2013动点值问题解法探析1

1、动点最值问题解法探析一、问题原型：如图1-1,要在燃气管道，上修建一个泵站，分别向乂、B两镇供气，泵站修在管道的什 么地方，可使所用的输气管线最短？这个“确定最短路线”问题，是一个利用轴对称解决极值的经典问题。解这类问题二、基本解法：对称共线法。利用轴对称变换，将线路中各线段映射到同一直线上（线路长度不变）， 确定动点位置，计算线路最短长度。三、一般结论：PA+PB3/B（F在线段43上时取等号）（如图1-2）线段和最小，常见有三种类型：（一）“ |定动|+|定动型：两定点到一动点的距离和最小通过轴对称，将动点所在直线同侧的两个定点中的其中一个，映射到直线的另一侧，当动点在这个定点的对称点及另

2、一定点的线段上时，由“两点之间线段最短” 可知线段和的最小值，最小值为定点线段的长。i.两个定点+一个动点。如图1-3,作一定点幺关于动点。所在直线，的对称点 ,线段（是另一定点） 与，的交点即为距离和最小时动点 C位置，最小距离和 =例1 （2006年河南省中考题）如图2,正方形 ABCD 的边长为2 , E是8c的中点，F是对角线力。上一动点，则PB+PE的最小值是S与。关于直线AC对称，连结DP ,则阳二。连结DR，在她DCE中,。二2, H 产，则加=g1+EC2 =历3 出PB + PE-PD-PEDS =故PB+越的最小值为A例2（2009年济南市中考题）如图3,已知：抛物线 稣

3、+6彳+ C（GH。）的对称轴为x = l,与I轴交于工、3两点，与轴y交于点C ,其中 人犯,CQ-2）。图 3（1）求这条抛物线的函数表达式；（2）已知在对称轴上存在一点 p,使得 MBC的周长最小，请求出点 P的坐标。解析：（1）对称轴为 工二-1,小犯， 由对称性可知：3。/）。根据乂、B、C2 Y _y = -x +1-2三点坐标，利用待定系数法，可求得抛物线为：二 _（2）工与3关于对称轴工二-1对称，连结AC, RC与对称轴交点即为所求 产点。=3-2设直线j4c解析式为： y = kx+b。把 4TQ）、C（Q-2）代入得,3”。244 y = x （1） 2 =尸（一 L）当

4、工二一 1时，33,则 32.两个定点+两个动点。两动点，其中一个随另一个动（一个主动，一个从动），并且两动点间的距离保持不变。用平移方法，可把两动点变成一个动点，转化为“两个定点和一个动点”类型来解。例3如图4,河岸两侧有 幺、3两个村庄，为了村民出行方便，计划在河上修一座桥，桥修在何处才能两村村民来往路程最短？图4解析：设桥端两动点为 MM,那么N点随M点而动， 班等于河宽，且出力垂 直于河岸。将B向上平移河宽长到,线段43,与河北岸线的交点即为桥端 M点位置。四边形为平行四边形,=,此时幺财+3N=乂=值最小。那么来往乂、3两村最短路程为： 助T+恻+泌二的4恻。例4 （2010年天津市

5、中考）在平面角坐标系中，矩形 OABC的顶点0在坐标原点，顶点幺、分别在工轴、y轴的正半轴上，04二3, OR =4,。为边0E的中点。（1）若为边，上的一个动点，当 Am 的周长最小时，求点 E的坐标；（2）若, f为边CM上的两个动点，且月f = 2,当四边形CDEF的周长最小时，求点S, F的坐标。QD0D* = 0D = = 2 7ym解析：作点。关于I轴的对称点0f，则2, U-2J。（i）连接CD交轴于点,连接,此时ACDE的周长最小。由8 KDBCOE _ Df0 os_BCxDtO _3x2可知正一诉，那么 丽（T -,则跃，。）。（2）将C向左平移2个单位（EF=2）到C点，

