平面向量题型归纳总结

1、平面向量题型归纳一.向量有关概念：【任何时候写向量时都要带箭头】uuu r1. 向量的概念：既有大小又有方向的量,记作： AB或a.注意向量和数量的区别.向量常用有向线段来表示,注意 不能说向量就是有向线段 ,为什么？向量可以平移.uuu r例：A 1,2, B 4,2,贝U把向量AB按向量a= 1,3平移后得到的向量是 uuu r2. 向量的模：向量的大小或长度,记作：|AB|或|a|.3. 零向量：长度为0的向量叫零向量,记作： 0 ,注意零向量的方向是任意的；rruuu4. 单位向量：单位向量：长度为1的向量.假设e是单位向量,贝U | e| 1.与AB共线的单uuu位向量是AB ;|A

2、B|5. 相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量,相等向量有传递性；6. 平行向量也叫共线向量：方向相同或相反的非零向量 a、b叫做平行向量,记作：a/ b ,规定零向量和任何向量平行 .提醒：相等向量一定是共线向量,但共线向量不一定相等； 两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线,但两条直线平行不包含两条直线重合；r 平行向量无传递性！由于有0;uuu uur 三点A、B、C共线AB、AC共线；如图,在平行四边形 ABCD中,以下结论中正确的选项是 lunA. ABLUITCDuuuB.ABUULTADUULTBDUULTUUTUULTUULTUU

3、TC.ADABACD. ADBC0uur uuu7. 相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量.a的相反向量是一a、AB BA.rr rrrr rr rrr r r r例：以下命题：1假设 ab,那么 ab.2假设 ab,bc,那么 ac.6假设 a/b,b/c,r ruuu uuu那么a/c . 3假设AB DC ,贝U ABCD是平行四边形.4假设ABCD是平行四边形,贝Uniir uurAB DC.其中正确的选项是题型1、根本概念1 :给出以下命亨：r假设|a|= |b |,那么a=b；向量可以比拟大小；方向不相同的两个向量一定不平行;r r r r r r 一 r r r r _

4、r r右 a= b , b = c,贝U a=c；右 a/ b , b/ c,贝U a/ c其中正确的序号是2、根本概念判断正误：(2)(3)(8)O1共线向量就是在同一条直线上的向量.假设两个向量不相等,那么它们的终点不可能是同一点.与向量共线的单位向量是唯一的.uuu uumABC D是平行四边形的条件是 AB CD.四边形uur假设ABuurCD,贝U A、由于向量就是有向线段,a与b共线,r maB、C、D四点构成平行四边形.所以数轴是向量.rr rrb与c共线,那么a与c共线.(9)r mar10假设a与b不共线,那么r ra与b都不是零向量.r r(11)假设 a b |a|b|,

5、那么 a/b.(12)r|ar b|r|a、向量加减运算8.三角形法那么：uuinuuuruuur uuinuuinuuuruuurABBCAC； ABBCCDDEuuurAEuuuABuuurACuuuCB指向被减数9.平行四边形法那么：r r以a,b为临边的平行四边形的两条对角线分别为题型2.向量的加减运算uum1、化简ABuuuuuinMB) (BOuuurBC) OMuuuu2、|OA|5,|OB| 3 ,那么| AB|的最大值和最小值分别为 _uuuuurnuuuuurn3、在平行四边形ABCD 中,假设 ABADAB AD ,那么必有uuirruuu ruurnrA. AD 0B.

6、 AB 诚 AD0 C.ABCD是矩形Ouuuuuuuuu(D. ABCD是形题型3.向量的数乘运算r rr r1、计算：(1) 3(a b) 2(a b)r(2) 2(2arr5b 3c) 3( 2ar3b2c)题型4.作图法求向量的和r r1、向量a,b,如以下图,请做出向量r3a1 r r 3 r -b 和 2a -bo 2题型5.根据图形由向量求未知向量1、在 ABC中,D是BC的中点,请用向量 AB,AC表示AD ouuur2、在平行四边形ABCD中,ACr uuur ruuu uura, BD b ,求 AB和 AD.题型6.向量的坐标运算K设“=(耳以i +占=(再+如+知；心

