保险精算李秀芳章习题答案

1、2X1 .给出生存函数s X e 2500 ,求：(1)人在50岁60岁之间死亡的概率。(2)50岁的人在60岁以前死亡的概率。(3)人能活到70岁的概率。(4)50岁的人能活到70岁的概率。2 .已知生存函数 S(x)=1000-x 3/2,0 <x< 100,求(1) F (x) (2)f(x)(3)FT(t)(4)ft(5)E(x)3 .已知 Pr 5v T(60) <6 =0.1895, Pr T(60) >5 =0.92094,求 q65。4 .已知 Pr T(30) >40 =0.70740, Pr T(30) < 30 =0.13214,求 1

2、0P6。Pr T(30) >40 =40P30=S(70)/S (30) =0.7074 S (70) =0.70740 X S(30)Pr T(30)030 =S(30)-S(60)/S(30)=0.13214 S(60)=0.86786 X S(30)叩眦 S(70)/S(60) =0.70740/0.86786=0.815115.给出45岁人的取整余命分布如下表：0123456789.0050,0060 .()075 .0)95 .0120 .0130 .0165.02050250 .(1300求：1) 45岁的人在5年内死亡的概率；2) 48岁的人在3年内死亡的概率；3) 50岁

3、的人在52岁至55岁之间死亡的概率。(1) 5q45=(0.0050+0.0060+0.0075+0.0095+0.120 ) =0.046. 这题 so easy 就自己算吧7. 设一个人数为 1000 的现年 36 岁的群体，根据本章中的生命表计算(取整)(1) 3 年后群体中的预期生存人数(2)在40岁以前死亡的人数(3)在45-50 之间挂的人l 39=l 36 X 3P36=l 36(1- 3q36)=1500 X ( 1-0.0055 )Q 1492(2) 4d36=136 X 4q36=1500X (0.005+0.00213 )11(3) 1 36X9|5q36=1 36 X

4、9P35X5q45=1500X (1-0.02169) X 0.02235=1500 X0.021865 338. 已知q80 0.07 ，d80 3129 ，求 l81 。9. q600.015 ， q610.017 ， q620.020， 计算概率2 P61， 2|q60 2P61=( 1-q61) (1-q 62)=0.963342|q60=2P61 q62=0.0193710. 设某群体的初始人数为 3 000 人， 20 年内的预期死亡人数为 240 人，第 21 年和第 22年的死亡人数分别为 15 人和 18 人。求生存函数s(x) 在 20 岁、 21 岁和 22 岁的值。13

5、. 设 10 1000, 11 990, 12 980,，199 1 0 , 1100 0 ,求：1)人在 70 岁至 80 岁之间死亡的概率；2) 30 岁的人在 70 岁至 80 岁之间死亡的概率；3) 30 岁的人的取整平均余命。18.19.20.24.答：当年龄很小时，性别差异导致的死亡率差异基本不存在，因此此时不能用年龄倒退法。因为是4年前选择 而选择期为5年, 77岁活到我岁的人的生存概率应该应用选择表的 死亡率计窜为Q-ILU62J),从笈岁活到幽岁的生存概率应该运用终极表进行计算. 为(1 0.0714)(1- 0.0781).则所求的生存人数为27 .； '一28 .

6、设选择期为10岁，请用生存人数表示概率5|3q30+329.第二章定缴纯保费1 .设生存函数为s x 1 (0 &X&100),年利率i=0.10,计算(保险金额为1元)：(1) 100定缴纯保费4。诃的值。(2)这一保险给付额在签单时的现值随机变量Z的方差Var(Z)。2 .设利力 t 0.2, lx 75 x, 0 x 75,求 A1 0.05t5 .设Ax0.25, Ax 20 0.40,A*司0.55，试计算：(1)A；而Ax：2016 .试证在 UDD(Bl设条件下：(1)Ax：n-A1xn (2)“A、-A1x：n8.考虑在被保险人死亡时的那个 工年时段末给付1个单

7、位的终身寿险，设k是自保单生效 m起存活的完整年数，j是死亡那年存活的完整 1年的时段数。(1)求该保险的定缴纯保费 mA(xm)0 (2)设每一年龄内的死亡服从均匀分布，证明Axm) 1Ax10 .(x)购买了一份2年定期寿险保险单，据保单规定，若 (x)在保险期限内发生保险责任范 围内的死亡，则在死亡年末可得保险金1元，qx 0.5,i 0,Var z 0.1771 ,试求qx 1。11 .已知，A76 0.8,D76 400, D77 360,i 0.03，求A7712 .设现年40岁的人购买一张保险金额为5000元的30年定期寿险保单，保险金于被保险人死亡时所处保单年度末支付，试用换算