6、定点D、C分别到动点E、F的距离和等于为定点D、C到动点E的距离和，即DE+CF = DE+C1E。从而把“两个定 点和两个动点”类问题转化成“两个定点和一个动点”类型。在BC上截取CC= 2,连接DC交X轴于E,四边形EFCCf为平行四边形，CE=CF 0此时DE+CF = DE+C*E=W值最小，则四边形CDEF的周长最小。由D（0,-2）、CQ4）可求直线00f解析式为6x-2,“ =。时，,即%期,7F（）广则 3。（也可以用（1）中相似的方法求坐标）o|E A工 可歹fXS5-1E5-2（二）“ |动定|+|动动|”型：两动点分别在两条直线上独立运动，一动点分别到一定点和另一动点的距

7、离和最小。利用轴对称变换，使一动点在另一动点的对称点与定点的线段上（两点之间线段最短），且这条线段垂直于另一动点的对称点所在直线（连接直线外一点与直线上各点的所有线段 中，垂线段最短）时，两线段和最小，最小值等于这条垂线段的长。例5 （2009年陕西省中考）如图6,在锐角AA3C中，=2亚，ZBAC = 45,/即C的平分线交3C于点舰、M分别是幺）和4S上的动点，则BM+KM的最 小值为4 。AN B A H B图6解析：角平分线所在直线是角的对称轴， AB上动点N关于AD的对称点 即在松上,W= W,施+函=MS+咖之用，当时，最小。作1RC于M ,交AD于M ,Btr= = = 4.ab

8、 二 2也,BAC 二 45。显显作 NNf X AD 交 AB 于 N, MB + MN 之 EN1 二 4图 7例6如图7,四边形和?是等腰梯形，A 在轴片上，D在/轴上，ABHCD , AD 二 BC 二 , AB - 5，CD 二 3，抛物线 y - f +bx+e 过乂、B 两点。（i）求b、C ；（2）设 般是x轴上方抛物线上的一动点，它到 不轴与1y轴的距离之和为d ,求d的 最大值；（3）当（2）中加点运动到使d取最大值时，此时记点 加为M,设线段AC与y轴 交于点s, F为线段EC上一动点，求尸到M点与到y轴的距离之和的最小值，并求此时 置点的坐标。解析：（1）由ABHCD

9、, AD -BC-而,= 5 ,CD = 3 可得：盘T，。）、8（4。）、 D（0,4）、CQA）；根据R、3的坐标可求出抛物线解析式为了二一x +31+ 4设Gj）,且（-lx4）,则 d = j+|-（-/+3彳+4）+|工|,用零点分 -6 - 1）口+5（-1 WO）d ，段法可求得，一02尸+80 x = ,则有月（0,1）。由 OA二OB可知，NOEA = 450= ZFEG。作NH _l曾由于以，过B点作X轴的平行线 丁 二 1,交加于P,那么 NP=NH-PH=yN-ys = = 5o 作画，即于K, 则 FG = FK,FN+RG =当F 是 AC 于 NF的交点时，:二与

10、比？重合，刚+月G有最小值5。函数二1+1,此时1二2,则）=2+1 = 3 ,即 月（23。3. “|定动|+|动动|+|动定|”型：两定点到两动点的距离、以及两动之间距离和最小。例7 （2009年漳州中考）如图8, ZAOE 二 45。，P 是403 内一点，P0 二 10 ，。、k分别是必和OR上的动点，求AP0X周长的最小值。图8 c解析：分别作?关于，、OB的对称点C、D,连接CD,则FR + FQ+ RQNCD ,当Q、R在线段CD上时，APQR周长最小，COD = 2UOB = 9。, OC = OD = OF = 1QCD二;OC=io。则AFQK周长的最小值为1族例8高速公路

