2019-2020学年江苏省南京二十九中天润城分校九年级(上)期中数学试卷

1、2019-2020 学年江苏省南京二十九中天润城分校九年级（上）期中数学试卷一、解答题（共 6 小题，满分 12分）1（2 分）一元二次方程 x2 1的根是 （ ）A x1 x2 1 B x1 x2 1 C x1 1 ， x2 1 D无实数根2（2 分）已知 O的半径为 5，点 A与点 O的距离为 3，则点 A与 O的位置关系是 （）A点 A在 O 内 B点 A在 O上C点 A在 O 外 D不能确定3（ 2 分）有 15 位同学参加智力竞赛，已知他们的得分互不相同，取八位同学进入决赛，小方同学知道了自己的分数后， 想知道自己能否进入决赛， 还需知道这十五位同学的分数的()A平均数B众数C最高分

2、数D中位数4（2分）关于 x 的一2元二次方程 x（k 1）x 0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围为（)Ak1B k 1C k 1D k 为任意实数5（2 分）下列命题： 长度相等的弧是等弧任意三点确定一个圆 相等的圆心角所对的弦相等 外心在三角形的一条边上的三角形是直角三角形，其中真命题有（ ）A0 个B1 个C2 个D3 个6（2分）如图， Rt ABC 中， C 90 ，AC 4 ，BC 3 ，半径是 2的 O从与 AC 相 切于点 D 的位置出发， 在 ABC 外部按顺时针方向沿三角形滚动， 又回到与 AC 相切于点 D 的位置，则 O 自转了 （ ）A2 周B3 周C4 周

3、D5 周三、填空题（共 10小题，每小题 2 分，满分 20分）27（ 2 分）关于 x 的一元二次方程 4ax 2 4x 1 0 有两相等实数根，则 a9（2 分）已知实数x、2 y 满足 x 2 xy 2 0，则 x y的最小值为10（2 分）一组数据： 0，1，2， 1，3 的极差是11（ 2分）关于 x的一元二次方程 x2 7x 2m 0的一个根是另一个 2.5倍，则 m的值为122 分）若一组数据 3、4、5、 x、6 的平均数是 5，则这组数据的方差为132 分）圆锥的侧面展开图的圆心角是 120 ，其底面圆的半径为 2cm ，则其侧面积为 （2 分）四边形 ABCD 内接于 O

4、， AOC 108 ，则 B 的度数为14且 P 40 ，则弧 CD 的度数为5 的 A 经过 M 、 N ，则 A 点坐标为BC DA ， AD 、 BC 的延长线交于点 P，四、解答题（共 11小题，满分 88 分）178 分）解下列方程：21) x2 2 x 8 02) 3x( x 1) 2(x 1) 18（7 分）小明家的鱼塘中养了同种的鱼 2000 条，现准备打捞出售为估计鱼塘中这种鱼 的总质量，现从鱼塘中捕捞了 3 次，得到的数据如下表：捕捞次序鱼的条数平均每条鱼的质量 （ kg）151.52101.83152.1（1）根据表中所给数据，计算这次捕捞的每条鱼的平均质量是多少？（2）

5、如果这 3 次捕捞的每条鱼的质量的平均数能反映鱼塘中这种鱼的基本情况，并且这些鱼不分大小，都按 7.5 元 /千克的价格售出，那么小明家的收入大约有多少？ 19（ 7 分）为了从甲、乙两人中选拔一人参加射击比赛，对两人进行了一次射击测试，两 人 5 次打靶的成绩如下（单位：环） :甲： 8，7，10， 7，8乙： 9，5，10， 9，7 （1）请补充完整下面的成绩统计分析表：平均数中位数极差方差甲831.2乙83.2（2）如果你是教练，会选择谁参加射击比赛？请说明理由20（7分）已知：如图，A 、B 、C 、D 在 O上，AB CD 求证： AOC DOB21（7分）已知如图， E、 F 分别

