高中数学选修4-5练习：第二讲2.2综合法与分析法Word版含解析

1、第二讲证明不等式的基本方法2.2综合法与分析法高效演练知能提升A级基础巩固一、选择题1 .若a>0, b>0,则必有（）b2b2A->2b- aB< 2b- aaaD. 2b a解析：因为 a2+b2A2ab, a>0, 所以 a+b2n2b，即22ba.答案：C2 .设 x, y>0,且 xy (x+y) = 1,则()A. x+ y> 2(戊+1)B. xy< V2+1C. x+ y< 2(72+1)2D. xy>2(72+1)解析：因为 x, y>0,且 xy- (x+y) = 1,所以(x+y) + 1 = xyw /2

2、"；.所以(x+y)2 4(x+ y) 4A0,解得 x+ y> 2(72+1).答案：A3.若a>b>0,下列各式中恒成立的是（）2a+b ab2+1 b2A.aZib> b巳广C. a+1>b-1D. aa>aba bb2 1 b2 解析：因为a>b>0,所以a2> b2,所以/i>2.a 1 a答案：B4.若a,b, c6 R,且ab+ bc+ ac= 1，则下列不等式成立的是()A, a2 + b2 + c2n2B, (a+b+c)2>3C.1+1 + 1A2 3 a b c1D. abca+b+c)J 3解析

3、：因为 a2 + b2A2ab, a2+ c2>2ac, b2+ c2>2bc,将三式相加，得 2(a2+b2+c2)A2ab+ 2bc+ 2ac,即 a2+b2+c2>1.又因为(a+b+ c)2=a2+ b2 + c2+ 2ab+2bc+ 2ac, 所以(a+b+c)2A1 + 2X1 = 3,故选项B成立.答案：B5.已知 a, b6R,则 “a+ b>2, ab> 1” 是 “a>1, b> 1” 成立 的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：当a>1, b> 1时，两式相加得a+b>

4、;2,两式相乘得ab> 1.反之，当a+b>2, ab> 1时，a> 1, b> 1不一定成立.1如：a = 2，b= 4 也满足 a+b>2, ab= 2>1,但不满足 a>1, b>1.答案：B二、填空题6.如果a>/a+bVb>a>/b+ b/a,则实数a, b应满足的条件是解析：aJa+ bb> a，b+b a? (7a+ Vb)f/a- b)2> 0? a>0, b>0,且 a#b.答案：a>0, b>0,且 a?b7,若1c0，已知下列不等式：a+b<ab;|a|>

5、;|b|;a<a b._ b a - b；a+ b>2.其中正确的不等式的序号为一 一，1 1解析：因为一<二<0, a b所以b<a<0,故错.答案：8 .在RtzABC中，/C=90° , c为斜边，则 "b的取值范围是 c解析：因为a2+ b2 = c2,所以(a + b)2 = a2+ b2 + 2ab< 2(a2 + b2) = 2c2,匕 a + b r-所以一丁< 42,又因为a+b>c,所以a+ b>1.所以与b的取值范围是(1, %2. c答案：(1,屈三、解答题9 .求证：3<2或一V3.

6、证明：21 <25? 21<5? 2,21 <10? 10 + 2/21 <20? (7 + 3)2(2 5)2? 7+ 3<2 5? 7<2 5- 3.所以原不等式成立.10 .已知：a, b是不相等的正数，且a3- b3=a2b2,求证：1<a+b< 4.3证明：因为a, b是不相等的正数，且a3-b3 = a2- b2.所以 a2 + ab+ b2= a+b.所以(a+ b)2=a2+ 2ab+ b2>a2 + ab+ b2=a+b.所以a+ b> 1.4要证a+b<q,只需证3(a+b)<4, 3只需证 3(a+b

7、)2<4(a+b),即 3(a2 + 2ab+ b2)< 4(a2+ ab+ b2),只需证 a22ab+ b2>0,只需证(a b)2>0,而a, b为不相等的正数，所以(a b)2>0 一定成立.11 . 4-、故a+ b<不成立. 3综上所述，1<a+b< 4.3B级能力提升1.设a>0, b>0,则以下不等式中不恒成立的是()a(a+b£+b54B. a3 + b3>2ab 因为n为正整数，所以4n+ 4+->4n+4.C, a2 + b2 + 2>2a + 2bD.、|ab|>/a Vb解析

8、：因为a>0, b>0,所以(a+bg + b j> 2 5b 2jab> 4,当且仅当a=b时等号成立，故 A恒成立；an所以 2、：n+1<2n + '.答案：2/n+ 1 <2jn+Jn+ b3A2ab2,取 a= 1, b= 2,则 B不成立； 23a2+ b2 + 2-(2a+ 2b) = (a 1)2+ (b-1)2>0,故 C 恒成立;若a< b,贝N|a b|4也一,6恒成立；若 a> b,则(|ab|)2-(a-b)2=2( /ab- b)>0,所以7|ab| AYa蚀，故D恒成立.答案：B2 .若n为正整数

9、，则 Rn + 1与2« +仁的大小关系是.解析：要比较2，n+1与2n +jn的大小，只需比较(2/n+1)2与1 厂 1 二一-1124n+由)的大小，即4n+ 4与4n+4+n的大小.3. (2015课标全国II卷)设a, b, c, d均为正数，且a+b= c+ d. 证明：(1)若ab>cd,则他+的>加+,；(2)Va+ Vb>c+ VdM|a- b|< |c- d|的充要条件.证明：(1)因为(4a+yB)2= a+ b+Rab,(Vc+ Jd)2= c+ d+ 2 cd,由题设a+b=c+d, ab>cd,得(小+ 洞(脏+Ry因此g+也+(2)若 |a b|v|c d|,则(ab)2V(c d)2, BP(a+ b)2 4ab<(c+ d)2 4cd因为 a+ b= c+d,所以 ab>cd,由(1)得 ya +d.若 8+y6>c+d,贝U(、Ja+的了>(+&)2 即 a+ b+2