7、=(丁|/ 一处)；如=(知/为)2,设£(中刈)占房那么商=(超-耳况-其实质是将向量的起点移到坐标原点.rrr 1 r1、 a (1, 4),b ( 3,8),那么 3a -b .r rr练习：假设物体受三个力 F1 (1,2), F2 ( 2,3), F3 ( 1, 4),那么合力的坐标为 .2、uiur PQ ( 3, 5)P(3,7),那么点Q的坐标是3、* r ,八、.r. a ( 3,4), b(5,2)r2b .2、一,_, - r A(1,2), B(3,2),向量 a(x 2,x3yuur2)与AB相等,求x,y的值.uuruuin r uuu5、O是坐标原点,A

8、(2, 1),B( 4,8),且AB 3BC 0,求OC的坐标.三.平面向量的根本定理：如果ei和e2是同一平面的两个不共线向量,那么对该平面的任一向量 a,有且只有一对实数i、2 ,使a= ie1 + 2e2o基底：任意不共线的两个向量称为一组基底.题型7.判断两个向量能否作为一组基底ir uu1、e,e2是平面的一组基底,判断以下每组向量是否能构成一组基底：irunururircuuririrunuriruu uu irA.e1 e和e eB.3e2e2和4e26e C.ei3巳和e3§D.佥和e2e练习：以下各组向量中,可以作为基底的是()(A)ei (0,0),e2(1, 2

9、)(B) e1( 1,2), &(5,7)(C) e1(3,5), e2(6,10)(D) e1(2, 知向量 e、e2不共线,实数(3x-4y)e1 + (2x-3 y)e2 =6e+3e2,那么x- y的值等于 a- 1-1-1-*1-*1-* 设 如巳是两个不共线的向量,AB 2§ke2,CBe3e2,CD2qe?,假设A、B、D三点共线,求k的值.uuuuuu 平面直角坐标系中, O为坐标原点,两点A(3,1),B(-1,3),假设点C(x, y)满足OC = aOA +,e2(；,：)_ r r ,-2、.a (3,4),能与a构成基底的是()3 44 3A.(,)

10、B.(,)5 55 5344C.( 5 5D.( 1, 3)A. 3x+2y-11=0B. (x-1)2+(y-2)2=5C. 2x-y=0D. x+2 y-5=0四.平面向量的数量积:fuuu r uurr1.两个向量的夹角：对于非零向量a , b ,作OA a,OBfb , AOB0称为向量a , b的夹角,当 =0时,a , b同向,当uur 一一.一.一,3OB,其中a,代R且对伊1 ,那么x, y所满足的关系式为时,a , b反向,=一时,a , b垂直.实数与向量的积:实数与向量a的积是一个向量,记作a,它的长度和方向规定如下:的方向相反,=0时,时,a的方向与a的方向相同,当 &

11、lt;0时,a的方向与a例1、uuir uuuAD , BE分别是r0,注意:a用.uiurABC的边BC,AC上的中线,且ADr uuna,BEr uurb,那么BC可用2r向量a,b表示为AB sAC,那么 r s例2、 ABC中,点D在BC边上,且CD 2DB , CD rrrabr r,我们把数量| a |b | coscos .规定：零向量I2 .平面向量的数量积：如果两个非零向量 a , b,它们的夹角为叫做a与b的数量积(或积或点积),记作：a?b,即a ? b =(3)(5)(a b) c a (bc)(a b) c a c b c；共r r右 a 0,a(2)假设,r(4)

12、(ar b)(6)r ,一c当且仅当r ra 0时成立;r rr ,土4 工a (b c)对任怠a,b,c向重都成立;r , r2 对任怠向重 a ,有arrrrrrr rr r1.交换律：abba,aa,a ?bb?a ；rrrr rr rr rr r rr rr r r r2 .结合律：abca bc,ab ca b c,a ?ba?b a? brrrr rr rr r r r r r r3.分配律:aaa,a ba b,a b ?c a?c b?c.个实数,不再是一个向量O题型8：有关向量数量积的判断 1:判断以下各命题正确与否：与任一向量的数量积是3.向量的运算律：0,注意数量积是m

13、( a b) = m a + m b 其中正确的序号是2、以下命题中： a (b c) abac ；a (b c) (a b) c ；(a b)2 |a|2 2|a| |b| |b |2 ；假设 a b 0,那么 a 0 或 br rr r0 ;假设a b c b,那么2 a ;r r 2 ;(a b)r2 r2 r r 2 a b ;(a b)r2r r r2a 2a b b.其中正确的是题型9、求单位向量r【与a平行的单位向量:r早】|a|r ,r1.与a (12,5)平行的单位向重是 .2.与mr r r r题型10、数量积与夹角公式：a b |a | | b| cos ；1一,(1-)

