13页练习-专插本高等数学

1、第一章 函数、极限和连续注：补充例题或习题已在题号前标注例 1（ 1）求函数 f xln x 21 的定义域 .（ 2）求函数 fxx2 1例 2 设函数 g x x2 ， f g xln x 2，则 f 1例 3 已知 f x ln 1x ， f xx ，求x.、函数1 x2 , x 2 的定义域 .3x 2, 2 x 3例 4 若 1 x 1 ，则 x .例 5 已知 f x 的定义域为全体实数， f x 1 x x 1 ，则 f x 1例 6 判断函数x lg x x2 1 的奇偶性 .二、极限例 1 求下列各题的极限1） limx2 1x01 sin2x2 .（2）lim x3 23x

2、2 2x .（3）x 2 x2 x 6lxim11x12x2 14） limx2 2xxx2 x例 2 设当 x 0 ， 1 ax2 1和 sin2 x 是等价无穷小，则 a 例 3 当 x 0时，下列变量和 x 为等价无穷小量的是（）.A. sin 2xB.1 cosx C. 1 x 1 x D. xsinx例 4 求下列各题的极限1） lxim0tan2xsin5x .（2）lxim0tanx sinx3sin x例 5 求下列各题的极限1m0 lix ）1mlix）32x32xmlix）2mlixax 2ax（其中 a 为常数）*例 5 求下列各题的极限1x x x xa b c x（

3、1） lim.（ 2） limx 0 3 x例 6 求下列各题的极限1 cosxx2.（3）lxim01 tanx 1x 1 sin2 xsinx1） limxsin x.（2）limx2x cosx3x x 1x在下列函数中，当 x 0 时，函数 f x 极限存在的是（）1,x 0,B.fx1,xx1,C. f x120,0 D. f x1） limnlimxna0xn1a1xm1an 1xanb0xm b1xm 1 . bm 1x bm1 exlimn已知2n sin 2xn .（4）2 lim x x 3 xkx 33函数的连续性设函数 f设函数 f设函数 flim 1x04，1sinx

4、,xk,1xsinxx 2,2xa,bx,x21,x,2 x,cos2xxsin2xx2 ax b 求常数 k的值.（6）已知 lim x2 ax b x 2 x22，求常数2a,b的值 .0 在其定义域内连续，求常数k 的值 .1,求下列函数的间断点并说明间断点类型1在上连续，求常数 a,b 的值 .1，讨论 f x 的间断点及其类型 .2x2x1 3x2.（2）1 x 1 x22x证明方程4x导数和微分2x 在 0,122 ，求证 f内至少有一个实根 .x 在 0,2 内至少有一个点 x0 ，使 ex0 2 x0 .第二章 一元函数微分学设 y f x 在 x0 处可导，则h2x0fm0l

5、ih例8A. f例9（3）（5）三、例1例2例3例4（1）例5例6一、例1f x0x f x0xlimx0例 2 求下列函数的导数ln x （1） y1 ln2x.（2） y arctan ex .（3） y sin32x sec2 ex 1 .（4） y 2 x（ 5） y f x2x ，其中 f u 及 x 均可导 .6)已知 f u 可导，求 f ln xnxanxa7)设yx1，x1arctanx2 ，求 yx08)为二阶可导函数，且21 sin x f tanx 2 cos2 x，求 f x .例 3 函数 fx,ln 1 x ,0 在 x 0 处是否连续，是否可导，为什么？0cos

6、x,例 4 设函数1） f x在x例 5 设函数例 6 设曲线例 7 设函数例 8 设函数例 9 设函数处是否可导？22x, ax b, x2)若可导，求曲线过点,0 处的切线、法线方程 .21在 x 1处可导，求常数 a,b 的值.1x 2 上存在切线和直线2x 由方程 sin xf x 由方程 x3 y3x2 31 xxx 22 2 ，求1 xx 23xyy.y 4xxy 确定，1确定，1 平行，求切点 .求 ddyx求 ddyxx0例 10 设函数 yx2 sin x ，求 y .例 11（ 1）设 y（n 2） xcosx ，求 y（n）.（2）设 y ln 1 x ，求 y（n）.2

