《平行四边形及其性质》知识讲解

1、优质资料欢迎下载平行四边形及其性质(提高)【学习目标】1 理解平行四边形的概念，掌握平行四边形的性质定理和判定定理2能初步运用平行四边形的性质进行推理和计算，并体会如何利用所学的三角形的知识解 决四边形的问题.3.了解平行四边形的不稳定性及其实际应用.4.掌握两个推论：“夹在两条平行线间的平行线段相等” 。“夹在两条平行线间的垂线段相 等” 【要点梳理】 知识点一、平行四边形的定义平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形平行四边形 ABCD 记作“ ABCD,读作“平行四边形 ABCD .要点诠释：平行四边形的基本元素：边、角、对角线 相邻的两边为邻边，有四对；相 对的边为对边，有两

2、对；相邻的两角为邻角，有四对；相对的角为对角，有两对；对角线有 两条.知识点二、平行四边形的性质定理平行四边形的对角相等；平行四边形的对边相等；平行四边形的对角线互相平分；要点诠释：(1)平行四边形的性质定理中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系.(2) 由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择(3) 利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形 三边的不等关系来解决.知识点三、平行线的性质定理1.两条平行线间的距离：(1) 定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条

3、直线的距离，叫做这两条平行 线间的距离.注：距离是指垂线段的长度，是正值 .2 平行线性质定理及其推论 夹在两条平行线间的平行线段相等 .平行线性质定理的推论： 夹在两条平行线间的垂线段相等 .【典型例题】类型一、平行四边形的性质ABCD 的周长为 60cm，对角线交于 O,AAOB 的周长比厶 BOC 的周长大 8cm，求 AB, BC 的长.。1、如图，平行四边形E优质资料欢迎下载AH【答案与解析】解：四边形 ABCD 是平行四边形. AB = CD AD= BC, AO= CQ/ ABCD 勺周长是 60. 2AB+ 2BC= 60,即卩 AB+ BC= 30,又 AOB 的周长比厶 B

4、OC 的周长大 8.即(AO+ OB+ AB) ( BO OO BQ = AB BC= 8, 由有AB+BC = 30二19,解得BC=U. AB BC 的长分别是 19cm和 11cm.【总结升华】根据平行四边形对角线互相平分，利用方程的思想解题.【变式】如图：在平行四边形ABCD 中, CE 是/ DCB 的平分线，F 是 AB 的中点，AB= 6, BC=4.求 AE: EF: FB 的值.【答案】解： ABCD 是平行四边形，所以 AB/ CD / ECD=ZCEBCE 为/ DCB 的角平分线，/ ECD=ZECB :丄ECB=ZCEB BC= BEV BC= 4,所以 BE= 4

5、/ AB= 6, F 为 AB 的中点，所以 BF= 3 EF= BE BF= 1, AE= AB BE= 2 AE: EF: FB= 2 : 1: 3.&2、 平行四边形 ABCD 勺对角线相交于点 Q 且 AD CD 过点 O 作 OMLAC,交 AD 于点 M, 如果 CDM的周长是 40cm,求平行四边形 ABCD 的周长.【思路点拨】 由四边形 ABCD 是平行四边形，即可得 AB=CD AD=BC OA=OC 又由 OMLAC, 根据垂直平分线的性质，即可得 AM=CM 又由厶 CDM 的周长是 40cm,即可求得平行四边形 ABCD 的周长.【答案与解析】 解：四边形 A

6、BCD 是平行四边形， AB=CD AD=BC OA=OCOMLAC, AM=CMCDM 的周长是 40 ,即：DM+CM+CD=DM+AM+CD=AD+CD=40平行四边形 ABCD 的周长为：2 (AD+CD =2X40=80 ( cm).平行四边形 ABCD 的周长为 80cm.【总结升华】此题考查了平行四边形的性质与线段垂直平分线的性质.解题的关键是注意数形结合思想的应用.优质资料欢迎下载【思路点拨】在平行四边形 ABCD 中，TAB / / ABE= / CBE，用等量代换可得/ CBE= / 平分/ BCE，因为等腰三角形三线合一，所以【答案与解析】证明：TAB/ DC / ABE

7、=/ CEB 又TBE 平分/ ABC / ABE=/ CBE / CBE=Z CEB CB=CEBCE 是等腰三角形，又 CO 平分/ BCEBCO/ ECO OB=OEDC , / ABE= / CEB , 又TBE 平分/ ABC ,CEB ,所以 ABCE 是等腰三角形，又因为 CO【变式】将一张透明的平行四边形胶片沿对角线剪开，得到图中的两张三角形胶片丿和厶 DEF 将这两张三角形胶片的顶点 B 与顶点 E 重合，把 DEF 绕点 B 顺时针方向旋转, 这时 AC 与DF 相交于点 0.(1 )当厶 DEF 旋转至如图位置，点 B (E), C, D 在同一直线上时， AF 与 CD