14、平行的单位向重是r ra bcos-fr-|a| |b|向量的模:m r :22(x, y),那么 | a | Jx y , aL , r|af, |arfb| 、.(a b)21、 ABC 中,| AB | 3, | AC |4 , | BC | 5 ,那么 AB BC r2、a1 r(1,-),b1 r r r u (0,),c a kb, d2r r r ua b' c与弓的夹角为W'那么k等于r r3、 |a | 3,|b |4,且a与b的夹角为60o,求(1)a b ,(2)a <ar 1 r r s(3) (a -b) b , (4) (2a2r r rb)

15、(a 3b).r r4、a, b是两个非零向量,且rb的夹角为rr5、 a (J3,1),b ( 2/3,2),求 a与 b 的夹角.6、 A(1,0), B(0,1), C(2,5),求 cos BAC.7、非零向量a,b满足ab ,b(b 2a),贝U a与b的夹角为8： ABC 中 ABC 50°,BCBA,那么BA与AC的夹角为9:r r向量a与向量b的夹角为120,假设向量c=a + b,且a ± c ,贝Ur a行的值为br r r rr r r10： |a| = 1|b|= 2, |a + b|= 2,那么b与2a - b的夹角余弦值为11：向量I a I =

16、 j2,r r rr r r rb | =2 , a和b的夹角为135,当向量a + b与 a + b的夹角为锐角时,求的取值围.题型11、求向量的模的问题如向量的模:(x,y),那么 |a | &孑r2 a|»|2,r|ar b|(a b)1、零向量a (2,1),a.b10, a b5 2,2、向量a,b满足局1,2, a b2,那么a3、向量(2,0),那么4、向量a (1,sin ),b(1,cos ),贝U a的最大值为5、设点M是线段BC的中点,点A在直线BC外, 2BC16 , AB ACAB AC,那么 AM(C) 2(D) 13b 3 ,求3a 50的值(A

17、) 8(B) 46、 设向量a , b满足a b 1及4a练习：向量a,b满足§ 2诉5ab 3求a 0和a b7、设向量a , b满足a 1,|b 2,a (a 2b),那么2a b|的值为 .、 r.8、 向量a、b满足a 1, |b| 4,贝U|a b |的最大值是 最小值是题型12、结合三角函数求向量坐标uuuuur1.是坐标原点,点 A在第二象限,|OA| 2 , xOA 150°,求OA的坐标.2.O是原点,点 A在第一象限,uur|OA|xOA 60°,求OA的坐标.x,2乂2乂；(2, 18),假设 a / b ,那么实数 xr rrr五、平行与垂

18、直知识点：a/babr r r ra b a b 0 x1x2 y1y2 0题型13:向量共线问题1、平面向量a (2,3x),平面向量b 2、 设向量a (2,1) ,b (2,3)假设向量a b与向量c (4, 7)共线,那么 *F >«3、向量a (1,1) ,b(2,x)假设a b4b 2a平行,贝U实数x的值是()A. -2 B. 0C. 1D. 24、向量 OA (k,12),OB (4,5),OC ( k,10),且 A, B, C三点共线,uinuiuiuuur练习：设 PA (k,12),PB (4,5), PC (10,k),那么 k= , A,B,C共线5

19、、a,b不共线,c ka b, d a b ,如果c / d ,那么k= , c与d的方向关系是r练习：ar (1,1)br (4, x) , ur r r a 2b, vr rr r2a b,且 u/v,贝U x=.6、向量a(1,2),b ( 2,m),且 a /b,那么2拓3b 题型14、向量的垂直问题1、 向量a (x,i),b (3,6)且a b,贝u实数x的值为2、向量a (1,n),b ( 1,n),假设2a Wb垂直,贝U a 练习：a = (1 ,2),b= (-3 ,2)假设ka+2 b与2 a-4 b垂直,数k的值3、单位向量 mOn的夹角为 一,求证：(2n g m34

