2019年高考全国2卷理科数学试题预测卷

1、2019年高考试卷 预测卷理科数学（全国 卷）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。全卷满分150分，考试时间 120 分钟。注意事项 ：1答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘 贴的条形码的 “准考证号、姓名、考试科目 ”与考生本人准考证号、姓名是否一致。2第卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。第卷必须用0 5毫米黑色签字笔书写作答若在试题卷上作答，答案无效。3考试结束，请将试题卷、答题卡一并收回。第卷（选择题 共 60 分）一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5

2、 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。1已知复数 z 1 2i 3 i （其中 i 是虚数单位），则 z 在复平面内对应点在（ ）A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限2已知集合 A x 2 1 ,B y y2 6y 5 0 ，则 A B= （ ）xA. 0,5 B. 0,5 C. 0,3 D. 0,33今有一组实验数据如下：x1.993.04.05.16.12y1.54.047.51218.01分别用下列函数模型来拟合变量 y 与 x 的相关关系，其中拟合效果最好的是（）Ay 12 x2 1B y log1 x2C y log 2 xD y 2x 2.4四元玉

3、鉴是元朝著名数学家朱世杰阐述多年研究成果的一部力著，是宋元数学集大成者。 全书共分 3卷，24 门，288问，书中所有问题都与求解方程或求解方程组有关。其中有一首诗： 有一壶酒，携着游春走遇店添一倍，逢友饮一斗店友经三处，没了壶中酒借问此壶中，当原多少酒？ ”（“店友经三处 ”意思是，经过酒店三次，碰到朋友三次 ）用程序框图表达如图所示，即 最终输出的 x 0 （斗），则一开始输入的 x 的值为（ ）A 34B78C 1516D 31325已知向量 a， b满足 a=3， b=2 3，且 a a b ，则a在b方向上的投影为（A 3B 3C 3 32D332y 2x 26实数 x，y 满足 x

4、 y 2 0 ，则 z x y 的最大值是（ ）x2A2B4C 2 2D87给出下列 4 个命题：22方程 x y1表示双曲线的一个充分不必要条件是a 48aa4命题 p:2存在 x0R，使得 x02 x0 1 0 ”的否定是回归直线 y? a? b?x ，恒过样本数据的中心 x,y ；若直线 a平行于平面 内的一条直线 b，则 a 其中真命题的个数是（ ）对任意的 xR ，均有 x2 x 1<0A0B1C2D38ABC 的三内角 A，B，C 所对边长分别是a，b， c，设向量n( 3ac，sin B sin A)， m (ab， sin C），若 mn，则角 B 的大小为 （)A 6B

5、 35C 62D23的图象大致是（CDx eD此人停留两日至少一天空气 “优良”的概率为 17310函数 f (x) xxAB2311正四面体A 2B 4C 8D169下图是某市 3月 1日至 14日的空气质量指数趋势图 ,空气质量指数小于 100表示空气质量 “优良 空气质量指数大于 200表示空气“重度污染”某,人随机选择 3月1日至 3月13日中的某一天到达该 市 ,并停留两天（于第二天晚上离开） 以下由统计图所做的推断中，不正确的是（ ）A此人停留的 2天空气质量都 “优良”的概率为 1432B 此人到达当日空气 “重度污染 ”的概率为 2 132C此人到达当日空气 “优良 ”的条件下

6、，次日空气 “优良 ”的概率为 23ABCD 的棱长为 4， E 为棱 BC 的中点，过 E 作其外接球的截面，则截面面积的最小 值为 （ ） 12. 已知定义在 R上的偶函数 f （x） 满足 f（1 x） f （1 x），且当 0 x 1时， （f x） 1 x2若直线 y x a 与曲线 y f（x） 恰有三个公共点，那么实数 a 的取值的集合为（ ）55A （k+1，k+ （） k Z）B（2k+1，2k+ ）（ k Z）4455C （2k 5，2k 1（） k Z）D（k 5，k 1）（ k Z）44第卷（ 13-21为必做题， 22-23为选做题,共 90分）二填空题（本大题共 4

