最短路径算法介绍

1、最短路径算法介绍 据 Drew 所知最短路经算法现在重要的应用有计算机网络路由算法，机器人探路，交通路线导航，人工智能，游戏设计等等。美国火星探测器核心的寻路算法就是采用的D*（D Star）算法。     最短路经计算分静态最短路计算和动态最短路计算。    静态路径最短路径算法是外界环境不变，计算最短路径。主要有Dijkstra算法，A*（A Star）算法。     动态路径最短路是外界环境不断发生变化，即不能计算预测的情况下计算最短路。如在游戏中敌人或障碍物不断移动的情况下。典型的有D*

2、算法。这是Drew程序实现的10000个节点的随机路网三条互不相交最短路真实路网计算K条路径示例：节点5696到节点3006，三条最快速路，可以看出路径基本上走环线或主干路。黑线为第一条，兰线为第二条，红线为第三条。约束条件系数为1.2。共享部分路段。 显示计算部分完全由Drew自己开发的程序完成。  参见 K条路算法测试程序Dijkstra算法求最短路径：Dijkstra算法是典型最短路算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法能得出最短路径的最优解，但由于它遍历计算的节点很多，所以效率低。Dijk

3、stra算法是很有代表性的最短路算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。Dijkstra一般的表述通常有两种方式，一种用永久和临时标号方式，一种是用OPEN, CLOSE表方式，Drew为了和下面要介绍的 A* 算法和 D* 算法表述一致，这里均采用OPEN,CLOSE表的方式。大概过程：创建两个表，OPEN, CLOSE。OPEN表保存所有已生成而未考察的节点，CLOSED表中记录已访问过的节点。1 访问路网中里起始点最近且没有被检查过的点，把这个点放入OPEN组中等待检查。2 从OPEN表中找出距起始点最近的点，找出这个点的所有子节点，把这个点放到C

4、LOSE表中。3 遍历考察这个点的子节点。求出这些子节点距起始点的距离值，放子节点到OPEN表中。4 重复2，3，步。直到OPEN表为空，或找到目标点。这是在drew 程序中4000个节点的随机路网上Dijkstra算法搜索最短路的演示，黑色圆圈表示经过遍历计算过的点由图中可以看到Dijkstra算法从起始点开始向周围层层计算扩展，在计算大量节点后，到达目标点。所以速度慢效率低。提高Dijkstra搜索速度的方法很多，据Drew所知，常用的有数据结构采用Binary heap的方法，和用Dijkstra从起始点和终点同时搜索的方法。推荐网页：简明扼要介绍Dijkstra算法，有图解显示和源码下

5、载。A*（A Star）算法：启发式（heuristic）算法A*（A-Star)算法是一种静态路网中求解最短路最有效的方法。公式表示为：        f(n)=g(n)+h(n), 其中f(n) 是节点n从初始点到目标点的估价函数，g(n) 是在状态空间中从初始节点到n节点的实际代价，h(n)是从n到目标节点最佳路径的估计代价。保证找到最短路径（最优解的）条件，关键在于估价函数h(n)的选取：估价值h(n)<= n到目标节点的距离实际值，这种情况下，搜索的点数多，搜索范围大，效率低。但能得到最优解。如果

6、估价值>实际值, 搜索的点数少，搜索范围小，效率高，但不能保证得到最优解。估价值与实际值越接近，估价函数取得就越好。例如对于几何路网来说，可以取两节点间欧几理德距离（直线距离）做为估价值，即f=g(n)+sqrt(dx-nx)*(dx-nx)+(dy-ny)*(dy-ny)；这样估价函数f在g值一定的情况下，会或多或少的受估价值h的制约，节点距目标点近，h值小，f值相对就小，能保证最短路的搜索向终点的方向进行。明显优于Dijstra算法的毫无无方向的向四周搜索。conditions of heuristicOptimistic (must be less than or equal to

7、 the real cost)As close to the real cost as possible主要搜索过程：创建两个表，OPEN表保存所有已生成而未考察的节点，CLOSED表中记录已访问过的节点。遍历当前节点的各个节点，将n节点放入CLOSE中，取n节点的子节点X,->算X的估价值->While(OPEN!=NULL)从OPEN表中取估价值f最小的节点n;if(n节点=目标节点) break;elseif(X in OPEN) 比较两个X的估价值f /注意是同一个节点的两个不同路径的估价值if( X的估价值小于OPEN表的估价值 )更新OPEN表中的估价值; /取最小路径

8、的估价值if(X in CLOSE) 比较两个X的估价值 /注意是同一个节点的两个不同路径的估价值if( X的估价值小于CLOSE表的估价值 )更新CLOSE表中的估价值; 把X节点放入OPEN /取最小路径的估价值if(X not in both)求X的估价值;并将X插入OPEN表中;/还没有排序将n节点插入CLOSE表中;按照估价值将OPEN表中的节点排序; /实际上是比较OPEN表内节点f的大小，从最小路径的节点向下进行。上图是和上面Dijkstra算法使用同一个路网，相同的起点终点，用A*算法的情况，计算的点数从起始点逐渐向目标点方向扩展，计算的节点数量明显比Dijkstra少得多，效

