2014年高考江苏数学试题及答案(word解析版)

1、2014 年普通高等学校招生全国统一测试(江苏卷)数学I注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1 .本试卷共 4 页，包含填空题(第 1 题一第 14 题)、解答题(第 15 题 第 20 题).本卷满分 160 分, 测试时间为 120 分钟.测试结束后，请将答题卡交回.2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效作答必须用0.5 毫米黑 色墨水的签字笔请注意字体工整，笔迹清楚.4.如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.5.请保持

2、答题卡卡面清洁，不要折叠、破损.一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔.参考公式：以 一.6(6)【2014 年江苏，6, 5 分】为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60 株树木的底部周长(单位：cm),所得数据均在区间80,130上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的 60 株树木中，有株圆柱的侧面积公式：磊柱-cl，其中 c 是圆柱底面的周长，1为母线长.5 分，共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上A 2 , 1 ,3, 4 , B 1,2, 3，则AI B(1)【2014 年江苏，1, 5 分】已知集合【答案】 1 ,3【分析】由题意得 AI B 1,3.(2)

3、【2014 年江苏，【答案】21【分析】由题意 z(3)【2014 年江苏，【答案】5【分析】本题实质上就是求不等式2n20 的最小整数解.2n20 整数解为n 5，因此输出的n(4)_【2014 年江苏，4, 5 分】从 1,2 ,3, 6 这 4 个数中一次随机地取 2 个数，则所取 2 个数的乘积为 概率是.【答案】丄3【分析】从1,2,3,6这 4 个数中任取 2 个数共有 C26 种取法，其中乘积为概率为P21.632,(53,5 分】已知复数(5 2i)2(i为虚数单位)，则 z 的实部为2i)225 2 55 分】右图是一个算法流程图，则输出的2i(2i)2216 的有1,6和2

4、,3两种取法，因此所求(5)【2014 年江苏，5, 5 分】已知函数y COSX和 y交点，贝 U 的值是_ .【答案】-6【分析】由题意 cos- sin(2 )，即 sin()333sin (2x)(0w),它们的图象有一个横坐标为-的31 2k ( 1)k-,(k Z)，因为 0，所236圆柱的体积公式：V圆柱sh，其中 s 为圆柱的表面积,h为高.-、填空题：本大题共14 小题，每小题5.树木的底部周长小于 100 cm.【答案】24【分析】由题意在抽测的60 株树木中，底部周长小于100cm的株数为(0.015 0.025) 10 60 24 .(7) 【2014 年江苏，7, 5

5、 分】在各项均为正数的等比数列an中,若【答案】4【分析】设公比为q,因为a21，则由a8a62力得 q6(8)【2014 年江苏，8, 5 分】设甲、乙两个圆柱的底面积分别为等，且舊 4，则 V-的值是_ .【答案】|q42a2【分析】设甲、乙两个圆柱的底面和高分别为A、hi, a、h2，则a21，魂a62a4，则Q的值是q22 0，解得 q22，所以 a6a?q44 . S ,S，体积分别为 V ,2，若它们的侧面积相h1 ah29所以匕3，则也r22V2(9)【2014 年江苏，9,长为_【答案】2邑5【分析】圆(x 2)22 2Vr1hir1hi2 2r1r2r1 1232. -2r2

6、h, r2h, r2r,r225 分】在平面直角坐标系 xOy 中，直线x 2y 30 被圆(x2)2(y 1)24截得的弦4 的圆心为 C(2, 1)，半径为r3，所求弦长为 I 2 r2d25(10)【2014 年江苏，10, 5 分】已知函数数 m 的取值范围是_ .【答案】J2, 02(y2 ( 1): 2 2【分析】据题意f (m)f (mD23m2f(x)mx 1，m2101) (m 1)2m(m1) 12，点C到直线 x 2y492 届3 0 的距离为2若对任意5x m , m 1，都有 f(x) 0 成立，则实，解得子m 0.xOy 中，若曲线 y ax2(a，-为常数)过点

7、P(2 , 5)，且xP 处的切线和直线 7x 2y 3 0 平行，则a -的值是_ .(11)【2014 年江苏，11，5 分】在平面直角坐标系该曲线在点【答案】3【分析】曲线 y2ax所以a-(12)【2014 年江苏,UUiUliT UUUCP 3PD【答案】22-过点 P(2, 5)，则 4ax2.12, iuu BP-5，又 y 2ax g，所以2x5 分】如图，在平行四边形 ABCD 中，已知，ABuuu uuir ，亠2，贝 U AB AD 的值是_.-4a -48，ADuuiuuuUJU UJLT 1 UUU UUi UJli DPAD AB , BP BCuuu uuu3UJ

