考研必备-概率论与数理统计公式大全

1、、P(AB)(12)条件概率 记为P(B / A)=。P(A)(13)乘法乘法公式：P(AB) = P(A)P(B/A)两个事件的独立性(14)独立性P(A)P(B)P(A)= P(B)设事件B1，B2,，Bn满足必全概公式1。B1,B2,，Bn两两互不相容，P(Bi)A0(i=1,2,，n),则有P(A)= P(B1)P(A| B1) P(B2)P(A| B2)P(Bn)P(A| Bn)P(Bi)P(A/Bi)(16)贝叶斯公P(Bi / A) = n ' " ' , i=1 , 2, - notP P(Bj)P(A/Bj)j 1(1力伯努利概kk n kaPn(k

2、)=CnP q , k =0,1,2,，n。(1)离散型随 机变量的分布 律O0Z pk =1(2)"。(2)连续型随机变量的分布密度设F(x)是随机变量X的分布函数，若存在非负函数 f(x),对任意实数x,有xF(x)= J8f(x)dx则称X 为连续型随机变量。 f(x)称为X的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。1 f(x)之。白汽心=12 皿。(3)离散与连续型随机变量的关系P(X = x)定 P(x < X W x + dx)定 f (x)dx积分元f(x)dx在连续型随机变量理t中所起的作用与P(X =xk) = pk在离散型随机变量理论中所 起的作用相类似。(4

3、)分布函数设X为随机变量，x是任意实数，则函数F(x) =P(X <x)称为随机变量X的分布函数，本质上是一个累积函数。P(a < X W b) = F (b) F (a)可以彳#到x落入区间(a,b的概率。分布函数F (x)表示随机变量落入区间(-"，x内的概率。分布函数具有如下性质：1° 0 < F(x) <1,_g<xc +a；2 。 F (x)是单调不减的函数，即 xi < x2时，有 F (xi) < F (x2)；3 F(_g) = lim F(x)=0, F(+9)= lim F(x) = 1；x_ocT-bc4 。

4、F(x+0) = F(x),即 F(x)是右连续的；5 P(X =x) =F(x) -F(x -0)»(5)八大分布0-1分布P(X=1)=p, P(X=0)=q一项分布P(X =k) = Pn(k)=Cnkpkq：其中X B(n,p) o q=1-p,0<p<1,k = 0,1,2,，n ,泊松 分布kP(X -k) - -e.k!八 A 0k -0,1,2记为XW)或者P。泊松分布为二项分布的极限分布(np=X , n-8)o超几 何分 布Cm CnZm k - 01,2，lCN，l = min(M ,n)H(n,N,M)。几何 分布均匀分布p(x =k)=q.,k=

5、123，,其中 pA0)q=1-p。记为 G(p)。设随机变量 X的值只落在a, b内，其密度函数即1f (x)在a , b上为常数 b - a1f (x) = b - a0，a<x< b其他，则称随机变量 X在a, b上服从均匀分布，记为 分布函数为XU(a, b) ox<a,xF (x) = J (x)dx =«a< x< b1,x>b。当avx1<x2vb时，X落在区间(x1，x2 )内的概率为P(x1 :二 X :二 x2)=指数分布x -0f (x)=其中儿A 0X的分布函数为0,:则称随机变量X服从参数为人的指数分布。F(x)=t

6、0,积分公式:x<0 。-benx e'dx = n!本分布设随机变量X的密度函数为 3 1552*f(x) J e 2仃_9<x<+g,Z2jrcr其中N、a > 0为常数，则称随机变量 X服从参数为N、a的正态分布或2、 高斯(Gauss;)分布，记为X N ( N,。)。f (x)具有如下性质：12。当x »时，f ( N)=为最大值；2<2 Jia若X N (耳,仃)x虬(X诙分布函数为F (x) =( e * dtJ2b ,o o参数» = 0、仃=1时的正态分布称为标准正态分布，记为X N (0，1)，其密 2 度函数记为1

7、X巴x)=7e 2寸 2n, oo < x < +的，分布函数为1 x 二(x) - > Je 2 dt 炎式用、X - N 如果 X N(N,。2),则N(0,1)。,'x； - 口、_ f x1P(x1 < X Mx2) =61 一I第三章1二由随机变量及其外布2连续型对于二维随机向量t=(X,Y),如果存在非负函数f (x, y)( g < x < +吗一°0 < y <+),使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域D,即D=(X,Y)a<x<b,c<y<d 有P(X,Y)D =JJf(x, y