6、在四边形 ABCD 边 AB、 BC上，在 CD上求作一点 P， 使 EPF BEF （不写作法，保留作图痕迹）22（8分）如图，大圆的弦 AB、 AC分别切小圆于点 M 、 N （1）求证： AB AC ；（2）若 AB 8 ，求圆环的面积23（ 8 分）商场某种商品平均每天可销售 80 件，每件盈利 60 元为了尽快减少库存，商 场决定采取适当的降价措施经调查发现，每件商品每降价 1 元，商场平均每天可多售出 2 件设每件商品降价 x 元据此规律，请回答：（1）商场日销售量增加件，每件商品盈利 元（用含 x 的代数式表示） ；（2）在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场

7、日盈利可达到4950元？24 （ 10 分） 已 知ABC 的 两 边 AB 、AC 的长是关 于 x 的 一元二次方程x2 （2k 3）x k2 3k 2 0的两个实数根， 第三边 BC的长为 5 1） 当k 为何值时， ABC是直角三角形；2） 当k 为何值时， ABC是等腰三角形， 并求出 ABC的周长 25（8 分）已知矩形 ABCD 中， AB 10， BC 4，点 P从点 A出发，以每秒 1 个单位长 度沿 AB方向向 B运动，点 Q从点 C出发，以每秒 2个单位长度沿 CD 方向向 D运动，如果P、 Q两点同时出发，问几秒后以BPQ 是直角三角形？26（ 8分）如图， Rt AB

8、C 中， ABC 90 ， A 30 ， AC的垂直平分线交 AC 边于点 D， 交 AB 边于点 O ，以点 O 为圆心， OB 的长为半径作圆，与 AB 边交于点 E （1）求证： AC 是 O 的切线；（2）若点 P为 O上的动点（含点 E， B），连接 BD、 BP、 DP 当点 P只在 BE左侧半圆上时，如果 BC / /DP，求 BDP的度数； 若 Q是 BP的中点，当 BE 4时，直接写出 CQ 长度的最小值27(10分)在平面直角坐标系 xOy中的两个图形 M 与N ，给出如下定义： P为图形 M 上 任意一点， Q 为图形 N 上任意一点，如果 P ， Q 两点间的距离有最小

9、值，那么称这个最小 值为图形 M ，N间的“和睦距离” ，记作 d (M , N ) 若图形 M，N有公共点，则d(M,N) 0 (1)如图， A(0,1)， C(3,4) ， C的半径为 2，则 d(C, C) ，d(O, C) ； (2)已知，如图， ABC 的一边 AC 在 x轴上， B在 y轴上，且 AC 8，AB 7 ，BC 5 D是 ABC内一点，若 AC、BC分别切 D于E、 F，且 d(C， D) 2d(D ， AB)，判 断 AB 与 D 的位置关系，并求出 D 点的坐标；若以 r 为半径， 中的 D为圆心的 D，有 d(B, D) 1，d(C, D) 2 ，直接写出 r 的

10、2019-2020 学年江苏省南京二十九中天润城分校九年级（上）期 中数学试卷 参考答案与试题解析一、解答题（共 6 小题，满分 12分）1（ 2 分）一元二次方程 x 1 的根是 （）A x1 x2 1B x1 x2 1C x1 1 ， x2 1 D无实数根【分析】 根据直接开平方法求出方程的解即可【解答】 解： x2 1 ，x 1 ，即 x1 1， x2 1，故选： C 【点评】 本题考查了根的判别式和解一元二次方程， 能选择适当的方法解方程是解此题的关 键2（2 分）已知 O的半径为 5，点 A与点 O的距离为 3，则点 A与 O的位置关系是 （ ）A点 A在 O 内B点 A在 O上C点

11、 A在 O 外 D不能确定【分析】 根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断【解答】 解：O 的半径为 5，点 A 与点 O 的距离为 3，即 A 与点 O 的距离小于圆的半径，所以点 A与 O 内故选： A 【点评】 本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系， 反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系3（ 2 分）有 15 位同学参加智力竞赛，已知他们的得分互不相同，取八位同学进入决赛， 小方同学知道了自己的分数后， 想知道自己能否进入决赛， 还需知道这十五位同学的分数的 （）A 平均数B 众数C最高分数D中位数第6页（共 27页）【分析】 由