20、、 a (3,1),b(1,3),c (k,2),假设(a .b,那么 k 练习：a (1,2),b(2, 3),假设向量c满足于(c a) / b , c(a炒,那么c 5、 以原点O和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB , B 90,那么点B的坐标是 r题型15、b在a上的投影为|b |cos ,它是一个 实数,但不一定大于0.12 ,贝U向量a在向量b上的投影为 1、 | a | 3 , | b | 5 ,且 a br rr r2、a 8 , e是单位向量,当它们之间的夹角为 一时,a在e方向上的投影为 3练习：a 5,4, a与b的夹角J ,贝U向量b在向量a上的投影为 3题

21、型16、三点共线问题1. A(0, 2) , B(2, 2) , C(3,4),求证：A,B, C 三点共线.unr . 2 r2.设 AB (a2r uuur5b), BCr r uuur 2a 8b,CDr r3(a b),求证：A、B、D三点共线.uuu r r uuur练习：AB a 2b, BCr r uuurr r5a 6b,CD 7a 2b ,贝U一定共线的三点是4.四个点的坐标O(0,0) , A(3,4),B( 1,2) , C(1,1),是否存在常数t ,使3.A(1, 3), B(8, 1),假设点C(2a 1,a 2)在直线AB上,求a的值.uur uuu uuurOA

22、 tOB OC 成立?5: e1, e,是平面不共线两向量, ab &ke2, CB 2e1e2, CD 3e1 e2 ,假设A, B, D三点共线,贝U k =6: 设 O是直线l外一定点,A、B、C在直线l上,且OB 3OA xOC,那么x=7：设a, b是两个不共线向量,假设a与b起点相同,te r, t=时,a, tb, 1(a + b)三向量的终点在一条直线上.8:如图,在 ABC中,点O是BC的中点,过点 O的直线分别交直线 AB AC于不同 的两点 M、N,假设AB= mAM , AC= nAN,贝U m + n的值为9:在AOAB 的边 OA, OB 上分别取点 M,

23、N,使 |OM| ： |OA|= 1 : 3, |ON| ： |Ofe|= 1 ： 4,设 , 、 . 、 一 ., 一 线段AN与BM交于点P,记OA= a, OB= b ,用a, b表示向量OP.一一 ,一 ,.一, 1 r r 1 r, 一 . 、一 rr练习：如图,在 OAB 中,OC = 4OA, OD = 2.B, AD 与 BC交于点 M,设 0A = a, OB= b.(1)用 a、b 表示 OM ； 在线段 AC上取一点E,在线段 BD上取一点F,使EF过M点,设OE= pOA, OF=,13.qOB,求证：布+有=1.六、线段的定比分点1 .定比分点的概念：设点P是直线P1

24、P2上异于P1、P2的任意一点,假设存在一个实数uuiruuu-uuunuuun,使RPPP2,贝U叫做点P分有向线段PP2所成的比,P点叫做有向线段 Pp2的以定比为的定比分点；2. 的符号与分点 P的位置之间的关系：当P点在线段 P1P2上时>0；当P点在线段Pi P2的延长线上时< 1；当P点在线段P2P1的延长线上时10；uuu3uuu例1、假设点P分AB所成的比为,那么A分BP所成的比为4uuun3.线段的定比分点公式：设 «为")、P2(x2,y2), P(x, y)分有向线段PP2所成的x比为,那么为x21*板1,特别地,当 =1时,就得到线段P1

25、 P2的中点公式yx1x22yV2.2题型17、定比分点2、假设 M (-3 , -2 ) , N(6, -1 )1且MP - MN,那么点P的坐标为33、 A(a,0), B(3,2a),直线1luiuuuuiry -ax与线段 AB交于M,且AM 2MB,那么a等于 2七、平移公式：如果点P(x,y)按向量a h,k平移至P(x,y ),贝U x x h ；曲线 y y krf (x, y) 0按向量a h,k平移得曲线f (x h, y k) 0 .注意：(1)函数按向量平移与平常 左加右减有何联系？ (2)向量平移具有坐标不变性,题型18、平移1、按向量a把(2, 3)平移到(1, 2

26、),那么按向量a把点(7,2)平移到点 2、 函数y sin2x的图象按向量 a平移后,所得函数的解析式是y cos2x 1,那么a =八、向量中一些常用的结论(1) 一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量,要注意运用;r r2 |a| |b|r r r|a b| |a|r|b|,特别地,当r rrch b同向或有0r r r r|a b| |a| |b|r r r r|a| |b| |a b|;r r _ r当a、b反向或有0r r r|a b| |a|r|b|rr rr rr|a|b| |ab|;当 a、b不共线r r r r r r|a| |b| |a b| |a| |b|这些和实数比