7、，求ddyx和ddx22y .1.已知函数 yf x 在 x a 处可导，求f a 3 x lim x02. 求下列函数的一阶导数1） y ln3 arcsin x ln 2.（2）xxsinx lnx 2.（3） y 2lnx .（ 4） y arctan x2 1 1 tanxln xx23. 用对数求导法求下列函数的一阶导数arcsin x1） y1 x2x1 x2例12已知 x e cost ，求当 t 时dy 的值. y et sint3 dxx arctan t*例 12已知参数方程 y 1 ln 1 t2练习题4. 求下列隐函数的一阶导数1） y 1 xey . （2）ex yc

8、os xy 0.5. 求下列函数的二阶导数1） y ln x 1 x2 . （ 2）x e yx6. 求下列函数的微分arcsin 1 x2, x 0 .1） y arctan1 x22. （2）y1 x27. 写出下列曲线在所给参数值相应的点处的切线方程和法线方程3at x2x sint 1 t 21），在 t处. （2）1 t2 ，在 t 2处.y cos2t 4 3at 2y 1 t2 二、导数的使用例 1 不用求函数 f x x 1 x 2 x 3 x 4 的导数，问方程 f x 0 至少有几个实根，并指出其 所在范围 .例 2 函数 f x 1 3 x2 在 1,1 上是否满足罗尔定

9、理或拉格朗日定理 .例 3 设函数 y f x 在 a,b 上连续， 在 a,b 内可导，且在任一点处的导数都不为零， 又 f a f b 0 ，试证：方程 f x 0 在开区间 a,b 内有且仅有一个实根 例 4 利用洛必达法则求下列极限x1） lim e 12 x .（ 2）x 0 sin 2 xmmxalxima n n .（ 3）x a x alimx1xln x4） limx0x2ln x.例 5 求下列函数极限1） lim 1x012x x .2）limx0sinx.（3）limx2x2xx2x m lix m li1cos 2xxe sinx sin x6） limx 0 1 c

10、osx例 6 证明不等式1）1xxlnx x, x2）x2arctanxx, x 0 .n1* （3） nbnabn na,（ab 0,na1）.*（4）aln abab abb,（a0）例 7 证明不等式x,x1,0 .例 8 证明下列不等式2 x 1 1） ln xxx1.（ 2）当 02 时， sinxtanx 2x.（3）当x1 时， 2 x例 9 求函数 f xx2x2e x 的单调区间和极值 .x例 10 求函数 y2 的凹凸区间和拐点 .1 x2例 11 求函数 y x4 2x 10 的驻点、拐点、凹凸区间、极值点、极值 例 12 求函数 y x 1 3 x2 的凹凸性和拐点 .

11、22例 13 求函数 y 3 x2 2x 在 0,3 上的最值 .例 14 求下列曲线的水平渐近线及铅垂渐近线x1） y 1 xx2 .（2）y1.练习题1.不求出 fxx 1 x 4 x 7 的导数，问方程x12.证明方程 ex 1 x 2 0 仅有一个实根 .x 0 至少有几个实根，并求出根所在的区间3.求下列函数的极值 .（1） f x2x2 x4.（ 2） f xx2 e3 9 24.当a为何值时，点 1,3 是曲线 y ax3 92x 第二类换元法的拐点 .第三章不定积分和定积分5.（ 1）求曲线 fx3x520x37x5的凹凸区间及拐点.（ 2）求曲线 y 3 x 的拐点6.证明下

12、列不等式1 1x（1）当 x 1 时，x ee x.（2）2cosxx0.27.设 f x 在 a,可导，且 xa 时 fxk0，其中k 是常数 .证明：若 f a0，则方程fx0在f a,aa上有且仅有一根 .kx、不定积分1例 1（ 1）已知 f x e xdx1 exC ，求 f1x .（ 2）已知 xf x dx arcsin x C，求 dx . fx二、积分法 （一）直接积分法（公式法） 例 1 求下列不定积分21 3 x dx.（ 2）x 11）1 dx.（ 3）x2 1 x2 dx.4） 3x ex dx .（ 5）xx2x 3x x dx .6x6）2dx.例 2 求下列不定