11、Y与沪渝高速公路 X垂直，如图9建立直角坐标系。著名的恩施大峡谷（幺）和世界级自然保护区星斗山（B）位于两高速公路同侧，幺B二50七，A到直线X的距 离为1依附，3到直线X和Y的距离分别为40E和30上期。请你在X旁和Y旁各修建一服务区产、。，使P、R、B、。组成的四边形的周长最小，并求出这个最小值。夕，连接W ,乂F+PQ+3。=之/丁 。当P、。在线段川夕上时，乂产+即+?。=用夕最小。过乩分别作X轴、Y轴的平行线交于Co在跖WCB中，AfC= 100, BfC= 50, 交X轴于P,交Y轴于Q。Ha二J100+50,二50出,而乂8二50 四边形的周长最小值为：HB+4/=50（拈+1）

12、线段和的最值与定值”问题初探 学生常常找不到解题的突破口，此类 试题往往同根而异形，利用两个 典型题例”进 行 发散式”的概括和引申，是解决此类问题的一个捷径。所谓 典型题例”，就是某些题例虽然不是几何公理或定理，却可以举一反三 地运用于其他相关的系列问题的解答。下面就线段和的最值与定值”问题，运用两个典型题例”的源命题进行探讨。一、关于线段和的最小值源命题（北师大版七年级下册 P228第七章习题7.3问题解决”第2题）：如图1所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从 A、B到它的距离之和最短？居民国H居凤区*/I明道I巾本题的解答是：作出点B的轴对称

13、点B1 ,连接AB1交直线l于点P,则点 P为所求的奶站位置。利用这一题例的结论，可以解决一些同根异形关联题，下面试举几例：【关联题1】（2008年湖北荆门市中考题）如图2,菱形ABCD的两条对角线分别长 6和8,点P是对角线AC上的 一个动点，点 M、N分别是边AB、BC的中点，则PM+PN 的最小值是P2析解：利用菱形的对称性，在 AD上找出点M关于AC的对称点M，（即 AD的中点），连结 M，N交AC于P,则PM+PN 的最小值为线段 Mz N的长, 而M，、N分别为边AD、BC的中点，故M，N的长等于菱形的边长5。【关联题2】（2007 年乐山市中考题）如图3, MN是。O的直径，MN

14、=2 , 点A 在OO 上，Z AMN=30, B为弧AN的中点，P是直径MN 上一动点，则PA+PB的最小值为（）2 T H . %丁析解：连结OA,由/AMN=30得/AON=60 ,取点B关于MN的对称 点Bz，中国教育文库：www.china- 连结OB，、AB，AB，交MN于点 P,则AB，的长为PA+PB的最小值，且易知/ AOB / =90 ,即AAOB/为等腰Rt，故【关联题3】(2008年湖北黄石市中考题)如图4,在等腰/ ABC中，/ ABC=120 ，点P是底边AC上一个动点，M、N分别是AB、BC的中点，若PM+PN的最小值为2,则/ABC的周长是()R2+ X T C

15、.4D.-1+2 T析解：把等腰/ ABC沿AC翻折可得一菱形，由上面【关联题 1】的解答可 知，PM+PN 的最小值就是菱形的边 AB的长，故AB=2 ,由AB=BC=2 , / ABC=120易求得,因此/ABC的周长是()。【关联题4】(威海市2009年中考题)如图5,在直角坐标系中，点A, B, C的坐标分别为(-1,0), (3,0), (0, 3),过A, B, C三点的抛物线的对称轴为直线l, D为对称轴上l 一动点， (1)求抛物线的解析式；(2)求当AD+CD 最小时点D的坐标；(3)以点A为圆心，以AD为半径作。A,证明：当AD+CD 最小时, 直线BD与OA相切。写出直线

16、BD与OA相切时，D点的另一个坐标。析解：(1)可设y=a(x+1)(x-3),再代入点C坐标，即可求得y=-x2+2x+3。(2)利用点A、B关于直线l:x=1对称，连结BC交l于D,则此时AD+CD 取得最小值；设l与x轴交点为E,由/BEDs/BOC 可求得DE=2 , BD=2 姨2 =AD ,所以D的坐标为(1,2)。(3)如图6,连结AD,由点A、B、D、E的坐标易知/ ADE 和/ BDE 均 为等腰RtA,故/ ADE=Z BDE=45 所以/ ADB=90 ,所以直线BD与OA相 切。由对称性知点D的另一个坐标是(1,-2)上述源命题还可作进一步引申：【引申题】小明在某景区游

