2立体几何中地向量方法及详解——向量法求线线角与线面角

1、实用标准高二理科数学导学案4)§ 3.2立体几何中的向量方法向量法求线线角与线面角、学习目标1 .理解直线与平面所成角的概念.2 .掌握利用向量方法解决线线、线面 、面面的夹角的求法.二、问题导学问题1:什么叫异面直线所成的角？它的范围是什么？怎样用定义法求它的大小?问题2:怎样通过向量的运算来求异面直线所成的角?设li与12是两异面直线，a、b分别为li、12的方向向量，li、12所成的角为 仇贝 Ua, b与 0, cos 0=问题3:用向量的数量积可以求异面直线所成的角，能否求线面角？ 如图，设1为平面”的斜线，m a= A, a为1的方向向量，n为平面”的法向量，。为1与a所

2、成的角，0=a, n, 则 sin（j）=。三、例题探究例1.如图，M、N分别是长为1的正方体 ABCD A'B'C'D'的棱BB'、B'C'的中点.求异面直线 MN与CD'所成的角.A. 30°C. 60°变式：在直三棱柱 ABCAB1cl中，AA=AB = AC, ABXAC, M是CC1的中点，Q是BC的中点，点P在A1B1上，则直线PQ与直线AM所成的角等于（）B. 45°D. 90°文档大全实用标准例2.如图，三棱柱 ABC AiBiCi中，CA=CB,（1）证明：ABXAiC;（

3、2）若平面 ABC，平面 AAiBiB, AB = CB = 2, 求直线AiC与平面BBiCiC所成角的正弦值.AB=AAi, / BAAi = 60°.变式：如图，在四黏t P ABCD中，底面为直角梯形,底面 ABCD,且 PA = AD =AB = 2BC, M、N 分别为 PC、所成的角aAD II BC, / BAD = 90°, PAX四、练一练（时间：5分钟）i. i.若平面a的法向量为科，直线l的方向向量为V,A . cos 0=M vIMMB. cos 0=|虱v|I IMC. sin 0=m vh|v|D.sin 0=|dv|IMMAiBi2 .如图，

4、ABCD A1B1C1D1 是正万体，BiEi = DFi=,4则BEi与DF i所成角的余弦值是（）151_8= 172, 1723 .正三棱柱ABC AiBiCi的所有棱长相等，则ACi与面BBiCiC所成角的余弦值为 （）_54B.10.5D.102直线l与平面a的夹角为2则下列关系式成立的是 （）文档大全实用标准4 .已知长方体 ABCDAiBiCiDi 中，AB=BC = 4, CC1=2,则直线 BC1和平面 DBBiDi所成角的正弦值为（）A.3B.125C.-50D.-15 .正四棱锥S-ABCD ,。为顶点在底面上的射影， P为侧棱SD的中点，且SO=OD,则直线BC与平面P

5、AC所成的角为 .【参考答案】§ 3.2立体几何中的向量方法（4）向量法求线线角与线面角一、学习目标1 .理解直线与平面所成角的概念.2 .掌握利用向量方法解决线线、线面 、面面的夹角的求法.用向量方法求空间中的角角的分类向量求法范围异面直线所成的角设两异面直线所成的角为为它们的方向向量为 a, b,贝U cos 0 |cos a, b> | . J r!|a 1 |b|兀（0,习直线与平回 所成的角设直线1与平囿a所成的角为0, 1的方向向量为a, 平面 a的法向重为 n,贝U sin 0= |cos|a, n>=.|a n!|a|n|兀0,引二面角设二面角 a 1 3

6、的平面角为 0,平面 a> 3的法向量为 ni, n2,则 |cos 6|=|cos, np |= |ni 11n2|0,兀1 .求异面直线所成的角设li与12是两异面直线，a、b分别为li、12的方向向量，li、12所成的角为9,则a,b>与。相等或互补,cosO=Ja-bl |a| |br3 .求直线与平面所成的角如图，设1为平面a的斜线，in a= A, a为1的方向向量，n为平面a的法向量，。为 1 与 a所成的角，0=a, n，则 sin 4= |cos 0|= |cosa, n> l = jn|.文档大全实用标准二、问题导学问题1:什么叫异面直线所成的角？它的范围

