【人教通用版】2019年九年级数学中考二轮图形的折叠与旋转专题复习20题(含答案)

1、第1页共 18 页2019 年 九年级数学中考二轮图形的折叠与旋转专题复习1.矩形 ABCD 中，AB=10, BC=6 点 E 在线段 AB 上点 F 在线段 AD 上.(1)沿 EF 折叠， 使 A 落在 CD 边上的 G 处(如图)， 若 DG=3 求 AF 求 AE 的长; ABCD 的 CD 边上， 请直接写出 AF的范围2.如图 1，分别以矩形 OABC 勺两边 OA 和 OC 所在的直线为 x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，A 点的坐标为(3,0 ), C 点的坐标为(0,4 ),将矩形 OABC 绕 O 点逆时针旋转，使 B 点落在 y 轴的正半轴上，旋转后 的矩形为OAB1C

2、, BC A1B1相交于点 M.(1) 求点 B 的坐标与线段 BC 的长；(2)将图1的矩形 OABC 沿 y 轴向上平移，如图 2,矩形 PABC2是平移过程中的某一位置，BC, AB相交于点 M,点 P 运动到 C 点停止。设点 P 运动的距离为 x，矩形 PAB2C2与圆矩形 OABC 重叠部分的面 积为 y,求 y 关于 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围.第2页共 18 页3.在 ABC 中，AB=AC / BAC=2/ DAE=2x.(1)如图 1，若点 D 关于直线 AE 的对称点为 F,求证： ADDAABC(2)如图 2，在(1 )的条件下，若a=45，求证：DEnB

3、D+cE；(3)如图 3，若a=45。，点 E 在 BC 的延长线上，则等式 DE=BD+CE 还能成立吗？请说明理由.4.在平面直角坐标系中，己知0 为坐标原点，点 A (3, 0), B ( 0, 4),以点 A 为旋转中心，把 ABO 顺时针旋转，得ACD 记旋转角为a.ZABO 为B.JyJLBCVolAX71AX (I)如图，当旋转后点 D 恰好落在 AB 边上时，求点 D 的坐标；(H)如图，当旋转后满足BC/ x 轴时，求a与B之间的数量关系：(川)当旋转后满足/ AOD 甲时，求直线 CD 的解析式(直接写出结果即可)圏3第3页共 18 页5.如图，已知 Rt ABC 中，AB

4、=AC=，点 D 为直线 BC 上的动点（不与 B C 重合），以 A 为直角顶点作等腰 直角三角形 ADE（点 A, D, E 按逆时针顺序排列），连结 CE（1）当点 D 在线段 BC 上时，求证：BD=CE求 CD+CE 的值；（2）当点 D 在直线 BC 上运动时，直接写出 CD 与 CE 之间的数量关系.6.如图，将矩形 ABCD沿 DE 折叠使点 A 落在点 A处，然后将矩形展平，如图沿EF 折叠使点 A 落在折痕 DE 上的点 G 处，再将矩形 ABCD 沿 CE 折叠，此时顶点 B 恰好落在 DE 上的点 H 处.（1）求证：EG=CH（2）已知 AF=、2，求 AD 和 AB

5、 的长.DA CD屮C第4页共 18 页第5页共 18 页7.阅读材料,在平面直角坐标系中，已知 x 轴上两点 A(xi,0), B(X2,0)的距离记作AB=|Xi- x?|;若 A,B是平面上任意两点，我们可以通过构造直角三角形来求AB 间的距离,如图,过 A，B 分别向 x 轴、y 轴作垂线AM、AN 和 BIM、BN，垂足分别是M、N、M、直线 AN 交 BM2于点 Q,在Rt ABQ 中，AQ=|xi- x,BQ=|yi-y2|,AB=AQ+BQ=|Xi- X2|+|yi- y2|2=(xi- X2)2+(yi- y?)2，由此得到平面直角坐标系内任意两点A (Xi,yi), B (