8、)dxdy, D则称-为连续型随机向量；并称 f(x,y)为：=(X, Y)的分布密度或称为 X和丫的联合分布密度。分布密度f(x,y)具有下面两个性质：(1) f(x,y)上 0;bo -bo LoLof(x, y)dxdy =1.(2)二维随机变量的本质-(X =x,Y = y)=(X = x1Y = y)(3)联合分布函数设(X, Y)为二维随机变量，对于任意实数 x,y,二元函数F(x, y) = PX <x,Y <y称为二维随机向量(X, Y)的分布函数，或称为随机变量 X和丫的联合分布函数。分布函数是一个以全平面为其定义域， 以事件( 61,02)|<X(s1)

9、Wx,q <Y(82) < y的概率为函数值的一个实值函数。分布函数F(x,y)具有以下的基本性质：(1) 0 < F (x, y) <1;(2) F (x,y )分别对x和y是非减的,即当 x2>x 时，有 F (x2,y )上 F(xi,y);当 y2>yi 时，有 F(x,y 2) >F(x,y 1);(3) F (x,y )分别对x和y是右连续的，即F(x, y) =F(x + 0, y), F(x, y) = F(x, y + 0);(4)F ( -°o, -°o) = F ( 一* y) = F (x, 8)=0, F

10、( +r, +8) = 1.(5)对于 x1 <x2, y1 < y2,F(x2, y2) - F (x2, y1)-F(x1, y2)+F(x, y1)之 0.(5)边缘分布离散型X的边缘分布为P.= P(X=xi)=£Pj(i,j=1,2,)；Y的边缘分布为P. =p(Y=yj)=£ Pj(i, j =1,2,)。连续型X的边缘分布密度为-bafX(x) = ( f (x, y)dy;JY的边缘分布密度为fY (y)=亡1f (x,y)dx.连续型在已知Y=y的条件下，X的条件分布密度为f(x|y)= ( y)； fY(y)在已知X=x的条件下，Y的条件分布

11、密度为f(y|x)=3 fX(x)(7)独立性一般型F(X,Y)=F x(x)F Y(y)离散型Pj = Pi *P .有零不独立二维正态分布1 但"l 2%方)(y由)小 If(x, y)=le工3卜广皿9>J2国产2 V1 - P2户=0(8)二维均匀分布设随机向量(入Y)的分布密度函数为,1(x, y)亡 dSdf(x, y)=0,其他其中S为区域D的面积，则称(X, Y)服从D上的均匀分布,记为(X, Y)U (D)o(9)二维正态分布设随机向量（X, Y）的分布密度函数为1j 2 Rx_-）（y_%）/勺_- j 112（1_f2）仃）Eg Jf（x, y）-e二1,

12、2旧1仃2%；1 P2其中N1, 112 tli >0，仃2 > 0, 1 P|<1是5个参数，则称（X, Y）服从二维正态分布，22记为（X, Y）N （ N1 , N2 仃1 ,仃2 , P）.(10)函数分布Z=X+Y根据定义计算：FZ(z) =P(Z wz) = P(X +Y <z)-bo对于连z型，fz(z) = J f (x, z x)dx q22两个独立的正态分布的和仍为正态分布( 卜1+卜2,仃1 +仃2)。n个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。分布分布设n个随机变量的平方和的分布密度为我们称随机变量X1, X 2, L , X n相互独立，

13、且服从标准正态分布，可以证明它们Xi22f(u) =42勺 S'i20, 2W服从自由度为n的分布2，、，/ (n)，其中-bo 2x2 e*dx所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量分布中的一个重要参数。2-2分布满足可加性：设Y - 2(n)kZ c Yi 2(ni n2 nk).设X, Y是两个相互独立的随机变量，且X N(0,1),Y 2(n),可以证明函数的概率密度为f(t)n2 1.Y/n我们称随机变量T服从自由度为n的t分布，记为Tt(n)ti_：.(n) -t：.(n)F分布、一一 -.2， 、一一 一2，、,一 X / n1设X (n1),Y 2 (n2)

14、，且x与丫独立，可以证明F =的概Y /n2 率密度函数为n1 + n2 'ni1 4A2I 2 n "i 合niny 21y, y 0f(y) = 01 上H'niln2J< n2 j、0,y<0我们称随机变量F服从第一个自由度为 m,第二个自由度为 阵的F分布，记为Ff(ni, rt).L，、1Fiy(ni,n2)=Fa(n2,n1)第四章随机变量的数字特征(2)期望的性质(1)E(C)=C(2)E(CX)=CE(X)(3)E(X+Y)=E(X)+E(Y),nnE GXi)=£ GE(Xii =1i=1(4)E(XY)=E(X) E(Y)，充

