高中数学极值点偏移问题

1、极值点偏移问题沈阳市第十一中学数学组：赵拥权一：极值点偏移(俗称峰谷偏)问题的定义对于可导函数在区间(a,b)上只有一个极大(小)值点 则称函数f(x)在区间(a,b)上极值点偏移；，方程(f(x)=m)的解分别为且b.二：极值点偏移的判定定理对于可导函数在区间(1) 则称函数f(x)在区间(2) 则称函数f(x)在区间(a,b)上极值点偏移;(a,b)上极值点偏移;(a,b)上只有一个极大(小)值点1)2)3)4)若则即函数 若则即函数 若则即函数 若则即函数f(x)在区间(a,b)上极大值点右偏;f(x)在区间上(a,b) f(x)在区间上(a,b) f(x)在区间上(a,b),方程的解分

2、别为且b.(即峰偏右)(即谷偏左)(即峰偏左)(即谷偏右)x=x=y=my=f(x)x=x=拓展：1 ) 若，则的图象关于直线对称；特别地，若(或f(x)=f(2a-x) ，则的图象关于直线对称2)若函数f(x)满足有下列之一成立：f(x)在递增，在(a,2a)递减，且 f(a-x) f(a+x)(f(x)f(2a-x)f(x)在(0,a)递减，在(a,2a)递增，且 f(a-x)()f(2a-x)则函数f(x)在(0,2a)的图象关于直线 x=a偏移(偏对称)(俗称峰谷偏函数)其中 极大值左 偏(或右偏)也称峰偏左(或右) 极小值偏左(或偏右)也称谷偏左(或右)；性质：1) 的图象关于直线对

3、称若则,(=0,);,及2)已知函数是满足条件的极大值左偏(峰偏左)若则则极值点偏移解题步骤： 求函数f(x)的极值点； 构造函数 F(x)=f(x+)-f( (F(x)=f()-f(, F(x尸f(x+)-f( , F(x)=f(x)-f()确定 F(x)单调性 结合F(0)=0 (R-)=0,F(判断F(x)符号从而确定f(x+),f( f(x+) f( f(x)与f(的大小关系；答题模式：已知函数y=f(x)满足,为函数y=f(x)的极值点，求证： 求函数f(x)的极值点；构造函数F(x)=f(x+川确定F(x)单调性判断F(x)符号从而确定f(x+),f(的大小关系；假设F(x)在(0

4、,+单调递增则F(x)F(0)=Q从而得到x0时f(x+)f(1. ( 2016 年全国 I 高考)已知函数有两个零点. 设 x1， x2 是的两个零点，证明：+x21时，f(x)g(x)(I如果且证明证明：由题意可知g(x)=f(2-x)，得g(x)=(2-x)令 F(x)=f(x)-g(x)，即于是当x1时，2x-20,从而(x)0,而函数F (x)在1,+ 8是增函数。又 F(1)=F(x)F(1)=0即 f(x)g(x).I证明：(1)若( 2)若根据( 1 ) ( 2)得由(I)可知，则=,所以 ，从而.因为，所以，又由(D可知函数f(x)在区间(-8,1 )内事增函数，所以,即 2

5、.3 .已知函数.(I)讨论的单调性；(II)设，证明：当时，；(III)若函数的图像与 x轴交于A, B两点，线段AB中点的横坐标为x0,证明：(x0) 0. 解： ( I)(i)若单调增加.(ii)若且当所以单调增加，在单调减少.(II)设函数则故当， 伤(III)由(I)可得，当的图像与 x轴至多有一个交点，故，从而的最大值为不妨设由(II)得从而由(I)知，4 .已知函数(m若f(x)有两个极值点且求证 二5 .已知函数=(a若f(x)有两个不同零点且其极值点为求证：(已知函数 =(a ,其图象与轴交于 A()B()两点且求证：)6 .已知函数=(a若f(x)有两个不同零点且求证：7

6、.已知函数=(a若f(x)有两个不同零点且求证：-18 .已知函数=f(求证：9 .已知函数=(a若f(x)有两个不同零点且求证：10 .已知函数 =f(求证：11 .已知函数=(a若f(x)有两个不同零点且求证:12 . 已知函数=(a 若 f(x)=c 有两个不同根求证：13 . 已知函数=(a令g(x)在(0,3)单调递增求a范围； 当a=2时，函数h(x)=f(x)-mx的图象与轴交于A(B(且又是h(x)导函数，满足证明14已知函数(k 若;若对都有f(x)求k范围；若且f(证明：；15. 已知函数(a f(x) 的极值点为若存在且求证:;16. 已知函数(a); 若 f(x) 存在

7、两个极值点，证明：;17.已知函数与g(x)=3-在(1,1)处有相同切线；若y=2(x+n)与y=f(x)图象有两个交点，求n范围； 若两个极值点，证明：；18. 已知函数(a若f(x)=g(x)+(a+1)有两个不同零点，证明：；19. 已知函数,(a;若f(x)=lng(x)-a与y=m,(m图象有两个交点 A、B,线段A、B中点为证明：；20. 已知函数图象的一条切线为x 轴； 求 a 值；令g(x)=若存在满足证明：21. 已知函数F(x)与f(x)=lnx关于直线y=x对称； 若xf(x)对恒成立，求a最大值； 设f(x)在(1,)的实根，若在区间(1,)上存在求证：22已知函数,(a；若函数f(x)的图象在x=0处的切线方程为y=2x+b,求a,b的值若函数f(x)在R上单调递增，求实数a的取值范围；如果函数g(x)=f(x)-(a-恰有两个不同的极值点证明：；23已知函数-(a-2)x-alnx (a； 设函数若使得成立求实数a 取值范围; 若方程f(