8、U UUAPADCPBC-CDAD44uuriUUT1 UJUUULT3 UUiUULT1uuu3 UUT2BP(AD-AB) (AD -AB) AD-ADABAB5【分析】 由题意,uui 所以AP3uui3AB ,41 uuir uuu-AD AB2(13)【2014 年江苏，13,5 分】即 225ULUT64， 解得 AD 16已知 f (x)是定义在uiuABR 上且周期为3 的函数，当 x2，由解得若函数 y f (x) a 在区间 【答案】0,23,4上有 10 个零点(互不相同)，则实数 a 的取值范围是【分析】作出函数 f (x)2小x 2x1,x 0,3)的图象，可见 f(

9、0) ，当x 1时，f(x)极大20,3)时,f(x)122xi.f(3)-，方程 f(x) a 0 在 x 3,4上有 10 个零点，即函数 y f(x)和图象和直线 2y a在3,4上有 10 个交点，由于函数f (x)的周期为 3,因此直线y a和函数f(x)x22x -21,x 0,3)的应该是 4 个交点，则有 a (0,-) 2(14)【2014 年江苏,【答案】62414, 5 分】若ABC的内角满足 si nA2 si nB2sin C，则cosC的最小值是【分析】由已知si nA.2si nB 2s in C及正弦定理可得a .2b 2c,2 .2a bcosC -2aba2

10、b2(宁)22ab3a22b2的最小值为二、解答题：本大题共过程或演算步骤.2 2ab8ab.6 . 246 小题，共计 90 分.2 6ab 2 2ab 62，当且仅当8ab23a2b ,即时等号成立，所以cosCb J3请在答题卡指定区域内作答, 解答时应写出必要的文字说明、证明(15)【2014 年江苏,15, 14 分】已知,sin(1 )求 sin 4的值;解：(1),sin5, cos2 ,5sin -sin coscoss in444(2) si n22sin cos-,cos 25 cos2coscos2sin66(2 )求 cos 2 的值.(16)【2014 年江苏，16,

11、 14 分】如图,(cossin)旦.)102cos2sin35 ,-sin 2/33143 34252510P ABC中，D , E , F 分别为棱 PC , AC , ABPA AC , PA 6 , BC 8 ,DF(1) 求证：直线 FA/平面 DEF ;(2) 平面 BDE 丄平面 ABC .解：(1)TD , E 为 PC , AC 中点 DE/PA：PA(2)TD , E 为 PC , AC 中点， DE1PAo平面 DEF , DE 平面 DEF PA /平面 DEF .1 3 / E , F为 AC , AB 中点，二 EF - BC- DE2EF2DF2, DEF 90,

12、 DE 丄 EF , / DE/PA , PA AC , DE/AC I EF E, DE 丄平面 ABC , / DE 平面 BDE ,AC,(17)【2014 年江苏，17, 14 分】如图，在平面直角坐标系 xOy 中,平面 BDE 丄平面 ABC .2 2F,F2分别是椭圆电召a b1(a右焦点，顶点 B 的坐标为(0 , b),连结BF2并延长交椭圆于点 连结FC.(1)若点 C 的坐标为 3,3 ,且 BF22 ,求椭圆的方程；161解: (1 )- C 4 ,1 _9_2鸟 9, BF22b2c2a2, . a33，ab，(2)若FC AB,求椭圆离心率 e 的值.的中点.已知0

13、)的左、A ,过点 A 作 x 轴的垂线交椭圆于另一点C ,椭圆方程为手 y21.(2)设焦点F( c,0),F2(C,0),C(x,y),vA , C 关于 x 轴对称， A(x ,-一y,即 bx cy bc 0 x B,F2,A三点共线 ， by), FC AB，-x c联立方程组, 解得C 在椭圆上，2a cb2c2a21，即xcby2cab2c2C2bc2b2c22bc22b2c21 ,b2xy2c20化简得5c2a2, a2c2bc22 2 2 2b c b cb_cc 習，故离心率为罟(18)【2014 年江苏，18,划要求：新桥 BC 和河岸 AB 垂直；保护区的边界为圆心 M