17、玩，他打算从景点A到河边(直线1)走一段(长 度为已知线段a)再到景点B,怎么走最近？析解：如图7,本题的关键是确定直线1上的两点D、E,因DE=a为定长, 故只需AE+BD 为最小即可；作线段 AC / 1且AC=a，作点C关于直线1的轴对 称点C，,连接C，B交直线1于点D,在直线1上截取DE=a ,连接AE ,则小 明应走的路线是 AE -ED f DB。理由是：连接 CD,则CD=AE=C，D,因DE=a 为定长，故只须AE+BD(=CD+BD) 最小即可。【关联题1】已知平面直角坐标系内两点 A (2, -3) , B (4, -1) ,(1)若 C (a, 0) , D (a+3

18、, 0),是x轴上的两个动点，则当a= 时，四边形ABCD 的周长最短。(2)设M、N分别为x轴和y轴上的动点，是否存在这样的点 M (m , 0), N (0, n),使四边形ABMN的周长最短？若存在，请求出 m、n的值；若不存 在，请说明理由。析解：(1)如图8,本题中AB和CD ( a+3-a=3 )均为定长，故只需AC+BD 取最小值即可； 平移点A H A1 ,使AA1=CD=3 ，作点A1关于x轴的对称点 A2,连结A2B交x轴于D,作AC/A1D交x轴于点C,由上述 里申题”结论 知此时AC+BD 取得最小值；求得直线 A2B的解析式为y=4x-17 ,可111即1 - l 所

19、以；厂441B 8（2）如图9,本题中AB为定长，分别作点A、B关于y轴、x轴点对称 点A1、B1 ,连接A1B1交x轴于M,交y轴于N,则根据上述 源命题”的结论,M、N为所求的点；易得直线 A1B1的解析式为,令y=0得二、关于线段和为定值问题关于线段和为定值问题，可由一个较经典的源命题进行引申发散。源命题：（来自马复主编讲堂中考冲刺P123 ）等腰三角形底边上一点到两腰的距离之和等于一腰上的高。 如图，已知点P是等腰/ABC的底边BC 上一点，PFXAB 于 F, PGXAC 于 G, BD XAC 于 D;求证：PF+PG=BD 。本题的证明主要有 截长补短”法和面积法”，略证如下：略

20、证一：如图10，作PEXBD于E,则四边形PEDG 是矩形，所以PG=ED ; 易证/PBF JBPE,所以 PF=BE ,所以 PF+PG=BD 。略证二：如图11 ,连结AP,点P到两腰的距离分别为 门，r2 ,腰上的高 为 h,则有 SAABP+S AACP=S AABC ,即 12AB- r1+12AC- r2= 12AC - h,所 以 r1+r2=h （定值）。利用这一题例的结论，可以解决一些同根异形关联题，下面试举几例:【关联题1】如图12在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O,点P为BC 边上一动点，过点 P 作 PELBD 于 E,PFAC 于 F,AB=3,BC=4 ，

21、求 PE+PF析解：依矩形性质可知/ OBC为等腰P是其底边上一点，作CHLBD于 H,应用源命题结论得 PE+PF=CH=2.4。【关联题2】（2009年隹木斯市中考题）如图13,将矩形纸片ABCD沿 其对角线AC折叠，使点B落到点B，的位置，AB，与CD交于点E。Pff U（1）试找出一个与 AED全等的三角形，并加以证明；（2）若AB=8 , DE=3 , P为线段AC 上任意一点，PGXAE于G, PHXEC于H。试 求PG+PH的值，并说明理由。析解：（1） /AED/CEB （证明略）；（2）由（1）知 AE=CE ,即/AEC 为 等腰4且AD LCD于D,应用源命题结论可得 P

