导数常用地一些技巧和结论

1、H<+ 1) < 1 H1f“+ 1 '加强版诩工千】标准导数常用的一些技巧和结论X 取 一 + 1 x-1 > In r2 -<&已 £ Inxx证明调和级数不收敛：+4>】nS + l) 12 Min 2-In 3 -In 笈？一 打累乘消项嘴项一，基础练习题：L讨论函数/(x) = 2- (*>0)的零点的个数；2 .讨论函数/(a - = ev(l - xJ - 2x) - a, (x > 0)的零点的个数;3 .讨论函数/(# = e*-4,的零点的个数；厂4 .讨论函数/(工)= ln+ L/的零点的个数；x5 .

2、讨论函数> > 0j(x) =的零点的个数；时，讨论函数/(0=14-欧的零点的个数；e文案标准文案标准1.关系式为“美”型 /伍）+/卜）之。构造上加）1="/+/wl <2> rf (.r)+/(x)>0 构造切3=4 +/(灯<3）y（x）+M”之。的道卜了（刁=/（£）+叱了（工"小.仪）+矶4 （注意对工的符号遂行讨论2.关系式为“需'型<1> /（X）-/（X）N。构造 出 =fO； "/曲“=（）-，（*） 一夕,（2）xfx）-fix>0 构造|"£5=&q

3、uot;坐1&xf(x)-nf(x)>Q 构造 Jxnf (x)-nx>f(x)_ xf (x)-nf(x)w-i<v（注意对x的符号进行记论）文案标准1、111(2： + 1) XX > 1 2、+ l(x G R)3、Inrr)2(£ -1)£ + 1( 2 1)2(i 1)4、In ar W (0 V 度 W 1)七+ 15、lii£ W (rr)(部21)2 x6、In 二)工(n -工)(0 < a; W2 x7、ln(l + a;) > £-(x > 0)2文案标准(2017年全国新课标1 理

4、1 )已知f X2xxae a 2 e x.(1)讨论f x的单调性;(2)若f x有两个零点，求a的取值围.解析:2ae2x a 2 ex 12exx ae0恒成立，所以f x在R上递减;0,令 f '11,x a1ln .aln 1 时,a0,所以,ln上递减;,1ln 一时,a0,所以在In综上,0时,x在R上递减;(2)有两个零点，必须满足f x min构造函数x 0.易得g'0时,0,上递增.上递减，在ln1,a上递增.0,x min所以lna1 ln 0.aInx单调递减.又因为g0,所以ln1 a卜面只要证明当01时,有两个零点即可,为此我们先证明当0时,x ln

5、 x.事实上，构造函数易得h' x 1x min1,所以 h x 0 ,即 x In x.a 1时,a eae2 22 e0,f InIn其中1 ln1 ln0,ln" a_ 11,ln 和aln” a a上各有一个零点.故a的取值围是 0,1文案标准注意：取点过程用到了常用放缩技巧。2x万面：ae2 ex x 02x aexaex 3 aa 3 0ex x In - 1 ；a另一方面：x0时,ae2xx 1 （目测的）第一组：对数放缩（放缩成一次函数）ln x（放缩成双撇函数）In常用的放缩公式（考试时需给出证明过程）ln1In x 一20x1,In x x x、.xIn

6、x（放缩成二次函数）In（放缩成类反比例函数）ln x1 1, inxx2 x 1In x 第二组：指数放缩（放缩成一次函数）ex（放缩成类反比例函数）（放缩成二次函数）第三组：指对放缩ex In x x 1第四组：三角函数放缩sin x x tan x x 0文案2xx,In 12xx1 2x2sin x x工x2, 12cosx12 sin x .2标准第五组：以直线y x 1为切线的函数几个经典函数模型经典模型一:ln x f或x【例lnax的零点个数.(2)(3)(4)1 ia 一时,e1 ia 一时,e文案无零点.1个零点.1 , 一 一时，2个零点.e0 （目测），lnxmaxxm

7、axea0.0.In e0,其中e.（放缩）0时,0,其中e.（用到了In x1个零点.0,单调递增ae（经过换元和等价变形之后均可以转化到例ln xax):0.标准1 .讨论f x ln x mJX的零点个数（令 JX t , m a）；212 .讨论f x x mln x的夺点个数（令 一 a）； m一心外一人、2f x3 .讨论f xvx ln x mx的手点个数（考虑 g x-=-）；4.讨论f xIn x xmx的零点个数（考虑3bfx,令 t x2 3 , 3 m a）； 2225 .讨论f x ln x mx的手点个数（令t x , 2m a）;6 .讨论f x ax ex的零点

8、个数（令 ex t）xxe ,、 e经典模型二：y 一或y 【例2】讨论函数f xex ax的零点个数（1） a 0时，1个零点.ex ax单调递增.1e" 1c ，1，一，0,所以在一,0上有一个零点;af X mmf lna a 1 lna0；（4） a e时，2个零点.,1 a 八f e 1 0, f 1 e a 0, f 2ln a aa a 2ln a a e 20.【变式】（经过换元和等价变形之后均可以转化到例题x2： f x e ax）：文案标准1 .讨论f x e2x mx的零点个数（令2x t, m a）； 2xe m ,一，,，2 .讨论f x =的零点个数（去分

9、母后与 1等价）； x e3 .讨论f x ex mjx的零点个数（移项平方后与 1等价）；x 24 .讨论f x e mx的零点个数（移项开万后换兀与1等价）；5 .讨论f x ex 1 mx的零点个数（乘以系数 e,令em a ）；6 .讨论f x n-x mx的零点个数（令 x et,转化成2） x、一x 1一一 . m7 .讨论f x e mx m的零点个数（令 x 1 t , a）； e经典模型三：y xlnx或y xexa【例】讨论函数 f x In x 的零点个数x（1） a 0时，1个零点.Inx -单调递增.xa ,1 aa 0, f 1 a In 1 a0.1 1 a 1

10、a 1 a（2） a 0时，1个零点（x0 1）-1 , 一一（3） a 一时，无手点 e文案标准x mina In(4) a1 , 一，-时，1个零点.eX0minln1e1(5)e0时,2个零点.lna2 1 a【变式】（经过换元和等价变形之后均可以转化到例题3：ln x1.讨论f xa ln x的零点个数;2.讨论Txln x的零点个数（考虑g，令 xt)；3.讨论4.讨论a的零点个数; xax二的零点个数（令e t）；e找点问题中的常见函数模型之间的关系Xv=一In.r同理，可以转化成才的其他任总次舞，剩卜的四个函数亦然1练习题x21.已知函数f x x 2 e a x 1有两个手点，求 a的取值围.文案标准2.设函数f xe