14、 在线段 OA 上并和 BC 相切的圆，且古桥两端O 和 A 到该圆上任意一点的距离均不少于正东方向 170m 处(OC 为河岸)，tan BCO16 分】如图，为保护河上古桥 OA,规划建一座新桥 BC,同时设立一个圆形保护区.规80m .经测量，点 A 位于点43 .O 正北方向(1) 求新桥 BC 的长；(2) 当 OM 多长时，圆形保护区的面积最大？.解：解法一：(1)如图，以 O 为坐标原点，OC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系xOy.*Ik仃1 、H IVfgh；厂60m 处，点 C 位于点 O由条件知 A(0, 60), C(170, 0)，直线 BC 的斜率 kBC- t

15、an BCO所以直线 AB 的斜率 kAB-.设点 B 的坐标为(a,b),43,解得 a=80 , b=120.4所以 BC= . (170 80)2(0 120)2150 .因此新桥 BC 的长是 150 m.(2)设保护区的边界圆 M 的半径为 r m,OM=dm,(0 它60)4(x 170)，即 4x 3y 6800 ,3BC 相切，故点 M(0, d)到直线 BC 的距离是 r，即 r又因为 AB 丄 BC,贝 UkBc=a 170. b 60 ,kAB=3a 02由条件知，直线 BC 的方程为 y由于圆 M 和直线|3d680 |5680 3d5因为 O 和 A 到圆所以r d

16、80r (60 d) 80M 上任意一点的距离均不少于80 m,680 3d，即5680 3d5，解得10d 80故当d=10 时,r680 3d最大，即圆面积最大.所以当 OM = 10 m 时，圆形保护区的面积最大.5解法二:(1)如图，延长 OA, CB 交于点 F .因为 tan/BCO = -.所以 sin / FCO=- , cos/ FCO = ?.355因为 OA=60,OC=170，所以 OF = OC tan/FCO=680. CF=OC850,3cos FCO 3从而 AF OF OA500.因为 OA 丄 OC,所以 cos/ AFB=sin / FCO = -，又因为

17、35Itlu7 工BJ1_-4-AB 丄 BC,所以 BF=AFcos/ AFB=400，从而 BC=CFBF=150因此新桥 BC 的长是 150 m . 3(2)设保护区的边界圆 M 和 BC 的切点为 D，连接 MD，则 MD 丄 BC,且 MD 是圆 M 的半径，并设 MD=r m, OM=d m(0电w60.)因为 OA 丄 OC,所以 sin/ CFO =cos/ FCO ,故由(1)知，sin/ CFO =MDMDr一3所以r680 3dMF OF OM 680d55因为 O 和 A 到圆 M 上任意一点的距离均不少于80 m,(20)【2014 年江苏，20,16 分】设数列&

18、amp;的前 n 项和为 S 若对任意的正整数 n,总存在正整数 m,使得S am, 则称&是 H 数列”(1)若数列&的前 n 项和S 2n(n N )，证明：an是 H 数列”(2)设an是等差数列，其首项a 1，公差d 0.若an是 H 数列”求 d 的值；(3)证明：对任意的等差数列an，总存在两个 H 数列”0和G，使得anbnq(n N )成立.解：(1 )当n2时，a.Ss.,2n2n2n1, 当n 1时，a S2,n 1时，Sa, 当ni 2时，Wan 1,an是H 数列”(2) Sn(nna21)dnn(n21)d ，对nN,mN使Snam,即 nn(；1)2

19、d 1 (m1)d ,取n 2得 1 d(m 1)d,m I 21 d，/ d0,m 2，又m N1,m 1,d1.(3 )设an的公差为d,令 ba(n 1)a(2n)a，对n N,bn 1bia,cn(n 1)(ad),对nN,Cn1Cna1d, 则bnCna1(n 1)da，且bn,G,为等差数列.bn的前 n 项和 Tnn a1n(n2a),令T(2 m)a，则 mn(n23.2 .所以r d 80r (60 d) 80故当d=10 时，r6805(19)【2014 年江苏，19, 16 分】已知函数 f (x)是R上的偶函数； x 的不等式mf (x)we人1,(1)(2)(3)解：

20、(1)(2)(3)680 3d，即5680 3d5最大，即圆面积最大.证明：若关于已知正数 a 满足： 存在 你的结论.x R,f( x)x由题意，m(e即 m w e丄厂 11t1-f(x)/ ax:e eex)wef(x),m 1,，解得10wdw35,(60 d) 80f (x) exe所以当OM = 10 m 时，圆形保护区的面积最大.其中 e 是自然对数的底数.m 1在(0 ,)，使得f(x) a( x：3焉)成立.试比较ea1和a)上恒成立，求实数 m 的取值范围;- f(x)是R上的偶函数. 即m(e对 x (0 ,)恒成立令(t1)2(t 1) 1，当x 1时 f (x)0 ,

