共边定理典型题解析

1、共边定理典型题解析作者:日期:APB 面积： A Q B 面积=PM : Q M共边定理图：四种位置关系1如图，4ABC 中，D、E分别是 AB、AC边上的中点，用面积方法证明：DE/BC且DE= 1 BC.2证明： D、E分别是AB、 AC边上的中点, . ADE ： B DE = AAD E ： ACD E= 1 ： 1 .BDE= ACD EDE/ B C.ZDB C=/ADE 由共角定理得：AADE/ABC =AD- DE/AB BC=1/4- AD= 1A B . .D E=1 BC.22这里，证明平行用到了平行的基本命题，证明线段的比值用到了共角定理.传统证法中，要用到全等三角形、

2、平行四边形或相似三角形，同时要作辅助线构成全等、相 似、或平行四边形例2: （198 3年美国中学数学竞赛题）如图的三角形A BC的面积为10,D、E、F分别在边 BC、C A、AB上，且 BD = 2 ,DC=3,若/ BCE与 四边形DC E F的面积相等，则这个面积是（）5 10 一一一A. 4 C, 5?D.6?B.?E.不确定3解:由 BCE与四边形DC E F的面积相等，在四边形BCEF中分别减去 这两个面积，得 BFD与 BFE同底且面积相等，所以 BF/DE,可以得 到AB为边的两个三角形 ABD与 AB E面积相等，因为三角形A BC 的面积为1 0,且BD= 2 ,DC=

3、3 ,所以AA BD的面积等于4 ,即AA BE 面积等于4,所以AB CE的面积等于1 04= 6,故选C.馆是一道由面积相等推知两线平行的典型题目例3:对角线互相平分的四边形是平行四边形.证明：OA = OC, OB = O D,由共角定理得： AO B/4 C OD=OA OB =OC OD=1 ?即 AOB=4COD , 共底的两个三角形 AC B=4 C BD ,AD / BC；同理可证AB / CD答:常常是共边与共角两个定理都会用到。利用面积相等，并且面积比中有相等的线例4:（等腰三角形两腰上的高相等 ）已知:如图,AB =AC,CE，AB于E,BD±AC于D,求证：B

4、D = CE.CE=- AC-B D2问:共边定理怎么证线段相等?段，消去等量，于是剩下的也是等量之比。1解：由二角形面积7E理得：SAABC = A B2本题是直接用等底三角形面积相等推出高相等，相比于全等三角形证法要简洁得多。例5:如图，已知A D平分/ BAC , BD±AD,DE /A C,DE交AB于F点求证：BE=EC.证明：连接C、F,由平行线性质 彳导DFC = DFA;由 AD 平分/ BAC , D F/ A C,可得/ FAD = Z FDA, . AF=FD由 BDXAD ,得/ FB D= / FDB ,BF=DF;AF = B F即 B E =EC . .

5、 DFB=ADFA; DFC = DFB ;BE : EC=AD FC : ADF B = 1 : 1 ,本题是用共边三角形面积相等推出线段相等。例 6:如图， A BC 中，AB = A C,BD = CE,求证：DF=EF.证明：连接CD、BE, AB=AC ，/。巳（:与/巳 CE互补，由共角三角形定理：4DBC : ABCE=BD BC : CE BC.AB = AC, BD=CE414DBC = 4BCE,再由共边定理得：4DBC : BCE = DF : F E =1 ： 1 .DF=EF.本题先用共角三角形定理证得 DBC与 BCE面积相等，再由共边定 理推出线段相等。相比于先作

6、平行线构造全等三角形 ，再由全等三角形证线 段相等的证法，面积法显然更巧妙。1 一例7 :在等腰直角三角形 ABC的斜边BC上取一点D ,使DC BC ,作3BE AD交AC于E,求证：AE1证明：连结CF,由DC BC,得图中两个阴影三角形的面积之比为1 ：2,即:AFC：3AFB=1 ： 2,又由BE AD,等腰直角三角形 ABC的条件，得'.'AB =AC, B D =CE ;/1+/2=/ 3 +/2= 9 0°,1 = Z 3,由共角定理得：AF A C ： AB- B F=A AFC ： A F B=1 ： 2.A F ： B F = 1 ： 2 ,由 4