13、积分（1） sin2 xdx.（ 2）2 （二）换元积分法 1. 第一类换元法（凑微分法） 例 1 求下列不定积分cos2xsin2 xcos2 xdx .3）1 cos2xdx.（4）tan2 xdx.1）x2xe dx .（ 2）2arctanxdx.x23）32sin xcos xdx.4）x x xe sine dx. *（ 5） e dx.5）1 dx.x 1 x6）dx.4x 57）exdx.8）arctan xdx.x 1 x例 2 求下列不定积分1） sin2 xcos2 xdx.14cos x3）dx.sinx4）1 dx. cosx例12xdx a 0 .22ax例21x2

14、 1 x2dx. 例 3x2 4dx.1例 4（ 1）dx.1 1 x2）1 xdx.（3） 3 x 1 dx.（4）1 dx.1 ex3 3xex三）分部积分法例 1（ 1） x2 cos xdx.（ 2）2xexdx.（3）ln xdx.（ 4）arctan xdx .（ 5）ex sin xdx.（ 6） sin lnx dx.* 例 1 sec3 xdx.例 2 已知 f x 的一个原函数是2x ，求 Ixfx dx.四）一些简单的有理函数的积分1例 1（1） 22dx.（2）x2 a22 1dx.x2 2x 33）2 1dx.（ 4）x2 6x 10x x12 1 dx.x x 1练

15、习题1.计算下列不定积分1）3x 4x tan231x dx.（ 2）3x2x1 e x dx .（ 3）tan xsec3 xdx.4）2x x2dx.5）dx.5x 68）arcsinxdx .（ 9）x26）x2dx.（ 7）122dx.x 4 xn x 4dx.（ 10）lnln x n dx .x三、定积分（一）牛顿 - 莱布尼兹公式（二）变上限积分（三）定积分的计算1. 定积分的换元积分法（换元同时换限）ln2例 1 计算ex 1dx.01例 2 计算 2021x x2dx2. 定积分的分部积分法1例 1 计算 2 arcsinxdx .0例 2 计算下列定积分11） 0 x ar

16、ctan xdx .（ 2）2e21 xlnxdx.（3） 0 xcos xdx .（ 4） 1 sin lnx dx.例 3 计算定积分 4 sin xdx .0（四）定积分的综合题【热点】例 1 求下列各题的导数1)xtetdt .x2）x32 1 tdt .x22x*例 1 已知1f 2t dt1f x dx .0例 2 求下列各题的极限x2arctan tdt1) lim 0x0x32）limx0sinxtdt0tanxtdt03）limx0xt2et20x dt.（此题 HB 补充）例 3 用积分变换证明等式1）证明x * 1 2 dxx 1 x21x2 dx2）设 f为连续函数，证

17、明xf sinx dx0 f sin x dx .例 4设 f xx12 dt,0 t2 4t 5x cost dt ，0 2 t （五）定积分的性质【热点】 参见习题 5-1（2012 年最后一题考查了性质例 5设 f x0,1 ，求 ff x dx.x 的最大值和最小值 .6，性质 7 历年未考查过）练习题4. 设 f x 为连续函数，且x 0 ， x a,b ， F xxf t dta1 dt ， x ta,b，证明方程N，证明f3f514证明2f0x dx1.112xfxln2x.1.设 f n 04 tann xdx， nx2. 0 x t f t dt 1 cosx ，x lnt3

18、.设 f x lnt dt ，证明 f1 1 tF x 0 在区间 a,b 上有且仅有一个实根 .x25.设 x 3xt2 1dt ，求 x 的极值 .0x*5 设 f x 连续，求 d tf x2 t2 dt.dx 023例 2 求抛物线 y2 2px p 0 和直线 y x p 所围成的图形的面积 .例 3 求抛物线 y x2 4x 3 及其点 0, 3 和点 3,0 处的切线所围成的平面图形的面积2例 4 求曲线 y x2 ， x 2和直线 y 0所围成的平面图形绕 x 轴旋转后生成旋转体的体积例 5 试求抛物线 y2x2 在点 1,1 处的切线和抛物线自身及x 轴所围成的平面图形绕 y

19、 轴旋转后所得旋转体的体积 .（二）平面曲线的弧长 包括直角坐标情形和参数方程情形例 1 计算曲线 y32x2上相应于 x从 a到b的一段弧的长度x a sin例 2 计算摆线 ， 0 y a 1 cos五、广义积分的计算例 1 计算下列广义积分2 的长度 .x21） 0 xex dx.（2）x 2dx.x23）1x lnx3dx.（4）12xdx.2第四章 多元函数微积分一、多元函数的定义例 1 写出下列二元函数 z f x,y 的几何意义（表示何种空间曲面）（1） z ax by c.（2） zR2 x2 y2 .（3） z x2 y2 .（4） z x2 y2.二、二元函数的定义域例 1