12、中位数的概念，即最中间一个或两个数据的平均数；可知 15 人成绩的中位数是 第 8 名的成绩 根据题意可得： 参赛选手要想知道自己是否能进入前8名， 只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可【解答】 解：由于 15个人中，第 8 名的成绩是中位数，故小方同学知道了自己的分数后， 想知道自己能否进入决赛，还需知道这十五位同学的分数的中位数故选： D 【点评】 此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数的意义反映数据 集中程度的统计量有平均数、中位数、众数等， 各有局限性，因此要对统计量进行合理的选 择和恰当的运用4（ 2 分）关于 x的一元二次方程x2 (k1)x0 有两

13、个不相等的实数根，则 k 的取值范围为（)Ak1Bk1C k 1D k 为任意实数【分析】根据判别式的意义得到 (k1)24 1 0 0 ，然后解不等式即可【解答】解：一元二次方程 x 2(k 1)x0 有两个不相等的实数根，2(k 1)24 1 0 0 ，k1故选： C 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程22ax 2 bx c 0(a 0) 的根与 b2 4ac 有如下关系：当 0时，方程有两个不相等的实数根；当0 时，方程有两个相等的实数根；当 0 时，方程无实数根5（2 分）下列命题： 长度相等的弧是等弧任意三点确定一个圆 相等的圆心角所对的弦相等 外心在三角形的一条边上的三角形

14、是直角三角形，其中真命题有（ ）A0 个B1 个C2 个D3 个【分析】 等弧必须同圆中长度相等的弧； 不在同一直线上任意三点确定一个圆； 在等圆中相 等的圆心角所对的弦相等；外心在三角形的一条边上的三角形是直角三角形【解答】 解： 等弧必须同圆中长度相等的弧，故本选项错误 不在同一直线上任意三点确定一个圆，故 B 本项错误 在等圆中相等的圆心角所对的弦相等，故本选项错误 外心在三角形的一条边上的三角形是直角三角形，故本选项正确所以只有 一项正确故选： B 【点评】 本题考查真命题的概念以及圆心角，弧，弦等概念6（2分）如图， Rt ABC 中， C 90 ， AC 4 ，BC 3 ，半径是

15、2的 O从与 AC 相 切于点 D 的位置出发， 在 ABC 外部按顺时针方向沿三角形滚动， 又回到与 AC 相切于点 D 的位置，则 O 自转了 （ ）A2 周B3 周C4 周D5 周 【分析】 该圆运动可分为两部分： 在三角形的三边运动以及绕过三角形的三个角， 分别计算 即可得到圆的自传周数【解答】 解： Rt ABC 中， AC 4 ， BC 3 ，AB 5 ，圆在三边运动自转周数：43543，360 ，即一周；圆绕过三角形外角时，共自转了三角形外角和的度数： 可见， O自转了 3 1 4 周故选： C 点评】 本题考查了圆的旋转与三角形的关系，要充分利用勾股定理及圆的周长公式解答三、填

16、空题（共 10小题，每小题 2 分，满分 20分）7（2 分）关于 x 的一元二次方程 4ax2 4x 1 0有两相等实数根，则 a 1 【分析】 根据根的判别式得出当0 时，方程有两个相等的实数根，再求出即可【解答】 解： 关于 x 的一元二次方程 4ax2 4x 1 0 有两相等实数根，4a 0 且 42 4 4a 1 0 ，解得： a 1，故答案为： 1【点评】 本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）0方程有两个不相等的实数根；（2）0方程有两个相等的实数根；（3）0方程没有实数根8（2 分）在O 中，弦 AB 8 ，直径 EF 10 ，则点 O 到弦 AB 的

17、距离为 31分析】 连接OA，作OC AB于C ，如图，根据垂径定理得到 AC BC 1AB 8，然后 2根据勾股定理计算OC 的长即可【解答】解：连接OA，作 OC AB于 C ，如图，OCAB ，ACBC1AB4，2在 Rt AOC 中， OC OA2 AC 252 42 3，即点 O 到弦 AB 的距离为 3【点评】 本题考查了垂径定理： 垂直于弦的直径平分这条弦， 并且平分弦所对的两条弧也 考查了勾股定理9（2 分）已知实数 x、 y满足 x2 x y 2 0，则 x y的最小值为 1 【分析】 由已知得出 y x2 x 2 ，即可得到 x y x2 2x 2 （x 1）2 1 ，根据