6、X2, y2)间的距离公式为：(1)AB=_ .(2)直接应用平面内两点间距离公式计算点A(1, - 3), B (- 2,1 )之间的距离为 ;(3) 根据阅读材料并利用平面内两点间的距离公式，求代数式8.在正方形 ABCD 中 ,E、F 分别为 BC CD 的中点,AE 与 BF 相交于点 G.的最小值.第6页共 18 页(1)如图 1,求证：AEBF;(2)如图 2,将厶 BCF 沿 BF 折叠，得到 BPF，延长 FP 交 BA 的延长线于点 Q,若 AB=4,求 QF 的值.9.如图，已知矩形 ABCD 勺一条边 AB=10,将矩形 ABC折叠，使得顶点 B 落在 CD 边上的 P

7、点处，折痕为 AO(1)求证： OCMAPDA(2)若厶 OCAPDA 的面积比为 1: 4,求边 AD 的长.10.准备一张矩形纸片，按如图操作：将ABE 沿 BE 翻折，使点 A 落在对角线 BD 上的 M 点，将 CDF 沿 DF翻折，使点 C 落在对角线 BD 上的 N 点.(1) 求证：四边形 BFDE 是平行四边形；(2) 若四边形 BFDE 是菱形，AB=2,求菱形 BFDE 的面积.第7页共 18 页11.直角坐标系中，已知点 P (- 2,- 1),点 T (t , 0)是 x 轴上的一个动点.(1) 求点 P 关于原点的对称点 P的坐标；(2) 当 t 取何值时， P TO

8、 是等腰三角形？第8页共 18 页12.阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图 1,ABOACD(均为等腰直角三角形，DAOB=DCC=90若试求以 AD BC OC+O 的长度为三边长的三角形的面积.小明是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的线段，构造一个三角形，再计算其面积即可他利用图形变换解决了这个问题，其解题思路是延长CO1U E,使得 OE=CO,连接 BE,可证 OBEAOAD,从而得到的 BCffiP 是以 AD BC OC+O 的长度为三边长的三角形(如图2).请你回答：图 2 中厶 BC 啲面积等于 _ .请你尝试用平移、旋转、翻折的方法，解决下列问题：如

9、图 3,已知 ABC,分别以 AB AG BC 为边向外作正方形 ABDE AGFC BCHI,连接 EG FH ID .(1)在图 3 中利用图形变换画出并指明以 EG FH ID 的长度为三边长的一个三角形(保留画图痕迹)；(2)_ 若厶 ABC 勺面积为 1,则以 EG FH ID 的长度为三边长的三角形的面积等于 _.13.已知，等腰 Rt ABC 中，点 C 是斜边的中点， MPI 是直角三角形，固定 ABC 滑动 MPN 在滑动过程 中始终保持点 P 在 ACk,且 PML AB, PNL BC,垂足分别为 E、F. BO(的面积为 1,第9页共 18 页(1)_ 如图 1， 当点

10、 P 与点 O 重合时，OE OF 的数量和位置关系分别是 _ .(2) 当厶 MP 移动到图 2 的位置时，(1)中的结论还成立吗？请说明理由.(3)如图 3，等腰 Rt ABC 勺腰长为 6，点 P 在 AC 勺延长线上时，Rt MP 的边 PM 与 AB 的延长线交于 点E,直线 BC 与直线 NP 交于点 F, OE 交 BC 于点 H,且 EH： HO=2 5,则 BE 的长是多少？第10页共 18 页(1)如图 1，点 P 是正方形 ABC 内的一点，把 ABf 绕点 B 顺时针方向旋转，使点 A 与点 C 重合，点 P 勺对应点是 Q 若 PA=3 PB=2、叵，PC=5 求/

11、BQ 啲度数.(2)点 P 是等边三角形 AB(内的一点，若 PA=12 PB=5 PC=13,求/ BPA 勺度数.将两块全等的三角板如图摆放，其中/ACB=/ DCE=90，/ A=ZD=45，将图中的 DC 顺时针旋转得图， 点 P 是 AB 与 CE 勺交点， 点 Q 是 DE 与 BC 勺交点， 在 DC 上取一点 F,连接 BE、 FP,设 BC=1,当 BF 丄AB 时，求 PBF 面积的最大值。(1) 如图 1,在 Rt ABC 中，/ ABC=90 ,以点 B 为中心,把厶 ABC 逆时针旋转 90 ,得到 ABG ；再以点C 为中心，把 ABC 顺时针旋转 90 ,得到 A

