2010考研数学（二）真题及试题分析

1、承载理想，启航未来 2010考研数学（二）真题及试题分析一、  选择题：18小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一选项是符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定的位置上.（1）函数的无穷间断点的个数为（A） 0 （B） 1 （C）2  （D） 3答：应选（B）.解析：只有间断点. 由于，所以容易计算得故 无穷间断点只有.（2）设是一阶线性非齐次微分方程的两个特解，若常数使是该方程的解，是该方程对应的齐次方程的解，则（A）        （B）（C）   

2、            （D）答：应选（A）.解析：由是该方程的解得又是一阶线性非齐次微分方程的两个特解，所以 即 .同理由是该方程对应的齐次方程的解可得 即 故 （3）曲线与曲线相切，则（A） 4e （B） 3e （C）2e  （D） e答：应选（C）.解析：设）曲线与曲线相切的切点为，则 即 （4）设均是正整数，则反常积分的收敛性（A） 仅与的取值有关          （B） 仅与的取值有关（C） 与

3、的取值都有关                （D） 与的取值都无关 答：应选（C）解析：这是以为瑕点的瑕积分仅当均收敛时，瑕积分才收敛，否则就发散.这里不能按反常积分敛散性概念通过求原函数的极限的方法来判断敛散性，因而只能按反常积分敛散性判别法来判断。这里的被积函数是正值函数，有如下法则：设在上非负，在可积，又设是的瑕点，且则当时瑕积分收敛.由 又为正整数有收敛.所以反常积分的收敛性与的取值都有关 。（5）设函数，由方程确定，其中为可微函数，且，

4、则（A）   （ B） （C） （D） 答：应选（B）. 解析：方程两边分别对求偏导数，注意，由复合函数求导法得： 解出得. （6）（A）            （B）（C）              （D）答：应选（D）.解析：将和式做如下变形：上式可以看成两个定积分的积分和的乘积：因此, .（7）设向量组 可由向量组线性表示.下列命题正确的是（A） 若向量组线性无关，则&#

5、160;      （B）若向量组线性相关，则 （C） 若向量组线性无关，则      （D）若向量组线性相关，则答：应选（A）.解析：因为向量组 可由向量组线性表示，所以若向量组线性无关，则，则.其余选项结论均不能得出，可以举简单的反例说明其不正确.（8）设A为4阶实对称矩阵，且，若A的秩为3，则A相似于      （A）          &#

6、160;         （B）        （C）                  （D） 答：应选（D）.解析：由知 那么对于有，因此矩阵A的特征值只能是-1或0.又因A是实对称矩阵，A可以相似对角化（即），而的对角线上的元素既是矩阵A的特征值，再由相似矩阵有相同的秩，可知二、填空题：9-1

7、4小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）3阶常系数线性齐次微分方程的通解为解析：方程特征方程为，即 ，于是得特征根为因此，通解为，其中为任意常数.（10）曲线的渐近线方程为解析：由于，所以无水平渐近线. 显然可知无垂直渐近线.由 ，得斜渐近线方程为.（11）函数在处的n阶导数解析：利用麦克劳林公式可知 所以 其中（12）当时，对数螺线的弧长为解析：按极坐标系下弧长的计算公式，该对数螺线的弧长为（13）已知一个长方形的长以的速率增加，宽以的速率增加，则当时，它的对角线增加的速率为解析：由题意知的变化速率分别为对角线长记为A，即，两边分别对求导得当时A=13，所以即对角线

8、增加的速率为.（14）设为3阶矩阵，且，则解析：利用单位矩阵恒等变形有可见 三、解答题：1523小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）(本题满分10分)求函数的单调区间与极值解析：原函数可转化为：先求导 由解得进一步得因此，的单调减区间是 ，单调增区间是.极大值，极小值（16）(本题满分10分)（）比较与的大小，说明理由；（）设 求极限.解析；（）先比较0,1区间上的被积函数.易知，对任意有，则.又 若记，可补充定义则在连续且因此 即 . （）易求得由题（）有：由夹逼定理知（17）（本题满分11分）设函数由参数方程所确定，其中具有2阶导

9、数，且，已知，求函数.解析：用参数求导法求出的表达式，再由已知条件导出的二阶微分方程的初值问题，最后解出.由已知条件有 即，这是可降阶类型的二阶微分方程的初值问题，令，得，即 .两边同乘 得 两边积分，并用代入求得，再次求积分，并用代入求得（18）(本题满分10分)一个高为的柱体形贮油罐，底面是长轴为，短轴为的椭圆. 现将贮油罐平放，当油罐中油面高度为时（如图），计算油的质量. （长度单位为，质量单位为，油的密度为常数）解析：油的质量，其中是油的密度常数，是油的体积. 贮油罐平放后油的体积是一直柱体的体积，其中是该柱体的截面积，是圆柱体油罐的高，截面如图所示，是整个椭圆除去部分，即，其中是的面

10、积.于是 因此，油的质量 （19）(本题满分11分)设函数具有二阶连续偏导数，且满足等式.确定的值，使等式在变换下化简为.  解析：是的函数，在变换下，变成的函数. 先由复合函数求导法，导出对的一，二阶偏导数与对一，二阶偏导数间的关系，然后将方程变形，确定，化成.由复合函数求导法可得代入原方程得选使得把的值代入第三个式子中验证得 或 （20）(本题满分10分)计算二重积分，其中解析：这是某二重积分的极坐标表示，从表达式来看，在极坐标系中计算不方便，现现把它变回直角坐标系中，这就要确定与积分区域. 由D的极坐标表示：，可知D的边界线是：现改为先对积分，再对积分的顺序来配置积分限，有（21）(本题满分10分)设函数在闭区间0,1上连续，在开区间（0,1）内可导，且证明：存在，使得解析：这是证明的导函数存在某种特征点，要证：存在，使得 即，即证 依题设分别位于与区间，因此我们对分别在与上用拉格朗日中值定理，有 存在，使得，即 ；存在，使得，即 两式相加得， 即（22）(本题满分11分)设. 已知线性方程组存在2个不同的解，（）求；（）求方程组的通解.解析：（）因为线性方程组存在2个不同的解，所以由 知当时，必有.此时线性方程组无解.而当时，若，则，方程组有无穷多解.故，.（）当，时，所以方程组的通解为，其中是任意常数.（23）(本题满分11分)设，正交矩阵使得为对角