18、二次函数 的性质即可求得 x y 的最小值【解答】 解： 实数 x 、 y 满足 x2 x y 2 0，2y x x 2 ，22x y x 2x 2 （x 1） 1，x y 的最小值为 1 【点评】 本题考查了二次函数的最值，得到 x y关于 x 的函数解析式是解题的关键10（2 分）一组数据： 0，1，2， 1，3 的极差是 4 【分析】 根据极差的定义即可求得解答】 解：由题意可知，极差为： 3 ( 1) 4 ； 故答案为： 4【点评】 此题考查了极差， 极差反映了一组数据变化范围的大小， 求极差的方法是用一组数 据中的最大值减去最小值211(2 分)关于 x的一元二次方程 x2 7x 2

19、m 0的一个根是另一个 2.5 倍，则 m 的值为 4【分析】 设另一个根为 x1 ，则其中一个根为 2.5x1 ，根据根与系数的关系即可求出 m 的值【解答】 解：设另一个根为 x1 ，则其中一个根为 2.5x1 ，关于 x 的一元二次方程是 x2 7 x 2m 0 ，x1 2.5x1 7 ， x1 2x1 2m ，解得： x1 2， m 4 ，故答案是： 4 【点评】 本题考查了根与系数的关系，一元二次方程ax2 bx c 0( a 0) 的根与系数的关系为： x1 x2 b ， x1 x2 c aa12(2分)若一组数据 3、4、5、 x、6的平均数是 5，则这组数据的方差为2【分析】

20、首先根据其平均数为 5求得 x 的值，然后再根据方差的计算方法计算即可【解答】 解：根据题意得 (3 4 5 x 6) 5 5 ，解得： x 7 ，则这组数据为 3，4，5，7，6 的平均数为 5，1所以这组数据的为s21 (35)2(45) 2(55)2(75) 2(65) 22 5故答案为： 2【点评】 本题考查方差的定义：一般地设 n个数据， x1， x2， xn的平均数为 x ，则方差S2 1(x1 x)2 (x2 x)2(xn x)2 ，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，n波动性越大，反之也成立13( 2 分)圆锥的侧面展开图的圆心角是120 ，其底面圆的半径为 2cm ，则其侧

21、面积为12 cm2 【分析】 首先根据底面圆的半径求得扇形的弧长， 然后根据弧长公式求得扇形的半径， 然后 第10页(共 27页)利用公式求得面积即可【解答】 解： 底面圆的半径为 2cm ， 底面周长为 4 cm ， 侧面展开扇形的弧长为 4 cm ，设扇形的半径为 r ， 圆锥的侧面展开图的圆心角是 120 ，120 r4，180解得： r6，侧面积为124 6 12 (cm2) ，2故答案为：212 cm 【点评】 考查了圆锥的计算， 解题的关键是了解圆锥的侧面展开扇形的弧长等于底面圆的周 长，难度不大14（2分）四边形 ABCD 内接于 O ， AOC 108 ，则 B的度数为 72

22、或108 【分析】 存在两种情况： B 是锐角或钝角，分别画图，根据同弧所对的圆周角等于圆心角 的一半可得圆周角的度数，最后根据圆内接四边形的性质得到结论【解答】 解：有两种情况：四边形 ABCD 内接于 O ，B D 180B 108如图 2，同理可得 B 72 ，故答案为： 108 或 72 【点评】 本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于 这条弧所对的圆心角的一半也考查了圆内接四边形的性质解答】 解：过 A作AB NM 于B，连接 AM ，MB NB ，半径为 5 的 A与 y轴相交于 M (0, 3) 、 N(0, 9) ，MN 9 3 6， AM 5

