拉格朗日中值定理教学设计课题

1、实用文档教学设计第六章 微分中值定理及其应用§1 拉格朗日定理和函数的单调性题目：罗尔定理与拉格朗日定理一、教学目的：1. 知识目标：分别掌握罗尔定理和拉格朗日定理及对应的几何意义，掌握三个推论。2. 能力目标：首先让同学们知道微分中值定理包括四大定理（罗尔定理、拉格朗 日定理、柯西定理、泰勒定理），然后通过学习罗尔定理，类比学习理解拉格 朗日定理，培养学生分析、抽象、概括和迁移的学习能力。3. 情感目标：在教学过程中，让学生发现数学知识的融会贯通，培养数形结合的 思想，以及严密的思维方法，从而亲近数学，爱上数学。二、教学重点与难点：1. 重点：罗尔定理和拉格朗日定理，定理是基石，只

2、有基石牢固，大厦才能建的 Mi。2. 难点：罗尔定理和拉格朗日定理的应用与推广，以及这两个定理之间的区别 与联系。三、教学方法：教师启发讲授和学生探究学习的教学方法四、教学手段：板书与课件相结合五、教学基本流程：知识回顾引出定理，探究案例类比学习，理解定理实用文档升华、理解新知 课堂小结作业六、教学情境设计(1学时)：1、知识回顾费马定理：设函数f(x)在X0的某领域内有定义，且在X0可导。若X0为f 的极值点，则必有f (x0) 0。它的几何意义在于：若函数 f(x)在X X0可 导，那么在该点的切线平行于X轴。2、引出定理，探究案例微分中值定理是微分学的重要组成部分，在导数的应用中起着桥梁

3、作用，它包括 四大定理，分别是 罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理 和泰勒定理，先学习拉格朗日 定理的预备定理一一罗尔定理。定理6.1(罗尔(Rolle)中值定理) 若函数f满足如下条件：(i)f在闭区间a,b上连续；(ii) f在开区间a,b内可导；(iii) f a f b ,则在a, b内至少存在一点，使得f 0 .1罗尔定理的几何意义是说：在每一点都可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端实用文档点高度相等，则至少存在一条水平切线（图6 1）.证 因为f在a,b上连续，所以有最大值与最小值，分别用 M与m表示，现分两 种情况来讨论：（1）若m M ,则，f在a,b上必为常数，从而结论显然成立

4、.（2）若m M ,则因f a f b ,使得最大值 M与最小值m至少有一个在 a,b内 某点 处取得，从而 是f的极值点.由条件（ii）, f在点 处可导，故由费马定理推知f 0 .注 定理中的三个条件缺少任何一个，结论将不一定成立 （图62）。实用文档例 1 设 f 为 R 上可导函数，证明：若方程f x 0没有实根，则方程f x 0 至多有一个实根证 这可反证如下：倘若f x 0 有两个实根x1 和 x2 (设 x1 x2 )，则函数f 在x1,x2 上满足罗尔定理三个条件，从而存在x1,x2 ，使 f 0，这与 f x 0的假设相矛盾，命题得证3、类比学习，理解定理若函数满足如下条件：

5、定理 6.2(拉格朗日( Lagrange )中值定理)i f 在闭区间a, b 上连续；实用文档ii f在开区间a,b内可导，则在a,b内至少存在一点，使得f f b fa .2b a显然，特别当f a f b时，本定理的结论（2）即为罗尔定理的结论（1）.这表明罗尔定理是拉格朗日定理的一个特殊情形.证作辅助函数f b f aF x f x f a x a .b a显然，Fa f b 0 ,且F在a,b上满足罗尔定理的另两个条件.故存在 （a,b）,使F ( ) f ( ) f (a) f (b) 0 b a移项后即得到所要证明的（2）式。拉格郎日中值定理的 几何意义是：在满足定理条件的曲线

6、y f（x）上至少存在一点P（ , f （）,该曲线在该点出的切线平行于曲线两端点的连线AB,（如图63所示）定理的结论称为 拉格朗日公式。实用文档4、升华、理解新知注解Note 1.定理的几何意义：在y f(x)上至少存在一点P( , f(),该曲线在该点出的切线平行于曲线两端点的连线 AB。Note 2.定理只论证了 的存在性,(a, b),不知道的准确数值，但并不妨碍它的应用.Note 3.拉格朗日公式还有下面几种 等价表示形式:f (b) f (a) f ( )(b a), a b；(3)f (b) f (a) f (a (b a)(b a),o 1；(4)f (a h) f (a)

7、f (a h)h,01;(5)值得注意的是，拉格朗日公式无论对于a b,还是a b都成立，而 则是介于a与b之间的某一定数，而(4)、(5)两式的特点，在于把中值点 表示成了 a (b a),使得不论a,b为何值，总可为小于1的某一正数。例题讲解例2 证明对一切h 1,h 0成立不等式h ln(1 h) h 。1 h证设 f (x) ln(1 x),则ln(1 h) ln(1 h) ln11.实用文档当h>0时，由0< <1可推知h h1< 1 h 1 h,h.1 h 1 h当一1< h<0时，由0< <l可推得h h1> 1 h 1 h

8、0,h.1 h 1 h从而得到所要证明的结论。推论推论1 若函数f在区间I上可导，且f (x) 0,x I ,则f为I上一个常量函数.证 任取两点X1,X2 I (设X1 X2),在区间X1,X2上应用拉格朗日定理，存在(X1,X2)I ,使得f(X2) f(X1)f ( )(X2 X1) 0.这就证得f在区间I上任何两点之值相等.由推论1又可进一步得到如下结论：推论2 若函数f和g均在区间I上可导，且f (X) g (X), , X I ,则在区间I上f(X)与g(X)只相差某一常数，即f(X) g(X) c(c 为某一常数).推论3 (导数极限定理)设函数f在点X0的某邻域U(x0)内连续

9、，在U (X。)内可导，且极限lim f (X)存在，则f在点X。可导，且XX。实用文档(6)(x0,x),f(Xo)lim f (x).X X0证分别按左右导数来证明(6)式成立.(1)任取x U(x0), f(x)在xo,x上满足拉格朗日定理条件，则存在使得f(x) f(xo)f ( )x xo由于x0x,因此当x X时，随之有 X,对(7)式两边取极限，得limx xof(x)xf (xo)xolim f ( ) f (xo0)x x0(2)同理可得 f (x0) f (x0 0).因为lim f (x) k存在，所以f (x00) f (x0 0) k,从而x %f (x。) f (x。)k,即f(x。)k.导数极限定理适合于用来求分段函数的导数,例题讲解例3求分段函数一、 x sinx2, x 0, f (x)ln(1 x), x 0的导数。解首先易得21 2xcosx ,x 0,f (x)1,x 0.1 x实用文档进一步考虑f在x 0处的导数.在此之前，我们只能依赖导数定义来处理，现在则可以利用导数极限定理.由于lim f (x) lim ln(1 x) 0 f(0),x 0x 0lim f (x0 lim (x sin x2)0 f (0),x 0x 0因此f在x 0处连续，又因f (0 0) lim (1 2xcosx2) 1, x