27、拟类似.(3 )在 ABC中,假设A Xi,yi , B X2, y2 ,C 乂3心,那么其重心的坐标为XiX2X3G 3yiy2y3而-.如31、假设刀ABC的三边的中点分别为(2, 1)、(-3 , 4)、(-1 , -1 ),那么刀ABC的重心的坐标为uuur . uni urn PG 1PA PB3ABC的重心；uuu uuu uuu uuur PA PB PB PCuuuPC) G为 ABC的重心,特别地uuur uuuPC PA P为ABC的垂心；uuu uuiu uuu rPA PB PC 0 P 为uuu uuur向量 uuu uur | AB| |AC|0)所在直线过 ABC

28、的心(是BAC的角平分线所在直线)；uur uuur uuin uuuunr uuu r|AB|PC |BC|PA |CA|PB 0P ABC的心;uiuu(3)假设P分有向线段PP2所成的比为,点M为平面的任一点,那么unrMPujuuuuuuMPMP2特1'别地P为RP2的中点unrMPuuuu uuuuMP1 MP2uur uuu uuur向量PA PB、PC中三终点A、B、C共线存在实数muuuuur使得PA PBPC且1.如2、平面直角坐标系中,O为坐标原点,两点A(3,1) , B( 1,3),假设点C满足OC 1 OA 2OB,其中1,2 R且121,那么点C的轨迹是题型

29、19、判断多边形的形状umrr uuur ruuur uuin1. 假设AB 3e , CD 5e,且|AD|BC|,那么四边形的形状是 .2. A(1,0), B(4,3) , C(2,4) , D(0,2),证实四边形 ABCD是梯形.3.A( 2,1), B(6, 3) , C(0,5),求证：ABC是直角三角形.4、在 ABC中,假设BA BA AB CB 0 ,那么 ABC的形状为A.等腰三角形5、在平面直角坐标系,B.等边三角形uuruuuOA ( 1,8), OBC.等腰直角三角形uuur(4,1),OC(1,3),求证:( )D.直角三角形ABC是等腰直角三角形.6、平面四边形

30、ABC D中,AB a, BCb, CD c , DA d ,且a b b c c d da,判断四边形 ABC D的形状.题型20:三角形四心uuv uuv uuiv v1、 ABC的三个顶点A、B、C及 ABC所在平面的一点 P,假设PA PB PC 0那么点P是ABC的()A.重心B.垂心 C.心 D.外心uur uuru uuuuiru uiruuur2.点O是三角形所在平面上一点,假设 OAOB OBOC OCOA那么.是三角形 ABC的 ( )(A) 心(B)外心(C)重心(D)垂心uuu 2 uuu2 uuur 23、点O是三角形所在平面上一点,假设OA OB OC,那么.是三角

31、形ABC的( )(A)心(B)外心(C)重心(D)垂心PA?PB PB?PCOC , NA NB NC 0 ,且练习、 O, N, P在 ABC所在平面,且 OA OBPC? PA,贝U点O, N, P依次是 入8.的()(A)重心外心垂心(C) 外心重心垂心(B) 重心外心心(D)外心重心心ULTULTULT4、在平面有 ABC和点.,假设AB (OA OB)UUU UUU ULTAC (OC OA) 0,那么点 O 是 ABC 的A.重心B.垂心C.D.夕卜心5、UUTOP点O是平面上一个定点,AUUT UUUOA (AB AC),B、C是平面不共线三点,动点P满足UUUTP 一定通过入8

32、.的()6、UUTOP7、UUTOPUUTOP(A)心点UUUOA(A)心(B)外心(C)重心(D)垂心O是平面上一个定点,AUUT UUUTAB ACI -I- I HITUM UUUI|AB| |AC|(B)外心C是平面不共线三点,动点P满足R,那么动点P 一定通过入8.的()(C)重心(D)垂心点O是平面上一个定点,A、UUUUULTABAC-UtUU+| AB | cos B | AC |cosCUUUOA(A)心O平面上UUU UULTOB OC2(B)外心-个定点,UUUABA、 B、UUUTACC是平面不共线三点,动点P满足R,那么动点P 一定通过 ABC的()(C)重心C(D)垂心是平面不共线三点,动点P满足-ttUU +