7、个小题，每小题 5 分，共 20分把答案填写在答题卡相应的 题号后的横线上）x 1 n13在 （3 ） n的展开式中，只有第 5 项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为 。2 3 x14设当 x时，函数 f （x） sin x 2cos x 取得最大值，则 cos 。215一种酒杯是抛物线 x2 4y绕 y轴旋转而成的，将长为定值的质地均匀的玻璃棒随意地放入酒杯内（假设杯壁足够高，能没入玻璃棒），则玻璃棒的重心到杯底水平线的最小距离 d 关于棒长 的关系式 d = 。16在棱长为 1 的正方体 ABCD-A 1B1C1D1中，M 是 A1D 1的中点，点 P 在侧面 BCC1B 1上运动现

8、有下列命题： 若点 P总保持 PA BD ，则动点 P 的轨迹是一条线段； 若点 P 到点 A 的距离为 2 3 ，则动点 P 的轨迹是一段圆弧；3 若 P满足 PAC 1=MAC 1，则动点 P的轨迹是一段抛物线； 若 P到直线 AD 与直线 CC1的距离相等，则动点 P 的轨迹是一段抛物线； 若 P到直线 BC 与直线 C1D 1的距离比为 1： 2，则动点 P 的轨迹是一段双曲线；其中真命题是 （写出所有真命题的序号）三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721 题为必做题，每个试题考生都必修作答。第 22、 23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考

9、题：共 60 分。17（12 分）设数列 an 的前 n项和为 Sn，点 an,Sn n N* 在直线 2x y 1 0 上（ 1）求证：数列 an 是等比数列，并求其通项公式；（ 2）设直线 x an与函数 f x x2的图象交于点 An ，与函数 g（x） log2 x的图象交于点 Bn， 记bn OAn OBn （其中 O为坐标原点） ，求数列 bn 的前 n项和 Tn.18（12 分）本市摄影协会准备在 2019年 10月举办主题为 “庆祖国 70华诞 我们都是追梦人 ”摄影 图片展。通过平常人的镜头，记录国强民富的幸福生活，向祖国母亲的生日献礼摄影协会收到了 来自社会各界的大量作品

10、, 打算从众多照片中选取 100张照片展出 ,其参赛者年龄集中在 25，85 之 间，根据统计结果，做出频率分布直方图如下：频率/组距0.0350.0300.0250.0200.0150.0100.005年龄（1）求这 100位作者年龄的样本平均数 x和样本方差 s2 （同一组数据用该区间的中点值作代 表）；（ 2）由频率分布直方图可以认为，作者年龄X 服从正态分布 N（ , 2 ） ，其中 近似为样本平均数 x ， 2近似为样本方差 s2（ i ）利用该正态分布，求 P（60 X 73.4） ；附 ： 180 13.4 ，若 X N（ , 2） ，则 P（X ） 0.6826，P（ 2 X

11、2 ） 0.9544，P（ 3 X 3 ） 0.9974 .（ ii）摄影协会从年龄在 45，55 和 65，75的作者中， 按照分层抽样的方法， 抽出了 7人参加 “讲述图片背后的故事”座谈会，现要从中选出 3 人作为代表发言，设这 3 位发言者的年龄落在区 间 45，55 的人数是 Y，求变量 Y的分布列和数学期望19（12 分 ）一个多面体的三视图和直观图如图所 示，其中正视图和俯视图均为矩形，侧视图为直 角三角形， M 是 AB 的中点（ 1）求证： CM平面 FDM ；（2）若 N 为线段 FC 上一点，且 FN FC ， 二面角 F DM N 的余弦值为 3 ，求 的值32220

12、（12分）已知直线 l:y kx 1与曲线 C:x2 y2 1（a 0,b 0）交于不同的两点 A,B，O为坐标 a2 b2原点（1）若 k 1, |OA| | OB | ，求证：曲线 C 是一个圆；（2）若曲线 C过（0,2）、（1,0），是否存在一定点 Q，使得 QA QB 为定值？若存在，求出定点 Q 和定值；若不存在，请说明理由x221 （12 分） 已知函数 f （x） ex 1 x ax2.（1）当 x 0时，若不等式 f x 0 恒成立，求实数 a的取值范围；（2）求证： x 0时， 2ex xlnx 3sin x 2.二）选考题：共 10分。请考生在 22、23 题中任选一题作

