概率论与数理统计习题3详解

1、一、第三章习题详解：3.1设二维随机向量的分布函数为:求.解：因为 ，所以 3.2 盒中装有3个黑球, 2个白球. 现从中任取4个球, 用X表示取到的黑球的个数, 用Y表示取到的白球的个数, 求(X , Y ) 的概率分布.解：因为X + Y = 4，所以(X,Y)的可能取值为(2,2),(3,1)且 ， ，故(X,Y)的概率分布为XY12200.630.403.3 将一枚均匀的硬币抛掷3次, 用X表示在3次中出现正面的次数, 用Y表示3次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值，求(X , Y ) 的概率分布.解：因为，又X的可能取值为0,1,2,3所以(X,Y)的可能取值为(0,3),(1

2、,1), (2,1),(3,3)且 ， ，故(X,Y)的概率分布为XY13001/813/8023/80301/83.4设二维随机向量的概率密度函数为: (1) 确定常数;(2) 求(3) 求,这里是由这三条直线所围成的三角形区域.解：(1)因为由 ，得9a=1，故a=1/9.(2) (3) 3.5 设二维随机向量的概率密度函数为:(1) 求分布函数;(2) 求解：(1) 求分布函数; 当，其他情形，由于=0，显然有=0。综合起来，有(2) 求 3.6 向一个无限平面靶射击, 设命中点的概率密度函数为求命中点与靶心(坐标原点) 的距离不超过a 的概率.解： 3.7设二维随机向量的概率分布如下表

3、所示, 求X 和Y 的边缘概率分布.XY02510.150.250.3530.050.180.02解：因为 所以，X的边缘分布为X13P0.750.25因为 所以，Y的边缘分布为Y025P0.200.430.373.8 设二维随机向量的概率密度函数为求边缘概率密度.解：因为，当时，；其他情形，显然所以，X的边缘分布密度为 又因为，当时，其他情形，显然所以，Y的边缘分布密度为3.9 设二维随机向量的概率密度函数为求边缘概率密度.解，积分区域显然为三角形区域，当时，因此；其他情形，显然所以，X的边缘分布密度为同理，当时，因此其他情形，显然所以，Y的边缘分布密度为3.10 设二维随机向量的概率密度函

4、数为(1)确定常数c的值. (2)求边缘概率密度.解：(1)因为 所以 c = 6.(2) 因为，当时，所以，X的边缘分布密度为 又因为，当时，所以，Y的边缘分布密度为3.11 求习题3.7 中的条件概率分布.解：由T3.7知，X、Y的边缘分布分别是X13Y025P0.750.25P0.200.430.37(1)当X=1时，Y的条件分布为 即 Y025P1/51/37/15(2)当X=3时，Y的条件分布为 即 Y025P1/518/252/25(3)当Y=0时，X的条件分布为 即X13P3/41/4(4)当Y=2时，X的条件分布为 即X13P0.5810.419(5)当Y=5时，X的条件分布为

5、 即X13P0.9460.0543.12 设 X 在区间(0,1) 上随机地取值, 当观察到X = x(0 x 0,y0，都有 ,所以，X与Y是相互独立的.3.18 设二维随机向量的分布函数为讨论的独立性.解：因为 由于 所以，X与Y是相互独立的。3.19 设X 与Y 是两个相互独立的随机变量, 并且均服从区间(0, 1) 上的均匀分布, 求X+Y的概率密度函数.解：由于X 与Y均服从区间(0, 1) 上的均匀分布，故X 与Y的边缘密度函数分别为：，记,由于X 与Y 是两个相互独立的随机变量,根据书中72页（3.7.3）式,的概率密度函数可以写为当时,若，则；若或，被积函数为0，此时显然有.当

6、时，若,则，若或，被积函数为0，此时显然有；的其他情形,显然有=0. 综合起来，有此题也可以用先求分布函数然后再求导的方法来解,需要注意的一点是, 当时，积分区域要分成两个部分.3.20 设X 与Y 是两个相互独立的随机变量, 概率密度函数分别为求的概率密度函数.解：记,由于X 与Y 是两个相互独立的随机变量,根据书中72页（3.7.3）式,的概率密度函数可以写为，于是有3.21 设二维随机向量的概率密度函数为求的概率密度函数.解: 根据书中72页（3.7.1）式,的概率密度函数可以写为当时,若，则，若或，被积函数为0，此时显然有；当时，若,则，若或，被积函数为0，此时显然有；的其他情形,显然