23、 ，BM BN 3， OB 3 3 6，由勾股定理得： AB52 32 4 ，点 A 的坐标为 （ 4, 6） ，故答案为： （ 4, 6） 【点评】本题考查了勾股定理和垂径定理， 能根据垂径定理求出 BM 和 BN 是解此题的关键 16（ 2分）如图， A、B、C、D在 O上， AB BC DA ， AD 、 BC的延长线交于点 P， 且 P 40 ，则弧 CD 的度数为 30 【分析】 连接 BD，根据 AB BC DA得到 AB BC AD ，得到 ABD ADB BAC ， 根据三角形的内角和列式计算即可【解答】 解：连接 BD、 AC ，AB BC AD ，AB BC AD ，ABD

24、ADBBACADBDBPPDBP40 ，ABCACB BAC 180 ，DBP40DBPDBP40DBP40 180 ，解得， DBP 15CD 的度数为 30 ，故答案为： 30 【点评】 本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形的内角和，熟练掌握圆周角定理是解题的关键四、解答题（共 11小题，满分 88 分）17（8 分）解下列方程：2（1） x2 2 x 8 0（2） 3x（ x 1） 2（x 1）【分析】（1）因式分解法求解可得；（2）先移项得到 3x（ x 1） 2（x 1） 0 ，然后利用因式分解法解方程 【解答】 解：（ 1） （x 2）（x 4） 0，x 2 0或 x 4

25、 0，解得： x 2 或 x 4 ；(2) 3x( x 1) 2(x 1) 0 ，( x 1)(3x 2)0，x 1 0或 3x2 0 ，所以 x1 1 ， x223【点评】 本题考查了解一元二次方程因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解， 这样也就把原方程进行了降次， 把解一元二次方程转化为解一 元一次方程的问题了（数学转化思想） 也考查了配方法解一元二次方程18（7 分）小明家的鱼塘中养了同种的鱼 2000 条，现准备打捞出售为估计鱼塘中这种鱼 的总质量，现从鱼塘中捕捞了 3 次

26、，得到的数据如下表：捕捞次序鱼的条数平均每条鱼的质量 （ kg）151.52101.83152.1（1）根据表中所给数据，计算这次捕捞的每条鱼的平均质量是多少？（2）如果这 3 次捕捞的每条鱼的质量的平均数能反映鱼塘中这种鱼的基本情况，并且这些 鱼不分大小，都按 7.5 元 /千克的价格售出，那么小明家的收入大约有多少？ 【分析】（1）根据平均数的计算公式求解即可；（2）根据每条鱼的平均质量总条数 总质量，总收入 总质量 7.5 ，即可得出答案解答】 解：（ 1）根据题意得：（5 1.5 10 1.8 15 2.1） 30 1.9（kg） ， 答：这次捕捞的每条鱼的平均质量是 1.9kg ；（

27、2）1.9 2000 3800（kg） ，3800 7.5 28500 （元 ）， 答：小明家的收入大约有 28500 元【点评】 本题考查了用样本估计总体的思想， 解题时要认真观察统计表， 从统计表中获取信 息19（ 7 分）为了从甲、乙两人中选拔一人参加射击比赛，对两人进行了一次射击测试，两人 5 次打靶的成绩如下（单位：环） :甲： 8，7，10， 7，8乙： 9，5，10， 9，7 （1）请补充完整下面的成绩统计分析表：平均数中位数极差方差甲8831.2乙83.2（2）如果你是教练，会选择谁参加射击比赛？请说明理由【分析】（ 1）根据中位数的定义求出甲和乙的中位数，再根据极差的定义用最

28、大值减去最小值求出乙的极差即可；（2）根据方差的意义方差越小数据越稳定即可得出答案【解答】 解：（1）甲： 7， 7，8，8，10，乙： 5，7，9，9， 10，所以甲的中位数是 8 环；乙的中位数是 9 环；乙的极差是： 10 5 5 ；故答案为： 8，9， 5； （2）选择甲参加射击比赛，理由：由表格可知，甲和乙的平均数一样，但是甲的方差小，波动小，成绩比较稳定，故选 择甲参加射击比赛【点评】 本题考查了中位数，方差的意义平均数平均数表示一组数据的平均程度中位数 是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平 均数）；方差是用来衡量一组数据波动大小的量20