13、答。如果多做，则按所做的第一题记分。22 选修 4-4：坐标系与参数方程 （10 分）x 1 2t已知曲线 C1：（t 为参数）；以直角坐标系的原点 O为极点， x轴的正半轴为极轴建立1y2t极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为6sin （ 1）分别求曲线 C1、C2 的直角坐标方程；（2）若曲线 C1、C2交于两点 A，B， 点P是曲线 C2上异于点 A，B任意一点，求 PAB的面积S的最大值23 选修 4-5：不等式选讲 （10 分）已知函数 （f x） x 3 x 6（ 1）求不等式 （f x） 12 的解集；（ 2）对于正实数 a,b,c 若不等式 （f x） 1 2 3对任意实数 x

14、 恒成立，求 a 2b 3c的最小值 a b c高三训练试题（理科数学） 参考答案与评分标准【命题意图】考查双曲线的标准方程、简易逻辑线性回归、空间平行关系等知识，考查推理论证能 力及逻辑推理的素养 .8【解答】选 C 若 mn，则（ab）（sin Bsin A）sin C（ 3ac）0，由正弦定理可得 （ab）（ba） a2c2 b23 5c（ 3ac）0，化为 a c b 3ac， cos B 2ac 23.B（0，），B56 ，故选 C.命题意图】考查向量运算、解三角形（正余弦定理）.考查数学运算、逻辑推理的素养、选择题：本题共 12小题，每小题 5分，共 60 分。1【解答】选 D.z

15、 3 i 3 i 1 2i 1 7i 1 7i1+2i 1+2i 1 2i 5 5 5命题意图】本题考查复数的概念及运算，考查运算求解能力，数学运算素养2. 【解答】选 A. A=(0,2,B=1,5 ,故A B=(0,5.命题意图】考查解不等式及集合的运算，考查抽象概括、运算求解能力 3【. 解答】选 A.由表中的数据分析变量 y与 x的变化规律，结合所给四个函数的图象和性质，可知： y与x存在正相关关系，排除 B；又随着 x增大， y加速增长，故排除 C，D【. 命题意图】本题考查 函数的性质及应用、变量间的相关关系、回归分析。考查抽象概括能力、数据处理能力。4. 【解答】选 B.i 1，

16、x 2x 1,i 2x （2 2x-1） 1 4x 3,i 3 x （2 4x 3） 1 8x 7,i 4，输出 8x 7 0，x 7 ，故选 B8【命题意图】以数学文化为背景，考查算法及程序框图，抽象概括能力、应用意识 .25.【解答】选 C.由 a a b 可得： a a b a2 a b 0，所以 a b 9向量 a 在b上的投影为9. 【解答】选 D. D 选项的随机事件概率应为 8 .13【命题意图】以统计图表形式，考查随机事件的概率、古典概型、条件概率，考查学生的数学语言 转化能力；考查数形结合思想、统计概率思想；数学直观、数学建模、数据分析的素养。10. 【解答】 选 A. f（

17、x） 为非奇非偶函数，排除 C; f 1 1 e 0 ，排除 B；又 x , f （x） , 且无渐近线，排除 D ；答案为 A.也用导数判断函数性质推断 .【命题意图】考查函数的图象，考查探究能力、数形结合思想,直观想象、数学抽象素养 .11. 【解答】选 B.将正四面体 ABCD补形成正方体可得，正方体的外接球就是四面体ABCD的外接球 .由正四面体 ABCD的棱长为 4，可知正方体的棱长为 2 2 ，可得外接球半径 R满足 2R=2 2 3 ， 解得 R= 6 .过 E作其外接球的截面，当截面到球心O 的距离最大时，截面圆的面积达最小值，此时球心 O 到截面的距离等于正方体棱长的一半，可

