从Logistic模型走向混沌

1、a=2.700,1020 30.40.50607050.91实用标准从Logistic 模型走向混沌为进一步了解混沌的意义，我们考虑离散动力系统Xnf(Xn), n =0,1,2,川这是一个差分方程.微分方程通过差分化可化为差分方程.种群(昆虫)模型中 按代计算其种群数(虫口数)而两代之间不重迭时便可用差分方程表示， 此时其模 型又称为虫口模型.最简单的虫口模型是Logistic方程Xn4 =，UXn(1-Xn)(*)这是一个单参数离散动力系统，如图Q昌小卜/ |彦田？1090.80.7060.50.40 30.20.10函数有两个不动点.如有Xi=X0,称Xo为不动点，当Xn = Xo而X0

2、,X|J| ,Xn互不相等时称X0为周期n点.易证明当0儿3时不 管初值小w (0,1)如何方程的解即n T8时的点Xn均收敛于不动点X = 1 -°.而当3 九 1 W6时初值 儿(0,1)的方程(6.60)的解收敛于两个周期2点区,12 (又2#羽).因此九=3为方程精彩文档实用标准（6.60）的分支点.随着儿的逐渐增大，方程（6.60）从两个周期2点变为四个周期 4点，再八个周期8点，等等.这种逐步加倍的分支称为倍分支.用计算机可绘 出方程（6.60）的参数与周期点关系的倍分支图，如图（6.35）.当 九3.569945673*时方程（6.60）出现混沌解.xn （n = 0,

3、1，川）可能不收敛于任何点，到处游荡，是一个奇异吸引子.且存在对初值的敏感性卢R ，蠡噌仁昌#4工 白粕 柏逸盘归IQ 8tM即3 R10111213141516E：X (1)=0 1;y(l)=O;for i=2：2：lODOy(i)=a*x Ci)* Q-w (i); x(i+l)=yG)； yG+l)=/G); endplot 6, y);hold an;*=0:0,01:1;1=4. *W. * (l-w)plot Gfj w)： plot (*, z);Mid off'小(ogistic.mlog： -,tie r'lid3scriptLn 10 Col 11精彩文档

4、实用标准n 旷IIIIIIM0.10.20.3040.50.60,7030.91精彩文档实用标准1口/口膏kA/您QQa=3.580 0J 0.20.30 4050607080 91口 不口昌/户门a=4000.10.20.30.40.50.60.70.80.9精彩文档实用标准onm膏 MA4/用刀门a=383500,102030 40.50.60.70.60.91图（6.34） 虫口模型精彩文档实用标准t o33449 3.5443.6494 A混沌区A图（6.35）倍分支图精彩文档实用标准V图(6.36 ) Lorenz方程的Foincare映射对线段上的连续映象，李天岩和York曾给出著

5、名的“周期3蕴涵混沌”的 定理(Li-York混沌定理) 设I是一个区间，f : I t I连续.如I中有一点 a,使 b = f (a), c = f (b), d = f (c)满足dWa<b<c或d之aAbc(6.(61)则对每一个k =1,2，用，在I中有f的一个周期k的周期点.且I中有一个 不含周期点的不可列集S,满足(A)对 S 中的每两个 P,q 有 ® fn(p) fn(q) >0,lim|f n(p)-fn(q) =0 .(B)对S中的每一个p及I中的周期点q有欣fn(p)-f n(q) >0Li-York定理给出了混沌的严格数学定义.后来人

6、们就把满足Li-York定理 结论的集合称为Li-York混沌集.后来发现，可以将相空间中Lorenz方程的轨线 通过Pocincare 映射映射为z = c-1平面上的F(u, v),而进一步可分解为精彩文档实用标准F(u,v) =( f (u), g(u,v).而f(u)满足线段映射存在混沌的Li-York定理条件，如图(6.36)所示，从而说明Lorenz方程存在混沌28,31.图(6.36) Lorenz 方程的 Poincare 映射李天岩和York首先给出了混沌的数学定义，但仅对线段映射而言.后来又出现各种混沌的定义，而且发现了多种满足混沌性态的系统，如Henon映射、强迫Duff

7、ing方程等.同时进一步探讨通向混沌的道路，研究判断混沌的各种方 法，以及发现在物理、力学、化学、气象、股票市场等自然科学、社会科学中的 混沌.由Lorenz方程引发的混沌的概念出现后，人们发现已在早期研究过的KAM定理、Smale马蹄、Melnikov定理中亦存在混沌，这是与Li-York混沌不同的另 一类型的混沌.后面将接着进行介绍(见§6.6).C.典故(8) Lorenz吸引子 E.N.Lorenz 毕业于麻省理工学院(M.I.T.)气象系，1948 年起在 M.I.T.做博士后工作，主要兴趣在全球和大陆尺度的大气结构动力学.1955年得到了 M.Thoma酬职而空缺的位置和