29、（7分）已知：如图，A 、B 、C 、D 在 O上，AB CD 求证： AOC DOB分析】因为弦 AB CD，所以 AB CD ；然后根据圆心角、 弧、 弦的关系定理， 可以证得 AOC BOD 解答】 解： 弦 AB CD （已 知）AB CD ；AOB COD ，AOB BOC COD BOC ，即 AOC BOD 【点评】 本题运用圆心角、 弧、 弦的关系定理解题， 在同圆或等圆中， 如果 两个圆心角，两条弦，两条弧，两条弦的弦心距中， 有任意一组量 相等， 其他各组量都相等 21（7分）已知如图， E、 F 分别在四边形 ABCD 边 AB、 BC上，在 CD上求作一点 P，【分析】

30、如图，作 BEF 的角平分线 BK ，作线段 EF 的垂直平分线 MN 交 EK 于T，连接 FT ， 作线段 FT 的垂直平分线 JT 交直线 MN 于点 O ，以 O 为圆心 OF 为半径作 O 交 CD 于点P，连接 PE，PF， EPF 即为所求ETF BEF 180 ， 由圆内接四边形的性质可知： ETF EPF 180 ，EPF BEF ， 即 PEF 即为所求 【点评】 本题考查作图 复杂作图， 解题的关键是学会用转化的思想思考问题， 作图题目22（8分）如图，大圆的弦 AB 、 AC分别切小圆于点 M、N （1）求证： AB AC ；（2）若 AB 8 ，求圆环的面积是比较难的

31、【分析】（1）连结 OM 、ON ，根据切线的性质定理证明； （2）根据垂径定理、勾股定理计算即可【解答】（1）证明：连结 OM 、 ON ，AB、 AC分别切小圆于点 M、 N第17页（共 27页）AM AN ， OM AB ， ON AC ，AM BM ， AN NC ，AB AC ；（2）解：连接 OA ，弦 AB切与小圆 O相切于点 M ，OM AB ，AM BM 4 ，222在 Rt AOM 中， OA2 OM 2 AM 2 16 ，2 2 2S圆环OA OM AM 16【点评】 本题考查的是切线的性质、 垂径定理以及勾股定理， 掌握圆的切线垂直于经过切点 的半径是解题的关键23（

32、8 分）商场某种商品平均每天可销售80 件，每件盈利 60 元为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施经调查发现，每件商品每降价 1 元，商场平均每天可多售出 2 件设每件商品降价 x 元据此规律，请回答：（1）商场日销售量增加（2x） 件，每件商品盈利元（用含 x的代数式表示） ；（2）在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到4950元？【分析】（1）降价 1 元，可多售出 2 件，降价 x元，可多售出 2x 件，盈利的钱数 原来的 盈利 降低的钱数；（2）等量关系为：每件商品的盈利可卖出商品的件数 4950 ，把相关数值代入计算得到合适的解即可【解答】 解

33、：（ 1）由题意，可得商场日销售量增加（2x） 件，每件商品盈利 （60 x） 元故答案为 （2x）； （60 x） ；（2）由题意得： （60 x）（80 2 x） 4950化简得： x2 20x 75 0 ， 解得 x1 5 ， x2 15 该商场为了尽快减少库存，x 5 舍去，x 15 答：每件商品降价 15元时，商场日盈利可达到 4950 元【点评】 本题考查了一元二次方程在实际问题中的应用， 明确成本利润问题的基本关系并正确列式，是解题的关键24 ( 10 分) 已 知ABC的两边 AB 、 AC的长是关于 x的一元二次方程x2 (2k 3)x k23k 2 0的两个实数根， 第三边

34、 BC的长为 5 (1) 当k 为何值时，ABC是直角三角形；(2) 当k 为何值时，ABC 是等腰三角形， 并求出 ABC的周长 分析】(1) 先利用因式分解法求出方程 x2 (2k 3)x k2 3k 2 0 的两根为x1 k 1，x2 k 2 由于 k 1 k 2，得出 ABC是直角三角形时， 斜边 长不可能是 k 1 再分两种情况进行讨论：如果 (k 1)2 52 (k 2) 2，且 k 2 5，那么 ABC是直角三角形； 如果 (k 1)2 (k 2)2 52，且k 2 5， 那么 ABC 是直角三角形；(2) 根据等腰三角形的性质， 分三种情况讨论： AB AC ， AB BC ，