7、是什么？怎样用定义法求它的大小?问题2:怎样通过向量的运算来求异面直线所成的角？设11与12是两异面直线，a、b分别为11、12的方向向量，11、12所成的角为 仇贝 Ua, b与 0, cos 0=问题3:用向量的数量积可以求异面直线所成的角，能否求线面角？ 如图，设1为平面”的斜线，m a= A, a为1的方向向量，n为平面”的法向量，。为1与a所成的角，0=a, n, 则 sin（j）=。三、例题探究A例1.如图，M、N分别是长为1的正方体 ABCD A'B'C'D'的棱BB'、B'C'的 中点.求异面直线 MN与CD'所成

8、的角.【答案】60°变式：在直三棱柱 ABCA1B1C1中，AA=AB = AC, ABXAC, M是CC1的中点，Q是BC的中点，点P在A1B1上，则直线PQ与直线AM所成的角等于（）B. 45°D. 90°A. 30°C. 60°答案D文档大全实用标准解析以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AAi为z轴建立空间直角坐标系，设11 1AB=1, A(0,0,0), M(0,1, 2), Qg,万,0),设 P(x,0,1),AM =(0,1, , PQ=(2-x, 1, 1), AM pQ = 0X(1x)+1X；+ 2x(-1)=0,AMl

9、PQ, ,.选 d.点评1.求异面直线所成的角的常用方法是：(1)作图一一证明一一计算；(2)把角的求解转化为向量运算.2. 一般地，若直线 AM和点Q固定，点P变动，则直线 AM与PQ所成的角为变量， 若此角不随P的变化而变化，则只能是 AM,平面P1P2Q(其中P1、P2是P运动轨迹中的 两个点)，故选D.AB=AAn / BAA1 = 60°.例2.如图，三棱柱 ABC A1B1C1中，CA=CB,(1)证明：ABXA1C;(2)若平面 ABC,平面 AA1B1B, AB = CB = 2, 求直线AC与平面BB1C1C所成角的正弦值.解析(1)取AB中点O,连接CO, A1B

10、 , A1O, . AB= AA1, / BAA1=60°, .BAA1 是正三角形, A1OXAB, . CA=CB,COXAB,文档大全实用标准 COnA1O = o,AB,平面 COA1,ABXAiC.(2)由(1)知 OCXAB,OAJAB,又平面ABC，平面ABBiAi,平面 ABCn 平面 ABBiAi= AB, . OCL平面 ABBiAi ,OCXOA1, .OA, OC,OA1两两相互垂直，以O为坐标原点，OA的方向为x轴正方向,|OA|为单位长度由题设知 A(1,0,0), Ai(0, 73, 0), C(0,0,m),B(-1, 0,0),则 bC=(1,0,木

11、),BBi= aA1 =(1,小,0),枇=(0, 逐 回设 n = (x, y,z)是平面CBB1C1的法向量,n BC= 0则 一E B B1 = 0x + *z = 0, x+ 73y= 0,可取 n = (>/3, 1, 1),D/ 一、 n A1C. 10 . cos n, A1C> = -= 一 |n|AC|，直线AC与平面BBGC所成角的正弦值为 尊变式：如图，在四麴隹P-ABCD中，底面为直角梯形，AD/BC, Z BAD = 90°, FAX底面 ABCD,且PA = AD =AB = 2BC, M、N分别为 PC、PB的中点.求 BD与平面 ADMN所

12、成的角0解析如图所示，建立空间直角坐标系，设 BC=1,则A(0,0,0), B(2,0,0), D(0,2,0),P(0,0,2),则 N(1,0,1).文档大全实用标准>>> .BD = (-2,2,0), AD = (0,2,0), AN= (1,0,1),设平面 ADMN的一个法向量为 n=(x, y, z),nA D= 0y= 0则由；，得f，取x= 1,则z= 1,eaN = 0x+z= 0n = (1,0, 1).cos BD, n>BD n 21=-=|BD|n| 乖乖1. sin 0= |cos BD , n> |=2.又 0y 陛 90