7、AFB 与 AEB 相似，得 A E : A B=1 : 2 , < AB=AC. .A E =EC本题先用CD : DB=1 ： 2得到两个阴影三角形的面积之比为1 : 2,再由共角三角形定理证得 AF : BF=1 ： 2 ,过程相当简洁明了。问：共边定理怎么证比例线段？ 答:共边定理最适合用来求同一直线上的两条线段的比值 ，或反过来，已知同一直线上的两条线段的比值求共边三角形的面积比。由于共边定理有四种位置图形却对应同一个比值 ，所以 怎样选取最合适的两个三角形就成为正确解题的关键。也因为图形选择的差异 ，造成了不止 一种解法。只有通过一定的练习量，才能做到迅速正确地选择适当的共边

8、三角形。例1:已知在AB C中，D为B C的中点，E为A D的中点，BE的连线交 AC于F.求证：AF = - AC .解答：构造以BF为公共边的两个三角形4ABF和 DBF,则由两个中点的条件，得三个三3角形4ABF和DBF、DCF面积都相等，由图易得AF = ABF =,所以AF =AC.FC CBF 23例2: ABC中,D是BC上的一点，BD=2,E为AD上一点， 些二二，求 DCED 4AF BEFC' EFAF 解答：构造以 BE为公共边的两个三角形 ABE和CBE,则 =FCABEAF 1,由图易得=-.CBEFC 6RE构造以A D为公共边的两个三角形 ABAD和FAD

9、,则 EFBAD AF 1由=-,设AF AD= 1,则4 FDC=6,.,.AA DC = 7;由FAD - FC 6BEBAD 14=一.EFFAD 1BD.=2 彳导AB A D= 14, DC例3:（三角形角平分线性质定理 ）如图，AD平分/ BAC,求证:证明：AD平分/ BAC,由共角三角形定理： ADB ： AD C =AB AD : AC A D= A B : AC又 ADB : AADC=BD : CDAB ： A C=BD : DC .问:全等和相似方法在新概念几何中应当保留吗？在新概念几何中，可以由面积法先推导出正弦定理和余弦定理，再推出全等三角形判 定定理和相似三角形判

10、定定理，实际上，新教材中可以完全不用全等和相似方法.但作为欧式 几何的宝贵遗产，在许多问题中它们有明显的优势，为了让两种教材更好地兼容 ，各取所长,减少新几何推广的阻力，张景中也是主张保留全等和相似方法的.洲如下面这道题目，三种解法就各有利弊.1在ABC内任取一点 P连接PA、P B、PC分别交对边于 X、Y、Z点.C求证:PX + PY +%=1 AX YB ZC证明：这是一道用共边定理证明的典型好题，在传统证法难以入手的题中，正好是共边定理一个极其简单的直接应用，只要用P点与各边分成的每一个小三角形与大三角形相比再相加，立即得到结论！整+ PY + PZAX YB ZCPBC PCA PA

11、BABC ABC ABC直线XY与BC的延长线交于Z点.求证AXBZCY:.XB, ,ZCYA .=1证明 AXBZCYAAXZ出XZACXZ: ，XBZCYA .-出XZCXZMXZ例（梅涅劳斯定理）:在 ABC的两边取X、 Y,=1.也是一步!GLDBK-DBK（以BD为公共边的两个三角形的面积比DBLKBL （乘以同一个三角形 KBL,化为两组面积的FLKF证明：KF =FLDBK=x2著名数学大师华罗庚在1 9 78年全国中学生数学竞赛题解前言中 ，给出了这样的一道 几何题：如图，凸四边形ABCD的两边DA、CB延长后交于K,另外两边AB、DC延长后交 于L对角线DB、A C延长后分别

12、与KL 交于F、G.KF KG求证：=KBL DBL比）=DC XKA （化为两组线段的比）CL ADDAC KAC=-DAC xJKAC （化为有同一个三角形 DAC的两组面积的比LAC DAC=*C=KG （消去公共三角形，化为线段的比）LAC GL，按照传统方法步.骤相当这道题的的难点在于没有全等，没有相似，也没有给定的比值在熟悉了共边定理以后， 这一类题多,也不易理解，所以2 0多年没有人给出简单巧妙的解.真的变简单了 问：怎样用面积法证面积题?答：已知比例求面积的题目，传统证法往往不易找到思路，所以成了难题，往往在中小学数学竞赛中出现.其实，这类题使用共边定理是最好的方法.4:如图，