8、 的数量关系理由是：在DEF 中AB=DEI/ABC=DEFBF=ECABCADEF( SAS，二 BF=EC AB=DE 二 AF=CD 故答案为： AF=CD(2) 成立，理由是： ABCADEF - AB=DE BC=EF / ABC2DEF,/ABC-/ FBC=/ DEF-/ FBC,ABF=ZDECABF 和厶 DEC 中AB=DEIABF= DECBF=EC ABFADEC( SAS), -AF=CDC%、如图，在平行四边形 ABCD 中，/ ABC/ BCD 的平分线相交于点 O, BO 延长线交 CD是(2)当厶 DEF 继续旋转至如图位置时，(1)中的结论还成立吗？请说明理

9、由.【答案】解：(1) AF=CD延长线于点 E，求证：OB=OE优质资料欢迎下载【总结升华】本题考查平行四边形的性质以及等腰三角形的性质，关键是知道平行四边形对边平行以及等腰三角形的三线合一.04、如图 1，P 为 Rt ABC 所在平面内任一点(不在直线AC 上)，/ ACB=90 , M 为 AB 的中占I 八、操作：以 PA PC 为邻边作平行四边形 PADC 连接 PM 并延长到点 E,使 ME=PM 连接 DE(1 )请你猜想与线段 DE 有关的三个结论，并证明你的猜想；(2)若将“ Rt ABC 改为“任意 ABC，其他条件不变，利用图 2 操作，并写出与线段【思路点拨】(1)连

10、接 BE,证 PMAAEMB 推出 PA=BE / MPAMMEB 推出 PA/ BE.根 据平行四边形的性质得出 PA/ DC, PA=DC 推出 BE/ DC BE=DC 得出平行四边形 CDEB 即可；(2)连接 BE,证厶 PMAAEMB 推出 PA=BE / MPAMMEB 推出 PA/ BE 根据平行四边 形的性质得出 PA/ DC PA=DC 推出 BE/ DC BE=DC 得出平行四边形 CDEB 即可.【答案与解析】(1)DE/ BC, DE=BC DEL AC,证明：连接 BE/ M 为 AB 中点， AM=MB在厶 PMA EMB 中PM = ME f /PMA= EMB

11、,AM = BMPMAAEMB( SAS, PA=BE/MPA2MEB PA/ BE 四边形 PAD(是平行四边形， PA/ DC PA=DC BE/ DC BE=DC四边形 DEB(是平行四边形， DE/ BC, DE=BC/ ACB=90, BCLAC,DEI AC.(2) 解：DE/ BC DE=BC【总结升华】本题考查了平行四边形性质和判定，全等三角形的性质和判定，平行线的性质和判定的综合运用.【变式】已知：如图，在平行四边形ABCD 中 , DEIAB 于点E , DFLBC 于点 F, / DAB 的平分线交 DE 于点 M,交 DF 于点 N,交 DC 于点 P.(1 )求证：/

12、 ADENCDF(2)如果/ B=120 ,求证： DMN 是等边三角形【答案】证明：(1)v四边形 ABCD 是平行四边形，优质资料欢迎下载/DABh C, DC/ AB / DELAB 于点 E, DF 丄 BC 于点 F,/ADE=90 - / DAB / CDF=90 - / C,./ ADENCDF(2)证明：/ DAB 的平分线交 DE 于点 M,交 DF 于点 N,交 DC 于点 P,/DAP=/ BAP / DC/ AB DPAh BARDAP=/ DPA DA=DR/ADE 玄 CDF/DAP 玄 DPA DA=DRDAMADPN - DM=DN/B=120,MDN=360

13、-/DEB-/EFB-ZB=360 -90-90-120=60, DMN 是等边三角形.类型二、平行线性质定理及其推论05、如图 1,已知直线 m/ n,点 A、B 在直线 n 上，点 C、P 在直线 m 上；(1)写出图 1 中面积相等的各对三角形： _ ;(2 )如图，A、B C 为三个顶点，点 P 在直线 m 上移动到任一位置时，总有 _与厶 ABC 的面积相等；(3)如图，一个五边形ABCDE 你能否过点 E 作一条直线交 BC (或延长线)于点 M 使四边形 ABME 勺面积等于五边形 ABCDE 勺面积.【思路点拨】(1)找出图中同底等高的三角形，这些三角形的面积相等；(2)因为两

14、平行线间的距离是相等的，所以点 C P 到直线 n间的距离相等，也就是说厶 ABC 与厶 PAB 的公共边 AB 上的高相等，所以总有厶 PAB 与 ABC 的面积相等；(3) 只要作一个三角形 CEM 与三角形 CED 的面积相等即可.【答案与解析】解：(1)Tm/ n,点 C P 到直线 n 间的距离与点 A B 到直线 m 间的距离相等；又同底等高的三角形的面积相等，图中符合条件的三角形有： CAB 与 PAB BCP-与 APC ACOWBOP(2) mil n,点 C P 到直线 n 间的距离是相等的， ABC 与 PAB 的公共边 AB 上的高相等，总有 PAB 与厶 ABC 的面