12、2B1C,连接 GB1,贝 U GB 与 BC 的位置关系为 _ ;14.15.16.AABE105塑图過第11页共 18 页(2) 如图 2,当厶 ABC 是锐角三角形，/ABCa(aM60)时，将厶 ABC 按照(1)中的方式旋转a,连 接 GBi,探究GBi与 BC 的位置关系,写出你的探究结论，并加以证明；9(3) 如图 3,在图 2 的基础上，连接 BiB,若 GB 尸壬 BC, CiBB 的面积为 4,则厶 BiBC 的面积为 _.17已知 ABC 是等腰三角形，AB=AC.(1)特殊情形：如图 1,当 DE/ BC 时，有 DB EC.(填“”,“V”或“=”)(2)发现探究：若

13、将图 1 中的ADE 绕点 A 顺时针旋转a(0VaV180)到图 2 位置，则(1)中的结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由.18如图 1,四边形 ABCD 是正方形， ADE 经旋转后与厶 ABF 重合.3, P 是等腰直角三角形ABC 内一点,/ ACB=90 ,且 PB=1,PC=2, PA=3 求/ BPC(3)拓展运用：如图的度数.第12页共 18 页DGH 的面积.20.如图， ACB 和 DCE 均为等腰三角形，点A, D, E 在同一直线上，连接BE(2)旋转角是度;(3)如果连接 EF,那么 AEF 是_三角形.(4)用上述思想或其他方法证明：如图 2,在

14、正方形 ABCD 中,点 E、F 分别在 BC CD 上,且/ EAF=45 .求证：EF=BE+DF19.如图 1,将两块全等的直角三角形纸片厶ABCADEF 叠放在一起，其中/ ACB=/ E=90, BC=DE=6AC=FE=8 顶点 D 与边 AB 的中点重合.(1 )若 DE 经过点 C, DF 交 AC 于点 G,求重叠部分( DCG 的面积;(2)合作交流：“希望”小组受问题(1)的启发，将 DEF 绕点 D 旋转，使 DEI AB 交 AC 于点 H, DF 交 AC 于点(1)旋转中心是G,如图 2,求重叠部分(圏1圏2第13页共 18 页(1)如图 1，若/ CAB2CBA

15、N CDE2CED=501求证：AD=BE2求/ AEB 的度数.参考答案1.解：(1)解：(1)设AF=x,贝 U FG=x(2)如图 2,若/ ACB=/ DCE=120 , CM DCE 中 DE 边上的高,BNABE 中 AE 边上的高,试证明:2 2(6 - x) +3 解得 x=3.75，所以 AF=3.75. H,设 AE=y,贝 U GE=y- 3.在 Rt EHG 中, 解得 y=7.5 , AE=7.5.第14页共 18 页在 Rt DFG 中，x2= 过 G 作 GHL AB 于2 2 2 y =6+ (y- 3),(2)10wAFW6.32.( 1)如图 1，因为 0B

16、=0B=5 所以点 B1 的坐标为(0, 5).因为 C (0, 4),所以 OC=4 贝 y BQ=OBOC=5-4=1 .(2)在矩形 OABC 沿 y 轴向上平移到 P 点与 C 点重合的过程中，点 A 运动到矩形 OABC 勺边 BC 上时,重叠部分的面积为 PAC 的面积，AC=2.4,又 AP=3,根据勾股定理得：CP=1.8,即 4-x=1.8.求得 P 点移动的距离 x=2.2.当自变量 x 的取值范围为 0WxV2.2 时，如图 2,由厶 RCMIsARAP, -2得 CM=,此时，y=SB2A2-SB2CM= X3X4-一X -(1+X),即 y=- - (x+1)2+6.