15、分条件：X 和Y独立；充要条件：X和Y不相关。(3)方差的性质(1)D(C)=0; E(C)=CD(aX)=a2D(X); E(aX)=aE(X)D(aX+b)= a 2D(X); E(aX+b)=aE(X)+bD(X)=E(X2)-E 2(X)D(X± Y)=D(X)+D(Y),充分条件：X和Y独立；充要条件：X和丫不相关。HH维随机 变量的 数字特1二项分布B(n, p)期望方差泊松分< p(H1p(1h)几何分布G( p).np(，P)超几何分布H (n, M , N )国1匀匀分布U (a, b)1P1 - P2PD(X+ Y)=D(X)+D(Y) ± 2E(

16、X-E(X)(Y-E(Y),无条件成立 而E(X+Y)=E(X)+E(Y),无条件成立。一分布N (展J)a+b2(b-a)212指数分布1I1 rt分布N2 a期望n2n熟的期望0n(n>2)n-2(6)协 方差的 性质(7)独 立和不 相关方差n E(X)=£ XiPi.i =4 nE(Y)=£ yjP j昌-boE(X)= X xfX (x)dx a*boE(Y)= JyfY(y)dy协方差EG(X,Y) =£ £ G(Xi,yj)PijEG(X,Y) =-be -beGG(x, y) f (x, y)dxdyoO od相关系留1D(X)=&

17、#163; Xi E(X)2Pi.D(Y)= Xj -E(Y)2p<-boD(X)= Jx-E(X)2fx(x)dx-boD(Y)= y-E(Y)2fY(y)dy(i)cov (X, Y)=cov (Y, X);XX XX 仃 XYFyx °YY J(ii)cov(aX,bY)=ab cov(X,Y);(iii)cov(Xi+X,Y)=cov(X i ,Y)+cov(X 2,Y);cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).(1)大数定律Xt艮切比雪夫大数定律设随机变量 X1,线，相互独立，均具有有限方差，且被同一常数C所界：D (X)<C(i=1,2,)，则对于任意

18、的正数e ,有'111"lim P! -Z Xi L E(Xi)|<名=1. n* ijn iTn y '1J特殊情形：若X1, X2,具有相同的数学期望 E (X) =R ,则上式成为41,1)lim P ! S Xi -N < 8 1 = 1.t Qn i)设F是n次独立试验中事件 A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率,则对于任意的正数£ ,有lim Pn)：1.伯努利大数定律说明，当试验次数 n很大时，事件A发生的频率与概率有较大判别的可能性很小，即lim P“T 二二p| > 8 =0.列维-林这就以严格的数学形式描述了频

19、率的稳定性。设随机变量Xi, X,相互独立，服从同一分布，且具有相同的数学期望和方差:(2)中心极限定理惠伯格定_,-2E(Xk) ”，D(Xk)= 0(k =12 ) ,则随机变量n'、Xk -n k 4nr(3)二项定理(4)泊松定理的分布函数Fn(x)对任意白实数X,有lim Fn (x) = lim P ka n n i-.： -：t2X 一f 2 dt.此定理也称为 独立同分布 的中心极限定理。M若当n t时，p p(n, k不变)，则Nk n _kCM CN M 八 k kn 上TnaCn P (1 - P)C N超几何分布的极限分布为二项分布。若当n t8时，np t九0

20、 ,则(N r ').(n-').八 k kn -kCnP(1-P) ' k!e其中k=0, 1, 2,，n,。二项分布的极限分布为泊松分布。第六章样本及抽样分布常见统计量及其性质-1 n样本均值x=_£ xi.n乙-21-n ,一、2样本方差S(XiX).n - 1 T11n_样本标准差S= f(X (xi - x)2.n1 -样本k阶原点矩1， uMk =-2 xik,k=1,2,. n y2E(X) = N, D(X)=, n_22_2n 12E(S2)=a2, E(S*2)=a2,nF分布设x1, x2，xn为来自正态总体 Nd%2)的一个样本，而y1

21、, y2,“一，yn为来自正态总体n(n,。2)的一个样本，则样本函数def S2 /仃2F-S22F(n1-1,n2-1),S2 /。2其中dn1_4n2_S12- 1 I (X -x)2,S；- 1 Z (yi -y)2;n1 -1 yn2 -1 1F (n1 1, n2 1)表示第一自由度为n1 1,第二自由度为n2 1的f分布。(3)正态总体 下分布的性质-2X与S独立。第七章参数估计(3)区间估计置信区间和置信度设总体X含有一个待估的未知参数 日。如果我们从样本x1 ,x,2 ；“' , xn出发，找出两个统计量91 =81(x1 ,x,2，xn)与 % =82(x1, x,2，xn)。<%)，使得区间01,02以1 £(0 <0t <1)的概率包含这个待估参数 6 ,即P4 <0 <92 =1 -a,那么称区间91,日2为日的置信区间，1 一口为该区间的置