导数双变量专题

1、导数-双变量问题1 .构造函数利用单调性证明2 .任意性与存在性问题3 .整体换元一双变单4 .极值点偏移5 .赋值法构造函数利用单调性证明形式如：|f(x1) f(x2)| m|x1 x2 |方法：将相同变量 移到一边，构造函数1,0 ,不等式 | f(x) f(x2)| m 恒1 ,如果对xi,x2 (0,)，有一，一239，一1.已知函数f(x)(x3.已知函数f (x) aln(x 1) x区间(0,1)内任取两个实数p，q，且P q时，若不等式3)(x9)对任意x1,x224成立，试求m的取值范围。2. 、一2.已知函数 f (x) (a 1)ln x ax 1 .设 a | f(x

2、i) f(x2)| 4| xi x2,求实数a的取值范围f(P 1) f(q 1)1恒成立，求实数 a的取值范围。1 24.已知函数f(x) X 2Xl,X20, ，且 X2若不存在，说明理由.练习1 :已知函数f(x)11| f(X1) f(X2)| |-X1 X2alnX (a 2)X,a R .是否存在实数 a,对任意的f(X2)f(X1) a，恒成立，若存在求出 a的取值范围,X2 X1.2 _ ._.,aln x x，右a 0、且对任息的 不，沟1,e,者B有|,求实数a的取值范围.练习2.设函数f (x) lnmx 一，m R.若对任意b a x八 f(b) f(a),0, 1恒成

3、立,b a求m的取值范围1 25.已知函数f(x) -Xax a 1 lnx,a 1(1)讨论函数的单调性(2)证明：若a 5,则对任意的X1,X20,且 X2 Xi 有 f(X2) f(X1)X2 X成立6.设函数 f x emX X2 mX(1)证明：f x在,0单调递减，在 0,单调递增;(2)若对于任意X1,X21,1,都有|f(X1) f(X2)| e1,求m的取值范围。任意与存在性问题a1.已知函数fx x ，gx xlnx,其中a 0 . x(1)若函数y f x在1,e上的图像恒在y g x的上方，求实数a的取值范围.(2)若对任意的xi, x21, e( e为自然对数的底数)

4、都有 f xi g x2成立,求实数a的取值范围.整体换元一一双变单2.1.已知函数f (x) ax ln x.(I)求f (x)的单调区间;(n)当a 0时，设斜率为k的直线与函数 y f(x)相交于两点 A(x1, y1) B(x2,y2)(x2 x1 ),求证：x1x2 11练习1.已知函数f (x) x2 2x, g(x) log a x(a 0,且a 1),其中a为吊数，如果 2h(x) f(x) g(x)在其定义域上是增函数，且h(x)存在零点(h (x)为h(x)的导函数)(I)求a的值；(II )设 A(m, g(m), B(n, g(n)(m n)是函数 y g(x)的图象

5、上两点,g (xo) -g(n)一g(m) (g (x)为g(x)的导函数),证明：m xo n.n m练习 2.已知函数 f(x) ln x ax 1,g(x) -1x2, a R；2(1)已知a 2, h(x) f(x) g(x),求h(x)的单调区间；(2)已知 a 1 ,若 0x1x21 , f (t)f (x2)f (x1)(x1tx2),求证：t当一x2x2 x12练习3.已知函数f xxe ,xRi a的大小,并说明理由。2.已知函数f x ln x ax有且只有一个零点，其中 a0.(I)求a的值；(II)设h x f x x ,对任意ox21,XiX2 ,证明：不等式x一x2

6、 vrx1x2 x1 x2 1 恒成立.h x1h x22 K x2、_3 .已知f(x) 2ln x x ax在(0,)内有两个零点x1，x2,求证：f () 0。2练习.已知函数f(x)=lnx mx (mCR),若函数f(x)有两个不同的零点x1，x2,求证：xix2e2.2 ._4.已知函数 f(x) x ln ax a 0(1)若 f xx对任意的x 0恒成立，求a的取值范围f x(2)当a 1时，设函数g(x) ，若x1?2 x-,1 ,x1 x2 1 ,求证：x1x2x1e4x? O对称轴问题X /的证明1.已知函数f x xe x(1)求函数f x的单调区间和极值；(2)已知函

7、数y g x的图象与函数y f x的图象关于直线 x 1对称.证明：当x f x g x ;如果x2x1，且fxfx2，证明：x1x221时,2.已知函数 f xax x2 xlna a 0,a 1(1)求函数f x的单调区间；(2)a 1 ,证明：当 x 0, 时，fx f xx20 ,求a的取值范围若对任意x2x1 ,且当f x,fx2时，有X练习.已知函数f x x ln x -(1)求函数f x的单调区间和极值；2(2)如果x2x1,且 fx1fx2，证明：x1x2 e赋值法1 .已知函数fx rxx 1rx0，其中r为有理数，且0 r 1(1)求f x的最小值；(2)试用(1)的结果证明：若a1 0,a2 0,b,b2为正有理数，若b b2 1 ,则a； aa1bi a2 b2(3)将(2)中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明。2 .已知函数 f x lnx,g x In x 1 In x, 0,1 ；(1)证明：x 1),g x 0恒成立(2)若正数1, 2满足12 1，证明：对于任意正数X x2,都有f 1x12x21f K 2 f x2(3)若正数1, 2, 3满足123 1,试类比(2)的结论，写出一个正确的结论，并证明。1 322.已知函数x) 3x x x , g(x)x2 2x a(1)讨论方程f(x) k (k为