35、 BC AC ；后两种情况相同， 由根与系数的关系得出 k 的值即可 【解答】 解： (1) 解方程 x2 (2k 3)x k2 3k 2 0 ，得 x1 k 1， x2 k 2 k 1 k 2 ，ABC 是直角三角形时， 斜边长不可能是 k 1如果 (k 1)2 52 (k 2)2，且 k 2 5，那么 ABC 是直角三角形，解得 k 11，符合题意；如果 (k 1)2 (k 2)2 52，且 k 2 5 ，那么 ABC 是直角三角形，解得 k 2 ，符合题意；综上所述， 当k 为 11 或 2 时， ABC是直角三角形；2） ABC 是等腰三角形，当 AB AC 时， b2 4ac 0 ，

36、22(2k 3)2 4(k23k 2)解得 k 不存在；当 AB BC 时，即 AB5，5 AC 2k3， 5ACk23k 2 ，解得kAC当 BCAC时， 即 AC5，同理求得 ABABC 的周长为 14 或16点评】本题考查了一元二次方程的解法，直角三角形的判定， 等腰三角形的性质， 根的判别式， 根与系数的关系，利用分类讨论是解题的关键25（8 分）已知矩形 ABCD 中， AB 10， BC4 ，点 P 从点 A 出发，以每秒 1 个单位长度沿 AB方向向 B运动，点 Q从点 C出发，以每秒2 个单位长度沿 CD 方向向 D 运动，如果【分析】 根据矩形的性质得到 AB CD 10，

37、BC AD 4， A C 90 ， AB /CD ， 求得 CQB PBQ ， 如图 1， PQB 90 时，过 P作 PE CD 于E ，根据相似三角形4的性质得到 t 2，t 4 ，如图 1，当 BPQ 90 时，根据矩形的性质即可得到结论3【解答】 解： 四边形 ABCD 是矩形，AB CD 10， BC AD 4， A C 90 ， AB /CD ，CQB PBQ ，BPQ 是直角三角形， 如图 1 ， PQB 90 时，过 P 作 PE CD 于 E ，则 DE AP， PE AD 4，PEQBQP C 90 ，EPQPQEPQE CQB 90 ，EPQ CQB ，PQE QBC ，

38、PE EQ ，CQ BC ，410t2t ，2t4解得：t2，t 4 ，3如图1，当BPQ 90 时，APQ90四边形 APQD 和四边形 PBCQ 是矩形，CQ PB ，10 t 2t ，解得：10综上所述， P 、 Q两点同时出发，经过 0s或 4s或2s或10秒后以 33BPQ 是直角三角形【点评】 本题考查了矩形的判定和性质， 相似三角形的判定和性质， 正确的作出辅助线是解 题的关键26（8分）如图， Rt ABC 中， ABC 90 ， A 30 ， AC的垂直平分线交 AC边于点 D， 交 AB 边于点 O ，以点 O 为圆心， OB 的长为半径作圆，与 AB 边交于点 E （1）

39、求证： AC 是 O 的切线；（2）若点 P为 O上的动点（含点 E， B），连接 BD、 BP、 DP当点 P只在 BE左侧半圆上时，如果 BC / /DP，求 BDP的度数；若 Q是 BP的中点，当 BE 4时，直接写出 CQ 长度的最小值分析】（ 1）连接 OC ，证明 ODC OBC 即可（2）利用平行线的性质解决问题即可如图 2 中，连接 OP ，取 OB 的中点 J ，连接 JQ 想办法求出 JQ ，JC ，根据 CQ JC JQ 即可解决问题OC ACB 60 ，OD 垂直平分线段 AC ，OA OC ，A OCA 30 ，OCBOCD 30 ，ODCOBC 90 ， OC OC ，ODC OBC(AAS) ，OD OB ，AC 是 O 的切线2)解：如图 1中， DP/ /B