13、6;,0= 30°.方法规律总结用向量方法求异面直线所成的角、线面角、二面角，都是转化为直线的方向向量或平面的法向量的夹角计算问题，需注意的是异面直线所成的角长（0, 2,故两直线的方向向量夹角a的余弦值为负时，应取其绝对值；若直线与平面所成的角9,直线的方向向量和平面的法向量夹角为八则其关系为sin 0= |cos业若二面角为。，两平面的法向量夹角为a,则|cos 0|= |cos d，需分辨角。是锐角还是钝角，可由图形观察得出，也可由法 向量特征得出.文档大全实用标准四、练一练（时间：5分钟）1 .若平面a的法向量为臼直线l的方向向量为V,直线l与平面a的夹角为2则下列关系式成立

14、的是（）A. cos 0= 777; B. cos 0= v C. sin 0= rv.D. sin 0= jvIMMIMIU1MMIMM答案D2.如图，ABCD A1B1C1D1是正方体,BiEi = D1F1 =A1B14则BE1与DF 1所成角的余弦值是（）1518A.B.一C.17217D.2答案A解析如图所示，建立空间直角坐标系,设 AB = 4,则 D (0,0,0), B(4,4,0), E1(4,3,4),F1(0,1,4),则 BEi= (0, 1,4), DFi= (0,1,4).BEi DFi = 0X 0+(1)X 1 + 4X4=15, |BEi|=T17, |DFi

15、|=；77,. cos <BEi, DFpBE DF _15 _ 15一 一 V17 v'17 17' |B E|D F| " 1 17设BE1与DFi所成的角为 2则cos 9=| BE DF |=17, |BE|DF|15即BEi与DFi所成的角的余弦值为 故选A.3 .正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长相等，则ACi与平面BB1C1C所成角的余弦值为（）A也B5C犯A、4B、4C、2答案B解析取BC的中点D,连结DCi,可以证明AD _L平面BBQiC,文档大全实用标准则/ACiD是ACi与平面BBiCiC所成的角,cos/ACiD =CD=业，即ACi

16、与平面BBiCiC所成角的余弦值为 叵，故选B.ACi 2,2444 .已知长方体 ABCD AiBiCiDi 中，AB=BC = 4, CC1=2,则直线 BC1和平面 DBBQi 所成角的正弦值为()/BqC)ioA. 2B. 2C. 5D. i0答案C解析解法一：连结AiCi交BiDi于。点，由已知条件得 CiOBiDi,且平面BDDiBi ，平面AiBiCiDi,所以CiOL平面BDDiBi,连结BO,则BO为BCi在平面BDDiBi上的 射影，/ CiBO即为所求，通过计算得 sin/CiBO = "50,故选C.解法二：以A为原点，AB、AD、AAi为x轴、y轴、z轴建立

17、空间直角坐标系， 则B(4,0,0)、Bi(4,0,2)、D(0,4,0)、Di(0,4,2)、Ci(4,4,2) BCi = (0,4,2), BD = (-4,4,0), BBi = (0,0,2), 设平面BDDiBi的法向量为 n=(x, y, z),则n BD= 0 4x+4y=0y=x(,i ，取 x=i,贝U n=(i,i,0).2z =0lz=0、n BBi = 0设所求线面角为a,则sin a= |cosn, BCp.|n BCi|=_4_ =匹一V2 V205 .|n| |BCi|文档大全实用标准5.正四棱锥SABCD中，O为顶点S在底面ABCD上的射影，P为侧棱SD的中点，且SO=OD,则直线BC与平面PAC所成的角为答案30解析可利用平面的法向量。课堂小结:1 .异面直线l, m的方向向量为a, b,则l与m所