8、函数计算该保单的定缴纯保费。5000 A40:30=5000 X (M40-M70)/D40=388.6613 .现年30岁的人，付定缴纯保费 5 000元，购买一张20年定期寿险保单，保险金于被保险人死亡时所处保单年度末支付，试求该保单的保险金额。解：5000 RA10而R 5000A30：201例查( 2000-2003)男性非养老金业务生命表中数据1% 3144) (1.06)201111此国 '-(867、917、977 L30:20984635 1.06(1.06)2(1.06)30.017785596=283285.07R 281126.372714 .现年35岁的人购买了

9、一份终身寿险保单，保单规定：被保险人在10年内死亡，给付金额为15 000元；10年后死亡，给付金额为 20 000元。试求定缴纯保费。建交纯保费为15000A35而 20000101A15所以建交名保费为 15000A35而 20000101A15 178.05 1895 2073.0515 .年龄为40岁的人，以现金10 000元购买一份寿险保单。保单规定：被保险人在 5年内 死亡，则在其死亡的年末给付金额30 00元；如在5年后死亡，则在其死亡的年末给付数额R元。试求R值。17 .设年龄为50岁的人购买一张寿险保单，保单规定：被保险人在70岁之前死亡，给付金额为3000元；如至70岁仍生

10、存，给付金额为1500元。试求该寿险保单的建交纯保费。解：该建交纯保费为：3000Ao药1500A50:50：2050.20|18 .设某30岁的人购买一份寿险保单，该保单规定：若(30)在第一个保单年度内死亡，则在其死亡的保单年度末给付 5000元，此后保额每年递增1000元。求此递增终身寿险的建交 纯保费。该建交纯保费为：4000A30 1000(IA)30 4000M0 1000 R0 =3406.34D30D3019 .20 .某一年龄支付下列保费将获得一个n年期储蓄寿险保单：(1)1 000 元储蓄寿险且死亡时返还强缴纯保费，这个保险的定缴纯保费为750元。(2)1 000 元储蓄寿

11、险，被保险人生存 n年时给付保险金额的2倍，死亡时返还建缴纯保费， 这个保险的定缴纯保费为 800元。 若现有1 700元储蓄寿险，无保费返还且死亡时无双倍 保障，死亡给付均发生在死亡年末，求这个保险的定缴纯保费。解：保单1)精算式为1000Ax:n 750尺司1750尺引1000Ax： 750保单2)精算式为100叭川8006n1000&： 1800川n2000入：800求解得 A：g 7/17, A：1n 1/34,即21 .设年龄为30岁者购买一死亡年末给付的终身寿险保单，依保单规定：被保险人在第一个 保单年度内死亡，则给付10 000元；在第二个保单年度内死亡，则给付 9700

12、元；在第三个保单年度内死亡，则给付 9400元；每年递减300元，直至减到4000元为止，以后即维持此 定额。试求其定缴纯保费。P = 300(。力西司 + 400(M董=3002必一中 一小)+ 4000粤 如网SoD和10000 x 15165.7 - 300 x (520500.3 - 246658.4)金，直至死亡为止。试求此人每次所获得的年金额。解：2000瞰两R37|&3R2000&3：36371&38.9 .某人现年55岁，在人寿保险公司购有终生生存年金，每月末给付年金额 250元，试在UDD 假设下和利率6吐，计算其精算现值。解：250*12 a352)

13、 250*12( &52) 112) 250*12 (12)&5(12) 112若查90-93年生命表换算表则10 .在UDD设下，试证：(1) nl&T(m)n|a&m nEx。(2) (m)a&nm (1 nEx) °(3)axm) &1(1 nEx)m11 .12 .试求现年30岁每年领取年金额1200元的期末付终身生存年金的精算现值，且给付方 法为：(1)按年；(2)按半年；(3)按季；(4)按月。(1)解：1200a30N1 (2) 1000a30)1000(D30a&)12) 1000&5121(3) 100

14、0a 1000(威 %) 1000酿 (4) 为(4) 1000a302)1000(C) %)1000(12)眼 (12)%引15 .试证(1)a&m) T(m7ax (2)a&n)TaxH(3)mim 螂)ax (4) ax a& ：16 .很多年龄为23岁的人共同筹集基金，并约定在每年的年初生存者缴纳R元于此项基金，缴付到64岁为止。到65岁时，生存者将基金均分，使所得金额可购买期初付终身生存年金，每年领取的金额为3 600元。试求数额Ro18 .Y是x岁签单的每期期末支付 1的生存年金的给付现值随机变量，已知&X 10, 2徽6,i工，求Y的方差。 24解

15、：定义X=1+Y,则X为x期签单的每期起初支付1元的生存年金的给付现值随机变量19 .某人将期末延期终身生存年金 1万元遗留给其子，约定延期 10年，其子现年30岁，求此 年金的精算现值。20 .某人现年35岁，购买一份即付定期年金，连续给付的年金分别是10元，8元，4元，2元，4元，6元，8元，10元，试求其精算现值。该题若考虑的是连续性的年金计算则复杂很多i 11i C35 D3610035110d 101 -A35：1 A35：110335彳 0.06126.18119226.51100.058268908 126513.8 126513.8 9 7090g550.058268908第四