9、率很高，且能得到最优解。 A*算法和Dijistra算法的区别在于有无估价值，Dijistra算法相当于A*算法中估价值为0的情况。 推荐文章链接： Amit 斯坦福大学一个博士的游戏网站，上面有关于A*算法介绍和不少有价值的链接    /amitp/GameProgramming/ Sunway写的两篇很好的介绍启发式和A*算法的中文文章并有A*源码下载： 初识A*算法 深入A*算法 需要注意的是Sunway上面文章“深入A*算法”中引用了一个A*的游戏程序进行讲解，并有这个源码的下载，不过它有一个不小的Bug,

10、 就是新的子节点放入OPEN表中进行了排序，而当子节点在Open表和Closed表中时，重新计算估价值后，没有重新的对Open表中的节点排序，这个问题会导致计算有时得不到最优解，另外在路网权重悬殊很大时，搜索范围不但超过Dijkstra，甚至搜索全部路网, 使效率大大降低。  Drew 对这个问题进行了如下修正，当子节点在Open表和Closed表中时，重新计算估价值后，删除OPEN表中的老的节点，将有新估价值的节点插入OPEN表中，重新排序，经测试效果良好，修改的代码如下，红色部分为Drew添加的代码.添加进程序的相应部分即可。 在函数GenerateSucc（）中 .g

11、=BestNode->g+1; /* g(Successor)=g(BestNode)+cost of getting from BestNode to Successor */TileNumS=TileNum(int)x,(int)y); /* identification purposes */if (Old=CheckOPEN(TileNumS) != NULL)  for(c=0;c<8;c+)if(BestNode->Childc = NULL) /* Add Old to the list of BestNode's Children

12、(or Successors). */break;BestNode->Childc=Old;if (g < Old->g) Old->Parent=BestNode;Old->g=g;Old->f=g+Old->h;  /Drew 在该处添加如下红色代码 /Implement by Drew NODE *q,*p=OPEN->NextNode, *temp=OPEN->NextNode;while(p!=NULL && p->NodeNum != Old->NodeNum)

13、    q=p;    p=p->NextNode;if(p->NodeNum = Old->NodeNum)   if(p=OPEN->NextNode)       temp = temp->NextNode;     OPEN ->NextNode = temp;    else  q->NextNode = p->NextNode; 

14、;Insert(Old); / Insert Successor on OPEN list wrt f  .  另一种A*（A Star）算法： 这种算法可以不直接用估价值，直接用Dijkstra算法程序实现A*算法，Drew对它进行了测试，达到和A*完全一样的计算效果，且非常简单。 以邻接矩阵为例，更改原来邻接矩阵i行j列元素Dij为 Dij+Djq-Diq; 起始点到目标点的方向i->j, 终点q. Dij为（i到j路段的权重或距离） 其中：Djq,Diq的作用相当于估价值 Djq=（j到q的直线距离）；Diq=（i到q的直线距离）原理：i 到q方向符合

15、Dij+Djq > Diq ，取Dij+Djq-Diq 小，如果是相反方向Dij+Djq-Diq会很大。因此达到向目标方向寻路的作用。 动态路网，最短路径算法 D*A* 在静态路网中非常有效（very efficient for static worlds），但不适于在动态路网，环境如权重等不断变化的动态环境下。 D*是动态A*（D-Star,Dynamic A Star） 卡内及梅隆机器人中心的Stentz在1994和1995年两篇文章提出，主要用于机器人探路。是火星探测器采用的寻路算法。Optimal and Efficient Path Planning for Part

16、ially-Known Environments The Focussed D* Algorithm for Real-Time Replanning 主要方法（这些完全是Drew在读了上述资料和编制程序中的个人理解，不能保证完全正确，仅供参考）：1.先用Dijstra算法从目标节点G向起始节点搜索。储存路网中目标点到各个节点的最短路和该位置到目标点的实际值h,k（k为所有变化h之中最小的值,当前为k=h。每个节点包含上一节点到目标点的最短路信息1(2),2(5),5(4)，4（7）。则1到4的最短路为1-2-5-4。原OPEN和CLOSE中节点信息保存。2.机器人沿最短路开始移动，在移动的下

17、一节点没有变化时，无需计算，利用上一步Dijstra计算出的最短路信息从出发点向后追述即可，当在Y点探测到下一节点X状态发生改变，如堵塞。机器人首先调整自己在当前位置Y到目标点G的实际值h(Y)，h(Y)=X到Y的新权值c(X,Y)+X的原实际值h(X).X为下一节点(到目标点方向Y->X->G），Y是当前点。k值取h值变化前后的最小。3.用A*或其它算法计算，这里假设用A*算法,遍历Y的子节点，点放入CLOSE,调整Y的子节点a的h值，h(a)=h(Y)+Y到子节点a的权重C(Y,a),比较a点是否存在于OPEN和CLOSE中，方法如下：while()从OPEN表中取k值最小的节

18、点Y;遍历Y的子节点a,计算a的h值 h(a)=h(Y)+Y到子节点a的权重C(Y,a)    if(a in OPEN)     比较两个a的h值     if( a的h值小于OPEN表a的h值 )    更新OPEN表中a的h值;k值取最小的h值          有未受影响的最短路经存在          break;         if(a in CLOSE) 比较两个a的h值 /注意是同一个节点的两个不同路径的估价值    if( a的h值小于CLOSE表的h值