17、4124I2当自变量 x 的取值范围为 一wxw4 时，求得 y=SPCM1=-(x-4)3.证明：(1)v点 D 关于直线 AE 的对称点为 F,./ EAF=ZDAE AD=AFAB AC又/BAC=2/ DAEBAC=/ DAF / AB=AC =, ADFAABC;第15页共 18 页(2)v点 D 关于直线 AE 的对称点为 F,. EF=DE AF=AD:a=45,AZBAD=90-ZCAD/CAFZ DAE+ZEAF-ZCAD=45 +45-ZCAD=90-ZCAD AB=AC在厶 ABDD ACF 中，ZMXZC 曙，ABDAACF (SAS ,CF=BDZACF 玄 B,/

18、AB=ACZBAC=2x,a=45,仏 ABC 是等腰直角三角形，/ ZECF=/ ACB+ZACF=45 +45=90，在 Rt CEF 中，由勾股定理得，EFCF+CF,所以，DE=BD+CE；(3)DEUBD+CF还能成立.理由如下：作点 D 关于 AE 的对称点 F,连接 EF、CF,由轴对称的性质得，EF=DE AF=AD/a=45,.ZBAD=90-ZCADZCAF=/ DAE+ZEAF-ZCAD=45 +45-ZCAD=90-ZCADAB=AC在厶 ABDDAACF 中，* 上酣 D=ZCAF,ABDAACF ( SAS ,AD=AFCF=BDZACF 玄 B,/ AB=ACZ

19、BAC=2X,a=45 , ABC 是等腰直角三角形，/ ZECF=/ ACB+ZACF=45 +45=90 ,在 Rt CEF 中，由勾股定理得，EFCF+CF,所以，DE=BD+CE.BADZCAF,B=ZACB=45,BADZCAF,B=ZACB=45,第16页共 18 页4.解:5.第17页共 18 页（1）丫点A（3, 0）P B e 4）P ?jQA=3t 0B=4；代在RtAAOB中， 由勾股定理.得 AB=7OA2+OB-根据题意， 有DA=0A=3如图 过点D作DM丄X轴于点氐则MD/ZOB,二ADMs/XABCL有马卑= 黒ABAO B0二点D的唯标为55- Z0=90 -

20、 P , a =2 p ；卍(3)若顾时针旋转*如图，过点D作DE丄OA FE,过点C作CFX0A于F*； ZAOB=ZABO= P , AtanZA0D=,设DE=3命0E=4x1则A=4x - 3,0E4在RtZkADE中，ADA+Dt9=9x3+(4x - 3)2,x=25，*D*Tn綾CD与直线AD曜直，fl过点D, *242F 25,:舞寿彖，解得b=4,“/ $相垂直的两条直线的斛率的积等于-1,*：直线CD的解析式为尸昙1+4+ 2目同理可得賣线CD的另亍解析式为苗寺 -4. *L J L,AC=AB, A ZABC=ZACB, *M纯AD的解析式为：y-yx y化设y=-XrH

21、bt把D（型,县）代入得. KD卑得皿瞥吨X3=|第18页共 18 页解：( (1证明：TAB之GZBACO0, .ZABC=ZACE=45&；AD=AE, ZDAE=90fl, .ZEAC - ZD/iC= ZDAE- ZDAC即 Z：BAWE,fAE=AC在ZABD与AACE中，*ZBAD=ZCAE, /.AABDAACE；/.BD=CE,LAD=AF2点.D在段BC上时丿.BD=CE/XD-K：E=CD+BD=3C=V2AB=2即CD+E=2(2)(2)点D在言线比上运动GCD与CE之间的数量关系情况如下；如题，3点D在BC延怅线上时如图2,理由:XB=lCrZBJtfSO0,

22、.，.ZAKXZACM5O,TAD=AE, ZDAE=5OQ, ./BAC- ZMC=AE - ZDAC即丄县也二乙亡肛，(ABAC在ABD与ACE中，JZBAD=ZCAEJ二ABD盔ACE，二BD=CE，/.CE-CD=2JAD=AF3当点D在BC反向延长线上时,如團3理由：/AB=AC；ZBAC=9O* ,、TAD二肛，ZDAE二90 , :.ZBAC - ZDAC=/DAE - ZDAC即ZAI匸上亡AE,AB=AC在ABD与ZlME中，ZbADZCAEj /.AABDAACE. ,BD=CE；/.CD-CE-=2 AD=AF6.解： 证明：由折叠知厶 AEFAGEF, BCEAHCE/