13、四边形A BCD中，4AOD面积=2, D OC面积=3? COB面积=6,求AOB面积.解法1 ：.AOD 面积：口） C面积=2 ： 3= AO ： OC= 4AOB 面积 :COB面积，; COB面积=6 .AOB面积=4解法2:.A OD 面积：DO C 面积=AO ： OC=4AOB 面积 ：ACOB 面积，.A OB面积以 DOC面积二4COB面积XA AOD面积这里得到一个新的定理：四边形对角线分成的四个三角形中，相对的两个三角形面积的乘积与另一组相对的两个三角形面积的乘积相等用上这个定理，就可以跳过共边定理直接用最后一步解题了.AAOB 面积=2X6+3 =4 .5 （17届希

14、望杯全国赛初二第二试19题）：延长线交AC于E,若SABC = 10，则 S ABE =如图，等腰 A BC中,AB = A C,P点在BC边上的高:EC=斛： S ABE - S DBE =A P ： P D = 1 ： 2?- S DEC = S DEB 即 S ABE , S DBE , S DEC =1二4；, 2 . 2，, S ABC =10, S ABE =2； S DECAE : E C = S aed S ced =1 - 46AAB C 中,D点在B C边上，且BDDC1 、，一 一,P点在B C边上的局A D 3上'且需BP的延长线交人(2于£,若S a

15、bc1 8,则 S ABE，S DECAE : EC=斛：S ABE ' S DBE ' S DEC =1 ：,则 S ABE 二3, S DECAE : EC=1 : 57如图：4ABC中,E为中点，A D ： DC=2 : 1AEBF面积是15,求ABC的面积.解：连结CFE为中点且4EBF面积是1 5;.E CF 面积= E BF 面积=15; AD ： D C = 2 ： 1. A FB 面积： FCB 面积=2 : 1AAF B面积=60 ,E为中点.ACF面积=4AF B面积=60.A BC 的面积=1 5+ 1 5+60+ 6 0 = 150.8:如图所示，已知在

16、平行四边形A BCD中，AE ： EB1 ： 2.(1 )求4人£5与4CDF的周长比；(2)如果 S abcd =6平方厘米，求S A ADE.解答：.AE : EB=1 ： 2 AE ： A B = AE ： CD=1 : 3,由 A EFs CDF,可得它们的周S a ade= - Saa bd = S a a bcdSabcd = 6 平方厘米 S aade=1 平方厘米.；例11 :如图所示,BD, CF将长方形ABCD分成4块， DEF的面积是4cm2,ACED的面 积是6 c m2.问：四边形ABE F的面积是多少平方厘米？CD3DC, ABCB D解:由图1得：观察图

17、2,连结 A PC=3： 1解：连ZBFJAB DF面积= （： DF面积=10, .B EF面积=6;设面积为x,则有: 4x= 6 X6, x= 9 ; BDC面积=1 5，长方形 ABCD面积=3 0二.四边形 ABEF的面 积是15-4=11平方厘米 9如图，FB、AD、EC互相平行,AABC的面积为1,求FDE的面积。解：由 AD / EC,得4ADC = AA DE,同理 AB D=AAFD ,得ADE+MFD= AABC=1又由 FB / E C ,得 AEC B=EC F,AA BC+AACE= AEF+ACE即 ABC= AAEFnAFDE= AA E F +AADE+ AF

18、D= 210如图，已知三角形A BC面积为1,延长 AB至D,使BD=AB,延长 BC至E,使CE=2B C ,延长CA至F,使AF=3AC,求三角形D EF的面积。 解:连结B D,E C ,由已知条件可得，0 AB=1, DBE=2 , CBE = 2, FC E=6,A FCD = 6,ADEF= 1+1+2+2 + 6 +6= 1 8这题也是面积法最基本的题型.11在 ABC的三边BC、CA、AB上分别取点 D、E、F,使 BD = C E=3AE , AF = 3FB,连AD、B E、CF相交得三角形 PQR,已知三角形 的面积为13cm2,求三角形PQR的面积. P QR= AABC - (AA BP + AB CQ+CAR);PC,由 CE= 3 A E,得 APE ： CPE= 1 : 3,又由 B D= 3D C ,得 APB :设AA PE= 1,则PE=3,AAPB = 1 2,AABE = 1 3 ;由 CE = 3AE,得 AB E ： AA BC = 1 ： 4 ,