7、有.综合起来，有3.22 设随机变量服从参数为的指数分布,并且与相互独立,求的概率密度函数.解：由于所以分布函数为由于服从参数为的指数分布，所以分布函数为 与相互独立，故的分布函数为对分布函数求导以后得的密度函数 3.23 设随机变量,并且与相互独立,求的概率密度函数.解：由于所以分布函数为由于，所以分布函数为 与相互独立，故的分布函数为对分布函数求导以后得的密度函数 3.24 设随机变量相互独立,并且都服从正态分布,求的概率密度函数.解：由于相互独立,根据P76公式（3.8.4），易知，于是的概率密度函数为： 其中，3.25 对某种电子装置的输出测量了5 次, 得到观察值.设它们是相互独立的

8、随机变量, 且有相同的概率密度函数, 求的分布函数.解：由题意，的分布函数为：又由于，是相互独立的随机变量, 根据书中77页（3.8.6）式, 的分布函数为： 3.26 设电子元件的寿命X(单位: 小时) 的概率密度函数为今测试 6 个元件, 并记录下它们各自的失效时间. 求(1) 到 800 小时时没有一个元件失效的概率;(2) 到 3000 小时时所有元件都失效的概率.解：电子元件的寿命X(单位: 小时) 的分布函数为：(1) 一个元件使用到 800 小时时没有一个失效的概率为=，由于6 个元件显然彼此独立，因此，到 800 小时时没有一个元件失效的概率为二、第三章定义、定理、公式、公理小

9、结及补充：（1）联合分布离散型如果二维随机向量的所有可能取值为至多可列个有序对，则称为离散型随机向量。设=的所有可能取值为，且事件=的概率为pij,称为=的分布律或称为X和Y的联合分布律。联合分布有时也用下面的概率分布表来表示： YXy1y2yjx1p11p12p1jx2p21p22p2jxipi1这里pij具有下面两个性质：（1）pij0（i,j=1,2,）；（2）连续型对于二维随机向量，如果存在非负函数，使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域D，即D=(X,Y)|axb,cyd有则称为连续型随机向量；并称为=的分布密度或称为的联合分布密度。分布密度具有下面两个性质：（1） 0;（2）

10、 （2） 二维随机变量的本质（3） 联合分布函数设为二维随机变量，对于任意实数,二元函数称为二维随机向量（X，Y）的分布函数，或称为随机变量X和Y的联合分布函数。分布函数是一个以全平面为其定义域，以事件的概率为函数值的一个实值函数。分布函数具有以下的基本性质：（1）（2）分别对和是非减的，即当时，有;当时，有;（3）分别对和是右连续的，即（4）（5）对于.（4）离散型与连续型的关系（5）边缘分布离散型X的边缘分布为；Y的边缘分布为。连续型X的边缘分布密度为Y的边缘分布密度为（6）条件分布离散型在已知X=xi的条件下，Y取值的条件分布为在已知Y=yj的条件下，X取值的条件分布为连续型在已知Y=y

11、的条件下，X的条件分布密度为；在已知X=x的条件下，Y的条件分布密度为（7）独立性一般型F(X,Y)=FX(x)FY(y)离散型有零不独立连续型f(x,y)=fX(x)fY(y)直接判断，充要条件：可分离变量正概率密度区间为矩形二维正态分布0随机变量的函数若X1,X2,Xm,Xm+1,Xn相互独立， h,g为连续函数，则：h（X1，X2,Xm）和g（Xm+1,Xn）相互独立。特例：若X与Y独立，则：h（X）和g（Y）独立。例如：若X与Y独立，则：3X+1和5Y-2独立。（8）二维均匀分布设随机向量（X，Y）的分布密度函数为其中SD为区域D的面积，则称（X，Y）服从D上的均匀分布，记为（X，Y）

12、U（D）。例如图3.1、图3.2和图3.3。y1 D1O 1 x图3.1yD211 O 2 x图3.2yD3dcO a b x图3.3（9）二维正态分布设随机向量（X，Y）的分布密度函数为其中是5个参数，则称（X，Y）服从二维正态分布，记为（X，Y）N（由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布，即XN（但是若XN（，(X，Y)未必是二维正态分布。（10）函数分布Z=X+Y根据定义计算：对于连续型，fZ(z)两个独立的正态分布的和仍为正态分布（）。n个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。， Z=max,min(X1,X2,Xn)若相互独立，其分布函数分别为，则Z=max,min(X1,X2,Xn)的分布函数为：分布设n个随机变量相互独立，且服从标准正态分布，可以证明它们的平方和的分布密度为我们称随机变量W服从