柱对于此转轴的力矩平衡方程为即 （2由于N>3,而 （3）故得，代入前式，可见有 （4）由于A、B两处的静摩擦因数都为m，比较（1）（4）两式可见，B处的摩擦力将达到最大静摩擦力，即有 （5）又设转轴过图中的A点，则第1圆柱对此转轴的力矩平衡方程为即，所以， （6）（6）代入（2），得再以挡板为对象，其绕点转动的平衡方程是，故得，这就是维持系统平衡的水平力的最大值。注意：求最小力，如何？用频闪光照射有黑色扇形圆盘的情况 一圆盘上有一黑色的扇形，圆心角为，圆盘绕通过圆心而与平面垂直的轴转动，如图一，转数n=1500r/min.若在暗室中以每秒闪100次光照射，而每次闪光延续的时间为0.003S.问：在圆盘上将可看见什么现象？如圆盘的转速为则结果如何？解：n=1200r/min=25r/S,即圆盘转动一周需时间。由题意，圆盘每转一周经历4次闪光，故在圆盘