16、章分期纯保费与毛保费1.设t 0 ,利息强度为常数6 ,求 P Ax与Var(L)3 .设 P A500.014,A5O 0.17，则利息强度=() 0.06844 .有两份寿险保单，一份为(40)购买的保额2 000元、定缴保费的终身寿险保单，并且其死亡保险金于死亡年末给付；另一份为 (40)购买的保额1 500元、年缴保费P的完全离散型终身寿险保单。已知第一份保单的给付现值随机变量的方差与第二份保单在保单签发时的保险人亏损的方差相等，且利率为6%求P的值。P=28.35 .已知 P4020 0.029,P10囤 0.005,F60 0.034,i 6%,求矗。6 .已知 P62 0,037

17、4, q62 0.0164, i 6%,求 P63。8 .已知L为(x)购买的保额为1元、年保费为Px：n的完全离散型两全保险，在保单签发时的保P险人万 损随机变量，A国0.1774，- 0,5850,计算 Var(L)。0.103d9 .P=11.9110 .已知x岁的人服从如下生存分布：s x 105(0 &X&105),年利率为6%。对(50) 105购买的保额1 000元的完全离散型终身寿险，设L为此保单签发时的保险人亏损随机变量，11 .已知 Ax 0.19, 2Ax 0.064,d 0.057, x 0,019,其中x为保险人对1单位终身寿险按年收取的营业保费。求保

18、险人至少应发行多少份这种保单才能使这些保单的总亏损为正的概率小于等于0.05 o 这里假设各保单相互独立，且总亏损近似服从正态分布，Pr (Z< 1,645 )=0.95, Z为标准正态随机变量11 .12 .A,C永远正确13 .已知 1000Pn啊 7,&& 16.72冏0叫 15.72，求 10001。14 . P 10.1.5,10% 0.04，计算 5.0.01615 . 已知 i 0.05, px 1 0.022, px 0.99，则px ()。p1(12)17 .已知 T 1.03,Px司 0.04，计算 p(:22). 0.0413P：20119 .20

19、.设 15 P45 0.038,巳5河 0.056A。0.625则鼠：词二()21 .22 .用换算函数计算(写出公式)25岁的人购买如下终身寿险的初始年保费。若被保险人在前10年内死亡，则可得到死亡保险金为15000元。若被保险人在10年后死亡，则可得到死亡保险金为30000元。已知保险费按年交纳至被保险人60岁时。且前10年每年交纳的保费为10年后每年交纳的保费的一半，且死亡保险金于死亡年未给付。10000(M 25+M5/N25+N35-2N65)=55.044923.已知x岁的人购买保额1000元的完全离散型终身寿险的年保费为50元 d 0.06, Ax 042Ax 0.2, L是在保

20、单签发时保险人的亏损随机变量。(1) 计算 E Lo (2)计算 Var(L)。(3)现考察有100份同类保单的业务，其面额情况如下：面额(元)保单数(份)180420假设各保单的亏损独立，用正态近似计算这个业务的盈利现值超过18 000元的概率。24.A25.C26.C27.B28 .29 .(x)购买的n年限期缴费完全离散型终身寿险保单， 其各种费用分别为：销售佣金为营业 保费的6%税金为营业保费的4%每份保单的第1年费用为30元，第2年至第n年的费用 各为5元；理赔费用为15元。 且 Ax 0.3,% 0.1,Axn 0.4,i 0.6,保额b以万元为单位， 求保险费率函数R(b)第五章

21、责任准备金1 .对于(x)购买的定缴保费、每年给付 1元的连续定期年金，t时保险人的未来亏损随机变量为：a ,0 U n tt LaU-LU n t 计算 E(tL)和 Var(tL)n t ,3.6.8.9.aUe2&X k：FTl，计算 kVx k：HTl °p P Ax_, -11 . 已知 0.474,tV Ax0.510,tVX 0.500，计算 tV(A x)。12 .假设在每一年龄内的死亡服从均匀分布，判断下面等式哪些正确:(1) 1000qxkV Ax:n-kV.nX(2) kV Ax- kVx"(3) kV A1:ni- Mn，13 .14 .假设

22、在每一年龄内的死亡服从均匀分布,14.40.40岛加 0.039解西 12.00,用5知 0.30,由35、0.20熊:即 11.7017. 已知 1 R 0.01212, 2 20P 0.01508,3 巳: 0.06942 4 1Vx 0.11430计算20Vx。18. 一种完全离散型2年期两全保险保单的生存给付为 1000元，每年的死亡给付为1000 元加上该年年末的纯保费责任准备金，且利率 i=6%, qxk 0.1 1.1k (k=0, 1)。计算年 缴均衡纯保费Po19.20. 已知 P45：20 0.03,A；5词 0.06,d 0.054,/45 0.15,求 也5：药21. 25岁投保的完全连续终身寿险，L为该保单签发时的保险人亏损随机变量，已知Var L0.20,A45 0.70,2入25 0.30，计算 20V A2523.24. 已知 A 0.30, t Ex 0.45