2021高中数学一轮复习课时过关检测(四)基本不等式

1、机密第 12 页2020-4-16课时过关检测（四） 基本不等式A 级 夯基保分练a2 b21“a>b>0”是“ ab<a 2b”的 ()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件a2b2解析： 选 A 由 a>b>0，可知 a2b2>2ab，充分性成立，由 ab< 2 ，可知 ab， a，b，R，故必要性不成立2（2019 泉·州检测 ）已知 0<x<1，则 x（33x）取得最大值时 x的值为 （）1A.3B.12C.34D.23x 1 x3解析： 选 B 因为 0<x<1，所以 x（33x）3

2、x（1x）3 x 1x 2 3.当且仅当 x1241 x，即 x 2时等号成立123若实数 a，b 满足 ab，则 ab 的最小值为 （ ）abA. 2B2C 2 2D412解析： 选 C 因为 ab，所以 a>0， b>0，ab由 aba1 b22a1·b22 a2b，所以 ab2 2（当且仅当 b2a时取等号 ），所以 ab 的最小值为 2 2.4已知函数 f（x）xxa2的值域为 （， 04，），则 a的值是（）x1A.23B.32C1D2解析： 选 C 由题意可得 a>0，当 x>0 时， f（x）xxa 2 2 a 2，当且仅当 x a时取等号；a当

3、 x<0 时， f(x)xx 22 a2，x当且仅当 x a时取等号，22 a 0，所以解得 a 1，故选 C.2 a 2 4，5(多选)下列四个函数中，最小值为2的是 ()1A y sin x0<xsin x 21 B y ln x ln x(x>0，x 1)x26Cy x25D y4x4x1解析： 选 AD 对于 A，因为 0<x ，所以 0<sin x1，y sin x2，当且仅当2 sin xsin xsi1n x，即 sin x1时取等号，符合题意；对于 B，当 0<x<1时， ln x<0，此时 yln x1x2 61 ln x为负值

4、，最小值不是 2，不符合题意；对于 C，y x25，设 tx 5x 5 x2 5，则 t 5，则 y 5 15 6 5 5，其最小值不是 2，不符合题意；对于 D，y 4x4x4x41x24x×41x2，当且仅当 x0时取等号，其最小值为 2，符合题意 故选 A 、D.6(多选)下列四个命题中，是真命题的是()A1? xR，且 x0，xx1 2B? x0R，使得 x201 2x0CD当x2 y2 2xyx> 0，y>0，则x 2 x2xyyx(1,2)时，不等式 x2mx4< 0 恒成立，则实数m 的取值范围是 ( ， 5解析：1选 BCD 对于 A，? xR，且

5、x0，x 2 对 x< 0时不成立；对于 B，当 xx1 时， x212,2x2，x212x 成立，正确；对于 C，若 x>0，y>0，则(x2y2)(xy)22xy·4xy8x2y2， 化为x22y2 2xy ，当且仅当2x yxy>0 时取等号，正确；对于D，44当 x (1,2)时，不等式 x2mx4<0 恒成立，则 m< xx ，令 f(x) x x ，x (1,2) 则4 4 x2f(x)1x2 x2 > 0，所以函数 f(x)在 x (1,2)上单调递增所以 f(x)> f(1) 5.所以 m 5，因此实数 m的取值范围是

6、(， 5，正确x2 2x 117已知 f(x) x 2xx1，则 f(x)在 又 M 恒成立， xy所以 M 1，即 M 的最大值为 1.答案： 1 9某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润 y(单位：万元 )与机器运转时间 x(单位：年 )的关系为 yx218x25(xN *)，则每台机器 为该公司创造的年平均利润的最大值是 万元2，3 上的最小值为x2解析：x2 2x 11 1f(x)xxx22 20，当且仅当 xx，即 x1 时取等号又 1 12， 3 ，1所以 f(x)在 12， 3 上的最小值是 0.答案：018若正实数 x， y 满足 x y 2，

