分式方程无理式方程解法

1、2第七讲 分式方程和无理方程的解法初中大家已经学习了可化为一元一次方程的分式方程的解法二次方程的分式方程的解法以及无理方程的解法并且只要求掌握本讲将要学习可化为一元(1)不超过三个分式构成分式方程的解法， 会用”去分母”或”换元法”求方程的根， 并会验根； (2)了解无理方程概念，掌握可化为一元二次方程的无理方程的解法，会用一、可化为一元二次方程的分式方程1去分母化分式方程为一元二次方程1 4x【例 1】 解方程 124xx 2 x2 4分析： 去分母，转化为整式方程解： 原方程可化为：1”平方”或”换元法 ”求根，并会验根1 4xx 2 (x 2)(x2)2x2方程两边各项都乘以x24：(x

2、 2)4x 2(x2)x2即3xx2 4 ，整理得：3x 2 0解得：1或 x 2 检验：把 x 1代入 x24 ，不等于0，所以 x 1是原方程的解；把 x 2 代入 x24 ，等于 0，所以 x 2 是增根原方程的解是 x所以，说明：(1) 去分母解分式方程的步骤：1把各分式的分母因式分解； 在方程两边同乘以各分式的最简公分母；去括号，把所有项都移到左边，合并同类项；解一元二次方程； 验根(2) 验根的基本方法是代入原方程进行检验，但代入原方程计算量较大而分式方程可能产生的增根， 就是使分式方程的分母为 0 的根 因此我们只要检验一元二次方程的根， 是否使分式方程两边同乘的各分式的最简公分

3、母为0若为 0，即为增根；若不为 0，即为原方程的解2用换元法化分式方程为一元二次方程x2例2】解方程 (xx 1)2 3x2 4 0 x1分析： 本题若直接去分母，会得到一个四次方程， 解方程很困难 但注意到方程的结构2特点，设 x y ，即得到一个关于 y 的一元二次方程最后在已知 y的值的情况下，用 x1(1) 当 y1时，2x2x122x 2x x 11 x；22 x1(2) 当 y83时，2x22x3228x 2 16 x 3x 2 35x 2 16 x 3 0 x 3或x18x185去分母的方法解方程xyx1解：设xy ，则原方程可化为：y2 3y40解得(1)当4时，x2x 4

4、，去分母，1得x24( x 1)x24x 4(2)当1时，2x21x1x2x20x检验：把各根分别代入原方程的分母，各分母都不为0所以， x 2， x 1 2 5 都是原方程的解2说明：用换元法解分式方程常见的错误是只求出 y 的值， 的值而没有求到原方程的解， 即 x例 3】解方程 8(x 2x 2 122x) 3( x2 1)x2 2x11分析： 注意观察方程特点，可以看到分式x 2 2 x xx2 21x 与2x2x11 互为倒数因此，可以设2xx2 2 xx 2 1y ，即可将原方程化为一个较为简单的分式方程解：2设x22x22x1y，x2 1x 2 2 x原方程可化为： 8 y 3

5、11y28 y2 11y 3 0y 1或 y检验：把把各根分别代入原方程的分母，各分母都不为011所以，原方程的解是 x ， x 3 ， x25说明： 解决分式方程的方法就是采取去分母、换元等法，将分式方程转化为整式方程，体现了化归思想、可化为一元二次方程的无理方程 根号下含有未知数的方程，叫做无理方程 1平方法解无理方程【例 4】 解方程 x 7 x 1分析： 移项、平方，转化为有理方程求解解： 移项得： x 7 x 1两边平方得： x 7x2 2x 1移项，合并同类项得：x2 x 6 0解得： x 3 或 x2检验：把 x 3 代入原方程，左边 右边，所以 x 3 是增根把 x 2 代入原

6、方程，左边 = 右边，所以 x 2 是原方程的根所以，原方程的解是x 2 说明： 含未知数的二次根式恰有一个的无理方程的一般步骤：移项， 使方程的左边只保留含未知数的二次根式， 其余各项均移到方程的右边； 两 边同时平方，得到一个整式方程；解整式方程；验根【例 5】 解方程 3x 2 x 3 3分析： 直接平方将很困难 可以把一个根式移右边再平方， 这样就可以转化为上例的模，再用例 4 的方法解方程解： 原方程可化为： 3x23 x 3两边平方得： 3x 2 96 x 3 x3整理得： 6 x 3142x 3 x 37x两边平方得： 9(x3)49 14x x2整理得： x2 23x220 ，

7、解得： x1或 x 22检验：把 x 1代入原方程，左边 =右边，所以 x 1是原方程的根把 x 22 代入原方程，左边 右边，所以 x 22 是增根所以，原方程的解是 x 1说明： 含未知数的二次根式恰有两个的无理方程的一般步骤：移项， 使方程的左边只保留一个含未知数的二次根式； 两边平方， 得到含未知数的 二次根式恰有一个的无理方程；一下步骤同例4 的说明2换元法解无理方程【例 6】 解方程 3x2 15x 2 x2 5x 1 2分析： 本题若直接平方， 会得到一个一元四次方程，难度较大 注意观察方程中含未知 数的二次根式与其余有理式的关系，可以发现：3x2 15x 3 3(x2 5x 1

8、) 因此，可以设 x2 5x 1 y ，这样就可将原方程先转化为关于 y 的一元二次方程处理解： 设 x 2 5x1 y ，则 x25 x 1 y2223x2 15x 3(y 2 1)原方程可化为：3(y 2 1)2y 2 ，2即 3y2 2y5 0 ，解得：y 1 或 y53(1) 当 y 1 时， x2 5x 1 1 x2 5x 0 x 1或x 0 ； 52(2)当 y 3 时，因为 x2 5x 1 y 0 ，所以方程无解3检验：把 x 1,x 0 分别代入原方程，都适合 所以，原方程的解是 x 1,x 0 说明： 解决根式方程的方法就是采取平方、换元等法，将根式方程转化为有理方程，体 现

9、了化归思想A组解下列方程：2x 1(1) (x 1)(x 2)x5(x 2)(x 3)(2)x22x2 11x 21x72x2 12x 351234512345(2)(4)15x2 421(3) y2 4 y 2用换元法解方程： x2解下列方程：(1) x 2(2) x 5 x 7(3) x 3 2 x解下列方程：(1) 3x 1x4(2) 2x 4 x 5 1用换元法解下列方程：(1) x 12 x 02(2) x23xx2 3x 6解下列方程：2x 5 (1) 2x2 3x 24x2 41x2x 4 1(2) x2x x4 2 x11x6x2 4x11(3) x 7 (2x 1)(x 7) 2x23xx 1 2x(4) xx 11 x2x14xx24x1 0用换元法解下列方程：2x2 5x 24(x 1)(1) 14 0 x 1 x(x 5)2(x2 1) 6(x 1)(2) x 142x4 2x