23、AE=A E=BC/AEF=ZBCE 二AEFABCE 二GEFAHCE 二 EG=CH(2)TAF=FG=2, /FDG=45, /FD=2,AD=2+J2;/AF=FG=HE=EB=2 , AE=AD=2F -. 2 ,/AB=AH EB=2+ , 2 +2 =2 + 2.2.7.解：(1)TAE2=AC5+B(5=|xi- X2|2+|y1- y2|2= (xi- X2)2+ (yi- y2)2, AB=；S.-汐 5(込-讥汽故答案为.(2)TA (1, - 3), B (- 2 , 1), AB=5故答案为 5.(3)代数式+ 的最小值表示在 x 轴上找一点 P( x , 0),到

24、A( 0 , 2), B( 3 , 1)的距离之和最小如图，14Sr第19页共 18 页作 A 关于 x 轴的对称点 A,连接 BA 与 x 轴的交点即为所求的点 P.此时 PA+PB 最小, / A( 0,- 2), B ( 3, 1), PA+PB=PA+PB=BA =/护+护=3 迈.代数式寸:J-2+的最小值为 3(；,.8.( 1)证明：TE, F 分别是正方形 ABCD 边 BC, CD 的中点， CF=BE* ZABE=Z：BCF Rt ABE Rt BCF ( SAS ,:丄BAEK CBFLBE=CF又/ BAE+Z BEA=90，/ CBF+Z BEA=90，/ BGE=9

25、0 , AE BF;(2)解：将 BCF 沿 BF 折叠，得到 BPF, FP=FCZPFB=/ BFCZFPB=90 , / CD/ AB,.ZCFB=/ABF,/ABF=ZPFBQF=QB设 QF=x PB=BC=AB=4 CF=PF=2 - QB=x PQ=x 2 ,在 Rt BPQ 中， x = (x - 2) +4 ,解得：x=5 ,即 QF=5.9.( 1)证明：四边形 ABCD 是矩形， AD=BC DC=ABZDAB=Z B=ZC=ZD=90 ,由折叠可得： AP=AB PO=BOZPAOZBAOZAPOZB,APO=90 , ZAPD=90-ZCPOZPOCTZD=ZC,ZA

26、PD 玄 POCOCPAPDA DA=2CP 设 PC=x 贝UAD=2x, PD=10- x , AP=AB=10在 Rt PDA 中，TZD=90 , PD+A&=AP , ( 10- x)2+ ( 2x)2=102,解得：x=4 , AD=2x=8.10.【解答】(1)证明：丁四边形ABCD杲矩形.ZA=ZC=90, ABHD，AB/CD,/.ZABD=ZCDB, .ZESD=O. &ZABD=ZH)B二VED/BE,四边形EFDE対平行四边形.( (2) )T四边形BFDE为菱形,A0E=ED, ZEBD=ZFBDZABE,丁四边形ABCD形ZABC=90fl，二NAB

27、E二3屮TZA90& j AB=2/ .*rj BF=0E=2AEj故菱形BFDE的面积为匸 響X菱卑工11.解:11)点p关于原点的对称点P的坐标为an(2) QF-动点T在原点左侧，亠为雪若时，APTO是辱峻二用形，二点耳(-5 6+(b)动点T在原点右侧，1当T2O=T2F时,APTO等腰三角形得=耳(汕)，2T3O=P1Olbh APTOM4?腰三角形，彼G(店 Q)，3当T4叫PO时，FTO是等腰三角形,弘 点T4C4,0).综上所述符介条件的t的值为-击， 齐辰4在厶 ABEDBCF中,(2)解：OCAPDA 的面积比为、3FiBE=2AE4第20页共 18 页12.解：