7、且 xy M 恒成立，则 M 的最大值为 解析： 因为正实数 x， y 满足 x y 2，所以 xyx y 22241，解析：每台机器运转 x 年的年平均利润为y 18xx2x5x，而 x>0，故yx182 25 8，1所以x1y1当且仅当 x5时等号成立，此时每台机器为该公司创造的年平均利润最大，最大值为8 万元答案： 810 (一题两空 )(2019 湖·南岳阳期末改编 )若 a>0， b>0，且 a2b 40，则 ab 的最大值为12，a12b的最小值为11 解析： a>0 ，b>0，且 a 2b4 0，a2b4，ab2a·2b2

8、5;a 2b 222，当且12仅当 a 2b，即 a2， b1 时等号成立， ab 的最大值为 2.a b121a2ba 2b 14 4答案： 2 9411(1)当2b 2a 15 a b 4·522a 9 1 2 92ba 94，当且仅当 a b 时等号成立， 1a 2b的最小值为 94.x<23时，求函数 yx2x83的最大值；32x32(2)设 0< x<2，求函数 y x 4 2x 的最大值32.解： (1)y21(2x 3) 83 2x8 32x当 x<32时，32x>0，84，32x 2 3 2x32x当且仅当8，23 2x，1即 x 21时

9、取等号3 5 5 是 y 432 52，故函数的最大值为 25.(2)0<x<2，2x>0，y42xx 2 x2 x 2· 2 2，当且仅当 x2x，即 x1 时取等号， 当x1时，函数 y x 42x 的最大值为 2.12已知 x>0，y>0，且 2x 8yxy 0，求：(1)xy 的最小值；(2)x y 的最小值82解： (1)由 2x 8y xy 0，得 x82y 1.又 x>0， y>0 ，则 18x y228x·y2 8xy，得 xy64，82当且仅当 82，即 x16且 y4时等号成立 xy所以 xy 的最小值为 64.

10、82（2）由 2x8yxy0，得 xy1，82则 xy x y （xy）102x8y 1022x·8y18.y x y x当且仅当 2yx8xy，即 x12且 y6时等号成立，所以 xy 的最小值为 18.B级提能综合练13若正数a， b 满足ab2，14则a1 1b* 4 1的最小值是 （A19B.4C9D16解析： 选1a1 b 1a1 b 1a1b1a 1 b144b11414b 1 4 a 152a1 b 19，4，当且仅当b 1 4 a 1 ，即a 1 b 11a 3，5b35时取等号，故选 B.a 的最小值为14设 a>0，若关于 x 的不等式 x a 5 在 （1

11、， ）上恒成立，则 x112 a 1（当解析：在（1， ）上，x a （x1） a 12 x 1x1且仅当 x1 a时取等号 ） 由题意知 2 a 15.所以 a4.答案： 415某厂家拟定在 2020 年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量（即该厂的年产k量 ）x 万件与年促销费用 m（m 0）万元满足 x3（k 为常数 ）如果不搞促销活动，那么m1该产品的年销量只能是 1 万件已知 2020 年生产该产品的固定投入为 8 万元，每生产 1 万 件该产品需要再投入 16 万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的 1.5 倍 （ 产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）（1）将

12、 2020 年该产品的利润 y 万元表示为年促销费用 m 万元的函数；（2）该厂家 2020 年的促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？解： （1）由题意知，当 m0时， x 1（万件），2所以 13 k? k 2，所以 x3（m0），m 1816x每件产品的销售价格为 1.5× x （元 ），8 16x 2所以 2020 年的利润 y1.5x× 816xm 48xm4 8 3 mxm 116 m1 m1 29（m0）16（2）因为 m 0 时， （m1） 2 16 8，m1所以 y829 21，16当且仅当m1? m 3（万元 ）时，m1ymax 21（万元 ） 故该厂家 2020 年的促销费用投入 3 万元时，厂家的利润最大为 21 万元C 级 拔高创新练16（2019广·东惠州三调 ）在 ABC中，点 D是 AC上一点，且 AC 4 AD ， P为 BD上一点，向量 AP AB AC(>0，>0)，41