18、得截面圆的半径为 rR2 2 2 ，得到截面圆的面积最小值为 S r2 4 【命题意图】考查空间几何体与球的切接问题，考查空间想象能力、运算求解能力，考查数学模型 思想，直观想象、数学运算素养 .12. 【解答】选 B. f（x） 为周期是 2的偶函数，21 x 1时， f （x） 1 x2.当 a 1时， y x a 与f（x） 1 x2 x 1,1 有两个公共点；6. 【解答】 B.作可行域如右图， z 2直线ax【命题意图】考查不等式、线性规划等知识，数形结合、运算求解的能力，直观想象及数学运算的素养 7【解答】选 C. 真，原方程表示双曲线的充要条件是8+a （a 4） 0 ，a 4或

19、a8 ；假， p: 对任意的 xR，均有 x2+x+1 0；”假，还有可能 a ;C正确 .命题意图】考查向量的数量积，考查基础知识，抽象概括、运算求解能力，数学运算素养xy表示可行域内动点 P（x, y）到 y x 距离的 2 倍，如图在 C 2,6 处， zmax 4.当 y x a与 f(x) 1 x2 x 1,1 相切时， a 5.452当 a时， y x a 与 f(x) 1 x2 x R 有两个公共点；4由图象知，当 a 5, 1 即a 1,5 时，直线 y x a与 f (x) 1 x2 x R 有三个公共 44点；结合周期 T=2知， a 2k+1，2k+5(k Z).故选 B

20、.4【命题意图】考查函数的图象与性质(奇偶性、周期性、分段函数等)的应用、考查函数与方程、 数形结合的思想，直观想象、逻辑推理、数学抽象的素养 .二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13【解答】 只有第 5项的二项式最大，则 n 1 5，即 n 8 ,所以展开式中常数项为第七项等于2C86 (1)2 721,sin52 2 5当x 即 x 时22【命题意图】考查二项式定理，考查运算求解能力 .14.【解答】 y 5( 1 sinx 2 cosx) 5 sin(x ),(cos55 取最大值，所以 ， cos cos( ) sin2 2 5 5【命题意图】考查三角恒等变形

21、，考查运算求解能力、转化与化归思想，数学运算素养。15. 【解答】如图，当 AB4=2 p 时，弦 AB可以经过焦点 F，作 A、 B在准线上的射影 A1、B1，则 AB AF BF AA1 BB1 2 MM 1 2(d p)=2(d 1) ，d 1 (当 AB 过焦点 F 时取到等号)；故 d = 1.222当 AB4 时， AB平行于 x轴时距离 d 最小， d ;162,当04时综上 d = 16 .1，当 4时【命题意图】考查用抛物线的定义求最值，考查抽象概括、运算求解能力，分类讨论、数形结合思 想；考查数学建模、数学运算的素养 .对于：点 P的轨迹为以 A为球心、半径为 2 3 的球

22、面与面 BCC1B1的交线，即为一段圆弧，故3正确;对于：点 P在以 A C1为轴、 AM为母线的圆锥面与面 BCC1B1的交线，而 AM/ 面BCC1B1，故点 P 的轨迹为一段抛物线；故正确；对于：作 PE BC， EFAD，连接 PF，则 PFCC1；作 PQCC1.由 PF=PQ ，在面 BCC1B1内，以 C为原点、以直线 CB、 CC1为 x、y轴建立平面直角坐标系，设 P x,y ，则1+y2 x ，化简得， x2 y2 1，P 点轨迹所在曲线是一段双曲线 .故错误。对于：点 P到点 C1 的距离与点 P到直线 BC的距离之比为 2:1，故点 P的轨迹为以点 C1、直线 BC 为