22、G+PH=AD ,因为AB=CD=8 , DE=3 ,所以 CE=AE=5 ,所以 AD=4=PG+PH 。三、理解与应用如图14,在边长为3的正方形ABCD中，点E为对角线BD上的一点， 且BE=BC , F为CE上一点，FMXBC 于M, FN BD 于N,试利用上述结论求 出FM+FN 的长。析解：依题意，F为等腰/ EBC底边EC上一点，连2AC交BD于O,则-M F+XFh M w A r ACXBD于O,且AC=3 ,应用源命题结论可得例谈求线段和的最小值问题也是棘手问题。笔者平面几何中线段和的最小值问题是初中学生较难解决的问题之一, 就这个问题浏览了 05年度全国部分省市的有关中

23、考试题，本文下面将结合中考试题为例予以剖析，供参考。、以正方形为载体，求线段和的最小值例1.如图1,四边形ABC虚正方形，边长是 4, E是BC上一点，且 CE 1, P是对角线BD上任一点,则PE+ PC的最小值是O分析：由于BD是正方形 ABCM对角线，连接 AP,易证 ADP CDP所以PA= PC,此时求PE+ PC的最小值就转化为求 PA+ PE的最小值，连接 AE,在4PAE中，因为 PA+ PE以AE,故当点P为A与BD的交点时（即当 A、P、E三点共线时），PA+ PE的最小值为AE,由勾股定理可求 AE,所求问题可解。解：连接PA, BD为正方形ABCM对角线AD= CD /

24、 ADP= / CDP又 D之 DP, AD咤 ACDPPA= PC连接AE CE= 1 ,BE= 3在 RtABE中,度二法，翻，二江二5根据三角形中两边的和大于第三边可知，当P为AE与BD的交点时，PA+ PE的最小值为 AE 即 PA+ PE AE,PA+ PE 5,即 PE+ PO 5,PE+ PC的最小值为 5 （仅当 A P、E三点共线时取等号）。例2.如图2,正方形 ABC曲边长为8,点E、F分别在AR BC上，AE= 3, CF= 1 , P是对角线AC上的一个动点，则 PE+ PF的最小值是（A.分析：因为动点易证 PG库 PEA接FG 在 PFG中,C.P在正方形ABC面对

25、角线AC上，在AD边上取点G,并截取AE= AQ所以PG= PE,所求PE+ PF的最小值就转化为求 PG+ PF的最小值，连PG+ PF的最小值就是FG （仅当F、P、G三点共线时取得最小值）。解：在AD边上取点 G并截取AG= AE,连接PG.AC是正方形ABCD勺对角线PAG= / PAE 又 AP= AP. .PAeAPAE，PG= PE连接FG 过点G作GHL BC,垂足为 HAG= AE= 3,而四边形 ABHG矩形，BH= AG= 3, GH= AB= 8又 CF= 1, HC= 5, . HF= 51=4在RtFHG中，由勾股定理，得+HF二桩+屋=4而在4PFG中，PG+ P

26、F GF （仅当F、P、G三点共线时取等号），田+郎244gPF型出即PE+ PF的最小值为故应选D。二、以菱形为载体，求线段和的最小值例3. （05,南充）如图3,点P是边长为1的菱形ABCD寸角线AC上一个动点，M N分别是AB, BC边上的中点，PM PN的最小值是（图3A. 21B.C.1D. 2分析：因为动点 P在菱形ABCM对角线AC上，CD CD边的中点G,连接PG则易证 PC0 PCN从而PG= PN因此求PM- PN的最小值就转化为求 PhM- PG的最小值，连接 MG 在PMG, PhM- PG的最小值就是 MG即P- PO MG （仅当 M P、G三点共线时取得最小 值）。解：取CD的中点G,连接PG.AC是菱形ABC面对角线/ PCG= / PCN又CB= CD N是BC边的中点，CN= CG又 PC= PC, PCg PCNPG= PNDG/AM连接MG 二，四