8、科研项目.项目是用计算机统计 天气预报，当时用的是线性统计方法.他接手后提出用不是线性类型的方程组进 行检验.选择了大大简化被滤波的数值天气预报方程式，并购买了内存为4k32bi字长的小型计算机，一次乘法约17ms打印一行数字约10s.开始时选择14个变量的方程组，经压缩又压缩，最后变成12个.参数中包含驱动模式天气所需要的 外热源的强度和分布，这样可以改变参数进行试验.但总是出现毫无用处的稳定精彩文档实用标准状态.经多次试验后，最后发现了一个解，它明显地模拟出在用水模拟地球空气 的转盘实验中所观察到的振荡.这时，他认识到需要一个解是非周期的方程组才 可能否定线性预报.这是1959年，他准备将

9、这碰巧找到的一个合适的方程组及其 试验结果写成“动力方程组解的统计预报”报告参加在东京举行的数值天气预报 会议.在进一步进行试验时，数值方法是以6小时为增量计算未来天气，4步即1 天打印1次12-14个变量值，约1分钟模拟1天.为把打印出的数值排成1行， 数值四舍五入到三位数字.有一次，为了更为详细地检查，决定重复某些计算.停机后重新输入再进行计算，他在走廊上喝了一杯咖啡，约1小时，计算机已模 拟了 1个月的天气.但打印出不同的数值，开始以为是真空管或其他计算机部件 坏了.经检查才发现是输入时因舍入误差引起的.从而发现了方程组的解对初值敏感这个混沌现象 .1961年到 M.Thomas建立的旅

10、行者天气中心访问时， B.Seltzmann告诉他用下面加热产生的对流流体运动的7个方程的方程组的数值解中有一个解稳定不下来，经查看其中4个变量很快变得非常小.他回到M.I.T., 取仅有3个变量的方程组，得到了他长期寻找的系统.这便是Lorenz方程，它并 不能非常好地描述实际对流运动，主要说明一个确定性的系统能以最简单的方式 表现出非周期的形态.当时是湍流研究的热潮.他以“确定性的湍流”为题投稿气 象科学杂志，编辑认为方程缺少湍流的性质，改以“确定性的非周期流”发表 . 由于Lorenz方程的解有界但是在两个不稳定状态中交替且不规则地振荡，与一 般的吸引子不同，是一个奇异吸引子.1963-

11、1964年Lorenz在气象科学杂志 等杂志上发表了 4篇有关论文.但仅在气象学家中流传.1972年Lorenz还为美国 科学发展协会会议准备一份报告和新闻公报，其题目为“可预报性：在巴西一只蝴蝶翅膀的拍打能够在美国得克萨斯州产生一个龙卷风吗？”. Lorenz被称为“蝴蝶效应”提出者，混沌理论之父.Lorenz于2008年4月16日逝世，享年90岁. 虽然Lorenz已发现了混沌现象.但还需要靠数学家的努力才能得到科学界的公 认，成为一门新学科，这是另一个故事了 (见后)文39(9) Li-Yorke 混沌的故事 混沌的定义是首先由李天岩和 J.A.Yorke在论 文”周期3蕴含混沌”中给出

12、的，这篇开创混沌新学科的文章的发表经过后来由 李天岩作了介绍.1972年左右李天岩是美国马里兰大学的研究生，他的博士导师 J.A.Yorke在大学的“流体动力学与应用数学所”工作，所里有一个气象研究项精彩文档实用标准目，由A.Felle教授主持.1972年A.Felle教授将Lorenz所写的关于“气象预 测”模式所的4篇文章介绍给Yorke教授，认为文章过于理论化、数学化，也许 搞数学的会比较感兴趣.他们读了那些文章，觉得很有意思.1973年4月，Yorke在办公室中对李说“我给你一个好的思想”.这即是 Li-Yorke定理，其原始出发点在Lorenz的文章中，李当时即说“这太适合数 学月刊了！”两个星期后，李完全证明了这个定理.他们写好文章，真的投给数 学月刊.但给退了回来，认为过于偏向研究性，不宜发表，或转寄或修改.因文章内容与李的博士论文无关.李把它压了下来.1974年是马里兰大学数学系的生物数学“特别年”，请了著名的普林斯顿大 学R.May教授来校讲学，最后一次介绍 Logistic离散模型，提及当参数较大时 迭代值在整个区间中四处跑，他无