23、对应准线的双曲线，故正确；故答案为【命题意图】本题考查空间的点、线、面的位置关系、圆锥曲线的定义、交轨法、解析法等，考查 空间想象能力、逻辑推理能力、运算求解能力、探究能力，考查数学抽象、直观想象、逻辑推理 等素养。三、解答题：共 70 分。(一)必考题：共 60 分。17 (12 分)解： (1) 点 an,Sn 在直线 2x y 1 0 上，所以 2an Sn 1 0 当 n 1 时， 2a1 S1 1 0. a1 1. 2 分当 n 2 时， 2an-1 Sn-1 1 0 a，得 an 2an 1, an2, n 2 . 4 分an 1所以数列 an 为首项为 1，公比为 2的等比数列

24、. an 2n 1, 6分16【解答】对于：过 A 作 BD1的垂面 ACD1，交面 BCC1B1于直线 BC1，故动点 P 的轨迹为线段 BC1，故正确；2)An(2n1,4n1),Bn(2n1,n 1) bn OAn OBn 4n1 (n 1)4n 1=n 4n 17分Tn 1 2 4 3 42n 4n 14Tn1 4 2 42(n 1) 4n1 n 4n9分，得 -3Tn 1 n 4n (4 42 434n 1)Y0123P4181213535353511分=1 nn1n 4(1 4 ) n 1 n 1 1 n4 1 n 4 (4 4) ( n)43 3 314418121 9所以 Y

25、的数学期望为 E(Y) 0 1 2 335353535 7 12分所以1 3n 1 T Tn 9 94n.12 分考点】数列的通项与前n 项和、等比数列的定义；向量的数量积；错位相减法求和a1）根据表达式得到 an 2an 1，从而得到数列满足n 2 ，故得到结论；an 12）根据向量数量积的定义得到 bn n 4n 1 ，错位相减得到前 n 项和。【命题意图】考查向量的数量积、数列的通项与前 n 项和、等比数列的概念、数列求和的错位相减 法 .考查运算求解能力、转化与化归的思想、数学运算的核心素养.18（12 分）解：（ 1）这 100 位作者年龄的样本平均数 x 和样本方差 s2分别为x

26、30 0.05 40 0.1 50 0.15 60 0.35 70 0.2 80 0.15 602分s2 ( 30)2 0.05 ( 20)2 0.1 ( 10)2 0.15 0 0.35 102 0.2 202 0.15 180 4 分2）（ i）由（ 1）知， X N（60，180），1从而 P(60 X 73.4) P(60 13.4 X 60 13.4) 0.3415 ； (0.3414 也可给分) 7 分2（ii）根据分层抽样的原理，可知这能的取值为 0，1， 2，37人中年龄在 45，55内有 3人，在 65，75内有 4人，故 Y可P(Y 0) C30C3 43C73C31C42

27、4345， P(Y 1) C7318 ，35 ，P(Y 2) C32C3 14C733152 P(Y 3) C3 C3 435C73135所以 Y 的分布列为【命题意图】本题考查统计抽样、频率分布直方图、正态分布、超几何分布，考查数据处理、运算求解 能力、识图能力，考查数据分析、数学建模、数学运算素养 .19. （12 分） 解：（ 1）由条件知 FD DC,FD AD,AD DC D,FD 平面ABCD , FD CM .AD AM MB BC a, DAM CBM 90 ，MC2a，CD 2a, DM 2 CM 2 CD 2, CM DM .DM2 分4 分DM ,FD DM D, CM

28、平面FDM .5 分D为原点， DA、DC、DF 为x、y、z轴的非负方向建立空间直角坐标系 . M( a, a,0), F (0,0, a), C(0,2a,0)，FC=(0,2a, a), DM (a, a,0) , FN FC= 0,2 a, a ，DN DF FN= 0,2 a, 1 a 设平面 DMN 的法向量为 n1 x,y,z ,CM2）以6 分n1 DM ax ay 0 由 1 得， n1 DN=2 ay 1 az 0 取 z 2 ，则 y 1,x 1 .n1 1 , 1,2 .由（ 1）知，平面 FDM 的法向量为 MC （ a, a,0）由题意 cos CM,n1CM n1