20、 求下列函数的定义域（ 1） z4x2y2 .（ 2） z lnx2y21 .（3）z xy .（4） zx yxy三、多元函数的偏导数例 1 求函数 f x,yxy, x,yx,y0,0在原点 0,0 的偏导数0,022 xy0,例 2 设 z tan x yyx，求 zx和 z . y例 3 设 z xe xy sin xy ，求 z 和 z . xy四、全微分的概念例 1 求 z arctan xy 的全微分五、复合函数的偏导数例1设z2 u2v ， u x y ， v xy，求z和 z . xy例2设zv u， u 3x2 y2， v 4x2y，求z 和 zxy例3设zfxy, x ，

21、求 dz.y*例 3设 zf22x,x2 ，求 dz.例4求zf2x 3y,exy 的全微分 .2 f z*例 4设 z f x,u x2 u， u cos xy ，求 和 . xx六、隐函数的导数及偏导数例 1 设 z z x,y 由下列方程确定，求 z 和 z .xy（ 1） x 2y z2 xyz0.（2）2 2 zx z lny222*例 1设 x2 y2z2 4z0，求z2x七、高阶偏导数22例 1 设 z yesin xy ，求z2 和zx2xy*八、高阶复合偏导数参见习题 9-4 的第 12 题（考纲未明确此部分内容，历年未考察过）xey z2 y1） z ln xx2 y2 .

22、（ 2）练习题2.设xzln ，求z和zzyxy3.设z exyz 确定 zfx, y ，求z和zxy4.设zln x2 xy2y2，证明xzyz2x1.求下列函数偏导数z 和 z ：yxy八、重积分）二重积分的定义 二）直角坐标下二重积分的计算 x2 xy y2 dxdy ， D例 1 计算x,y 0 x 1,0 y 1 .例 2 计算2x ydxdy， D 由 x 0 ，0 和 x21所围成的第一象限的图形例 3 计算sin xdxdy ， D 是由直线 xx 和抛物线2y x2 所围成的区域 .例 4 计算2x y dxdy， D由 y1，2x y 30， x y 3 0 围成.D（三）

23、利用极坐标计算二重积分例 1 计算 e x2 y2 dxdy ， D 是圆心在原点，半径为 a的圆. D22 2 2例 2 计算 ln 1 x2 y2 d ， D 是圆周 x2 y2 1及坐标轴围成的第一象限内的闭域 D练习题1.设ln x2 y2arctan y ，求 z 和 zx x y2.设2x ye sin x2y ，求 z 和 z . xy3.设ln 12x3y2 ，求 dz.24.设 3xy x1确定 y是 x的函数，dydx xy 125.求 yexy dxdy ，D其中积分区域D 是由y 轴，y 2及 xy 2 所围成的平面区域 .6.求 2 ydxdy ，式中积分区域 DD

24、由 2 x2y11 x2 所确定 .7. 变换积分次序，并计算积分1 x y2 dx x ey dy022 1 y2 dx x ey dy .2y2 1， x 0 ， y 0所确定 .22 xy8.计算 e 2 dxdy，式中积分区域 D 由 x2 D第五章 常微分方程、微分方程的基本概念d 2x 2 例1验证 x C1coskt C2sinkt（C1、C2为任意常数）是方程 ddt2x k2x 0的通解.0d 2x 2例 2 已知方程 2 k2x 0的通解为 x C1coskt C2sinkt ，dt2t0dxA，求 dtt0使函数满足所给的初始条件件下的特解 .例 3 确定下列函数关系式中的常数，1)y2 C ，x05.2)C1 C2x2xe ， yx00，yx01.3)C1sin xC2 ， y1， y二、可分离变量的微分方程 例 1 解微分方程 dy 2xy.dx例 2 求下列方程的通解1） 1 x2 y.（2）ddyx10x y .（ 3） cos x sin ydx sin xcos ydy 0.（4）2 dydx0.y sinx