15、积相等；(3) 连接 EC,过点 D 作直线 DM/ EC 交 BC 延长线于点 M,连接 EM 线段 EM 所在的直线 即为所求的直线.【总结升华】本题主要考查了三角形的面积及平行线的性质，利用平行线间的距离相等得到同底等高的三角形是解题的关键.【巩固练习】优质资料欢迎下载A. 红花，绿花种植面积一定相等B. 紫花，橙花种植面积一定相等C. 红花，蓝花种植面积一定相等D. 蓝花，黄花种植面积一定相等5.如图，0 为平行四边形 ABCD 对角线 AC BD 的交点，EF 经过点 0,且与边 AD BC 分别交于点 E、F,若 BF=DE 则图中的全等三角形最多有（）A. 8 对 B . 6 对

16、 C . 5 对 D . 4 对 6.在平行四边形 ABCD 中，点 A1 1, A2 2, As s, A4 4和 C1 1, C2 2, Cs s, C4 4分别 AB 和 CD 的五等分点，点 B1 1,B2 2和 D1 1, D2 2分别是 BC 和 DA 的三等分点，已知四边形 A4 4B2 2C4 4D2 2的面积为 1，则平行四边形 ABCD二.填空题7.如图，E、F 分别是ABCD 的两边 AB CD 勺中点，AF 交 DE 于 P, BF 交CE 于 Q,则 PQAB 勺关玄阜系是 _:_8.如图，在一 ABCD 中, E 是 BA 延长线上一点， AB= AE,连结 EC

17、交 AD 于点 F,若 CF 平分/ BCD AB= 3，贝 U BC 的长为_ .一.选择题1平行四边形一边长 12cm，那么它的两条对角线的长度可能是A.8cm和 16cm2以不共线的三点 A、B、A.13. 平行四边形两邻边分别为A.54.国家级历史文化名城-B.10cm和 16cmC.8cm和C 为顶点的平行四边形共有（）B.2C.324 和 16 ,若两长边间的距离为14cm个.)D.8cm和 12cmD.无数8,则两短边间的距离为（）花坛（如图），分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫 BC/GH/ AD,那么下列说法中错误的是（）B.6C.8D.12金华，风光秀丽，花木葱茏某广场上一个形

18、状是平行四边形的6 种颜色的花.如果有 AB/ EF/ DC,面积为（）D 1510.如图，在 ABCD 中, AB= 3, AD= 4，/ ABC= 60,过 BC 的中点 E 作 EF 丄 AB,垂足为点 F,与 DC 的延长线相交于点 H 则厶 DEF 的面积是_ .11._如图，在周长为 20cm的 ABCD 中, ABAD AC BD 相交于点 O,OELBD 交 AD 于 E， 则厶 ABE 的周长为 .12.如图，在. ABCD 中, AB= 6, AD= 9，/ BAD 的平分线交 BC 于点 E,交 DC 的延长线于点 F, BGL AE,垂足为 G, AF= 5, BG =

19、4“，则 CEF 的周长为 _.三.解答题13.如图，P 是平行四边形 ABCD 内部一点，PA PB, PC, PD 将平行四边形 ABCD 分成 4 个三2 23 3角形，它们的面积分别为 a, ar, ar , ar (a 0, r 0),试确定点 P 的位置，并说 明理由.14.如图，过平行四边形 ABCD 内任一点 P 作各边的平行线分别交 AB BC CD DA 于 E、F、G H.求证：S平行四边形 ABCIABCI-S平行四边形 AEPAEP=2SAFG.AFG.则 ABCD 的周长为9.优质资料欢迎下载15.如图，四边形 ABCD 是平行四边形， A BD 与厶 ABD 关于

20、 BD 所在的直线对称，AB与DC 相交于点 E,连接 AA .（1）请直接写出图中所有的等腰三角形（不另加字母）（2）求证：A E=CE【答案与解析】一.选择题1 【答案】B;【解析】设对角线长为2a,2b，需满足a b 12，只有 B 选项符合题意2. 【答案】C；【解析】分别以 AB BC, AC 为对角线作平行四边形.3. 【答案】D;【解析】过 C 点作 CF 垂直于 BD 的延长线，CF 就是两短边间的距离，如图所示，/ C= 30,11CF=CD 24=12.224.【答案】C;【解析】 AB/ EF/ DC BC/ GH/ ADGH BD EF 把一个平行四边形分割成四个小平行

21、四边形，一条对角线可以把一个平行四变形的面积一分为二， 据此可从图中获得 S黄=S蓝，S绿=S红,S （紫+ +黄+ +绿）=S （橙+ +红+ +蓝）, 根据等量相减原理知 S 紫=S 橙， A、B、D 说法正确，再考查 S红与 S蓝显然不相等.故选 C.5【答案】B;【解析】共 6 对，有 ABDACDB ABCACDA AODACOB AOBACODAOEACOFDOEABOF理由是：四边形 ABCD 是平行四边形， AD=BC AB=CD在 ABC 和 CDA 中AB=CDAD=BC,、AC=ACABCACDA 同理 ABDACDB四边形 ABCD 是平行四边形， OA=OC OB=OD在 AOD COB 中优质资料 欢迎下载2OA=OCIMAOD=COB,OB=ODAODACOB 同理， AOBACOD四边形 ABCD 是平行四边形， AD/ BC,/AEO=/ CFO在 AOEn COF 中AEO= CFOI