29、CMn1（2 1）a1 解得 = .2【解法 2】由（ 1）知，二面角 F DM C 为直二面角，xAzNCy8 分9 分10 分3 即二面角 F DM N 与 N DM C互余 .由题意知，二面角 N DM C的正弦值为31从而正切值为 1在面 DCEF 内过 N 作 NG DC ，垂足为 G；在面 AC 内作 GH DM ，垂足为 H，连结 NH.则 NHG 为二面角 F DM C 的平面角 .NG (1 )a, GH 2a ,NG (1 )a在 Rt NHG 中，由 tan NHGGH8分10 分11 ，解得 = .2a 2 2【命题意图】本题考查三视图、线面垂直、面面垂直的判定与性质、

30、用空间向量求二面角等，考查 化归转化、运算求解、推理论证与表达能力，考查直观想象、12分逻辑推理、数学运算素养20(12 分 )【解】1)证明：设直线 l 与曲线 C 的交点为|OA| |OB |x12y12即：A(x1, y1), B( x2 ,y2)22x1 y1x22 y222 x12x2y22 y1A,B在C上2 x12a2yb1221，2x22a2yb222 1两式相减得：2x1x2a ( 22 (y2by12)a2b21 即：b2曲线 C 是个圆5分证法 2：设直线 l 与曲线 C的交点为 A(x1, y1),B(x2,y2() x1 x2)22|OA| |OB | x12 y12

31、2y2 ，2 2 2 2x12 x1 1x22 x2 1 ,2 x1 x2 x1 x2 1 0, x1 x21y x 1由 2 2 得，由 x y 得，21a2y2b2a2 b2 x2 2a2 x a2 1 b20,0x1 x22a2 a2 b22a22a 2 = 1， a2 b2,曲线 C 是一个圆 .a2 b5分22)由题意知，椭圆 C的方程为 yx2 146分假设存在点 Q x0,y0 ，设交点为 A(x1,y1),B(x2, y2)，y kx 1由 y22 得， k2 4 x2 2kx 3 0x2 142k 3 x1 x2 k2 4,x1x2 k2 4直线 l : y kx 1恒过椭圆

32、内定点( 0,1 )，故0 恒成立 .QA QB=(x1 x0,y1 y0 )(x2 x0,y2 y0)=(x1 x0 )(x2 x0) y1 y0 y2 y02x1x2x0(x1x2 )x0kx11y0kx21y01 k2x1x2k 1y0x0x1x2x021y02 3 2k 2 21 k2 k2 34 k 1 y0 x0 k22k4 x02 1 y031 k2k2k41y0x0kx021y02k42y0 5 k 2x0k 3 x02 1 y0 2k2 4x0 0当3 时，即2y0 5 4317x0 0,y0 17时QA QB= 3+ 9 2=33.0 0 8 4 8 64178分10 分1

33、733故存在定点 0， ，不论 k 为何值， QA QB= 为定值 .864【命题意图】本题考查直线与圆、直线与椭圆的位置关系中定值问题，考查逻辑推理能力、运算求 解能力、化归转化能力及方程思想的应用，考查逻辑推理、直观想象、数学运算素养。x21 (12 分) 解：( 1) f (x) ex 1 2ax，令 g(x) ex 1 2ax ，则 g (x) ex 2a12分1分1当 2a 1,即a时， x 0，+ ，g(x) 0，2g(x) 单调递增， g(x) g 0 1 2a 0，即 f (x) 0，f (x) 在 0，+ 上单调递增 . f (x) f 0 0，符合题意 .3 分1当 2a 1,即 a 时，令 g x 0得， x ln 2a 0,在 0，ln 2a 上， g x 0,g(x) 单调递减；当x (0，ln 2a)时，有 g(x) g(0) 0,即 f (x) f 0 0，所以 f x 在区间(0，ln 2a) 上为减函数，f(x) f 00，不合题意 .5分综上，实数 a的取值范围为 ,1 .26分122解：(1)消去参数 t，得曲线 C1的直角坐标方程为 y 2 x 1 ,即 x 2y 3 0. 2x cos 2把 代入 2 6 sin 得，曲线 C2 的直角坐标方程为 y sin2)圆心到直线