21、x 1, h(x)0 ,即存在x1,X。的大小，并证明1)wex1，: x (0 ,), ex1)，则 mw上2, 1 对任意 tex(t(1,)恒成立.1t1占10 - f(x)在(1, h(x)在 x(1,)，使得f (xj a( x/ 3x0),e-1In%ea2e减，因此1 1In aIn ea1，当且仅当t 2时等号成立,3)上单调增，令h(x) a()上单调减， f(1) e12a ,即卩e(e 1)1 n a a 1 ,设 m(a)1em(a)至多有两1 时，m(a)m(1) m(e)(e 1)ln a a 1 ,m(a)单调增；当a当a e时,3x), h(x)m(a)1 e

22、.e 1a1时, m(a)m(a) 0 ,ae3ax(x 1),0 , m(a)单调当1e1a e 时，m(a) 0,ea1；当 a e 时，m(a) 0 ,当n 1时m 1;当n 2时m 1;当n3时，由于 n 和n 3奇偶性不同，即 n(n 因此对n，都可找到m N，使Tnbm成立，即bn为 H 数列”n(n21)(a1d)，令G(m 1)(a d) Fl，则 m11)是非负偶数，m N，即对n N，都可找到m N, 因此命题得证.3)非负偶数，m N.Cn的前n项和R对n N, n(n即Cn为 H 数列”数学n使得R q成立,注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求本试卷只

23、有解答题,供理工方向考生使用.本试，21 题有 A、B、C、D 4 个小题供选做，每位考生在 4 个选做题中选答 2 题.若考生选做了 3 题或 4 题，则按选做题中的前 2 题计分.第 22、23 题为必 答题.每小题 10 分，共 40 分.测试时间 30 分钟.测试结束后，请将答题卡交回.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效.作答必须用色墨水的签字笔.请注意字体工整，笔迹清楚.如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.0.5 毫米黑【选做】

24、本题包括 A、B、C、D 四小题，请选定.中两.，并在相应的答题区域内作答 ，若多做，则按作答 的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(21-A )【2014 年江苏，21-A , 10 分】(选修 4-1 :几何证明选讲)如图， AB 是圆 O 的直径，C、 D 是圆 O 上位于 AB异侧的两点.证明：/ OCB= / D .解：因为 B, C 是圆 O 上的两点，所以 OB=OC .故/ OCB= / B .又因为 C, D 是圆 O 上位于 AB 异侧B= / D .因此/ OCB =ZD .11的两点，故/ B，/ D 为同弧所对的两个圆周角，所以/(21-B )【2

25、014 年江苏，21-B ,10 分】(选修 4-2 :矩阵和变换)已知矩阵 A1 1 21 向量解：A(21-C)x ,y为实数，若Aa= Ba,求x ,y的值.2y 2,B a2 xy【2014 年江苏，：2 y,2y 2，由Aa= Ba得4 y2 xy21-C, 10 分】(选修 4-4：坐标系和参数方程)在平面直角坐标系x 12 ,2- (t 为参数)，直线 I 和抛物线y 2 自I: x y 3 代入抛物线方程y24x并整理得x210 x 9的参数方程为y24x交于 A , B 两点,解:直线(21-D)【2014 年江苏，21-D ,10 分】(选修 4-5：不等式选讲)已知x解：

26、因为 x0, y0,所以 1 + x+y233xy20 , 1+x2+y33x2y 0 ,xOy 中，已知直线 I求线段 AB 的长.0, 交点 A(1,2) , B(9 , 6)，故 |AB| 8 2 .0, y 0 ,证明：1 x y21 x2y 9xy .所以(1 + x+y2)( 1 + x2+y)迩3Gy23x2y =9xy.【必做】第 22、23 题，每小题 10 分，计 20 分.请把答案写在答题卡的指定区域内.(22)【2014 年江苏，22, 10 分】盒中共有 9 个球，其中有 4 个红球，3 个黄球和 全相同.(1)从盒中一次随机取出 2 个球，求取出的 2 个球颜色相同的概率 P;(2)从盒中一次随机取出 4 个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为 人，中的最大数，求 X 的概率分布和数学期望E(X).2 个球颜色相同共有C4C：C：_518 .解：(1) 一次取 2 个球共有C936种可能情况，取出的2个球颜色相同的概率P362 个