28、BCE 勺面积等于 2(1)如图：以 EG FH ID 的长度为三边长的一个三角形是EGM .(2)以 EG FH ID 的长度为三边长的三角形的面积等于 仝_.13.答案略；14.解：(1)连接 PQ 由旋转可知：BQ 二 BP 二 2d，QC=PA=3HI又 ABC 是正方形， ABP 绕点 B 顺时针方向旋转了 90,才使点 A 与 C 重合，即/ PBQ=90 ,/PQB=45 , PQ=4 则在 PQ(中, PQ=4 QC=3 PC=5,.PC=PQ+QC.即/ PQC=90 .故/ BQC=90 +45 =135.(2)将此时点 P 的对应点是点 P.由旋转知， APBACP B,

29、即/ BPA=Z BP C, P B=PB=5 P C=PA=12又 ABC 是正三角形， ABP 绕点 B 顺时针方向旋转 60,才使点 A 与 C 重合，得/ PBP =60,又 P B=PB=5 PBP 也是正三角形，即/ PP B=60, PP =5.因此，在 PP C 中, PC=13 PP =5, P C=12,. PCf=PP2+ P C2.即/ PP C=90. 故/ BPA=/ BP C=60+90 =150.15.解：I/ACB =90,/ A=45,AZA=ZABC=45 ,AC=BC=1./ BF 丄 AB, / CBF=45 . / A=/ CBF.由旋转的性质可得：

30、/ BCF=/ ACPBCFAACP(ASA). BF=AP/ ACB =90,/ A=45, AC =1 , AB= 。16.解：(1)平行,当 x= 时,设BP=x，S 迟* (max)=第21页共 18 页把 ABC 逆时针旋转 90,得到 ABC;再以点 C 为中心，把 ABC 顺时针旋转 90,得到 ABC, /GBC=/ BBC=90 ,BC=BC=CB, BC CB,：四边形 BCBG 是平行四边形， GBJ/ BC,故答案为：平行；(2)证明：如图，过 Ci作 GE/ BQ,交 BC 于 E,则/ GEB=/ BCB由旋转的性质知， BC=BC=BC,/ GBC=/ BiCB

31、/ GBC=Z GEB,GB=CE,. GE=BC,.四边形 GECB 是平行四边形，GB,/BC；2CiB1 9(3)由(2)知 CiB/ BC 设 GB 与 BC 之间的距离为 h,vGBi=_BC, I=,3BC 31iAC.BB.反片“也EG2- S = BiG?h , S 兀曲=BC?h, 一=,11 212仏N$BC h氏3GBB 的面积为 4 , BBC 的面积为 6 ,故答案为：6.17.解：(1 )：DE/ BC , / AB=AC - DB=EC 故答案为=,AB AC(2)成立.证明：由易知 AD=AE 由旋转性质可知/ DAB=/ EAC在厶 DABn EAC 中得 4

32、/DAB二ZEACDABA EAC - DB=CEtAB=AC(3)如图，将厶 CPB 绕点 C 旋转 90得厶 CEA 连接 PE,CPBA CEA CE=CP=2 AE=BP=, / PCE=90 ,CEP 玄 CPE=45 ,在 Rt PCE 中，由 勾股定理可得，PE=2；,在厶 PEA 中，PE= (2 ：)2=8 , AE2=12=1 , PA2=32=9 ,/PW+AE=AP , PEA 是直角三角形/ PEA=90 ,CEA=135 ,又CPBA CEA/ BPC=z CEA=135 .18解： (1)由图 1 可得，旋转中心是点 A,故答案为：点 A;(2)由图 1 可得，旋转角=ZDAB=90 ,故答案为：90;(3)根据/ EAF=/ DAB=90 , AE=AF 可得，AEF 是等腰直角三角形；故答案为：等腰直角;(4)如图所示,将厶 ABE 绕 A 点逆时针旋转 90,得到 ADE ,第22页共 18 页因为/ EAF=45,所以/ BAE+/ DAF=45 ,因为/ BAE=Z DAE，所以/ FAE =45，所以/ FAE =ZF