方法技巧专题05,,立体几何中平行与垂直证明（原卷版）

1、方法技巧专题05,立体几何中平行与垂直证明（原卷版） 方法技巧专题 5 立体几何中平行与垂直证明 一、立体几何中平行与垂直知识框架 【一】"平行关系'常见证明方法 二、立体几何中的向量方法 ccbab a Þ1.1 直线与直线平行的证明 1.1.1 利用某些平面图形的特性：如 平行四边形的对边互相平行等 1.1.2 利用 三角形中位线性质 1.1.3 利用空间平行线的传递性（即公理 4）： 平行于同一条直线的两条直线互相平行。 1.1.4 利用直线与平面平行的性质定理： 如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平 面 相交，那么这条直线和交线平行。 1.

2、1.5 利用平面与平面平行的性质定理： 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 1.1.6 利用直线与平面垂直的性质定理： 垂直于同一个平面的两条直线互相平行。 1.1.7 利用平面内直线与直线垂直的性质： 在 同一个平面 内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。 1.1.8 利用定义： 在同一个平面内且两条直线没有公共点 1.2 直线与平面平行的证明 1.2.1 利用直线与平面平行的判定定理： 平面外的一条直线与此平面内的一 条直线平行，则该直线与此平面平行。 1.2.2 利用平面与平面平行的性质推论： 两 个 平 面 互 相 平 行 ， 则 其 中 一 个 平 面 内 的

3、 任 一 直 线 平 行 于 另 一 个 平 面 。abaa b baa= ÇÌb aba b a Þbaa= ÇÌb aba b a Þb aba /Þïþïýü=g bg ab aiibabab a Þb abaaaÌËa a Þaab 1.2.3 利用定义： 直线在平面外，且直线与平面没有公共点 1.3 平面与平面平行的证明 1.3.1 利用平面与平面平行的判定定理： 一个平面内的两 条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

4、 1.3.2 利用某些空间几何体的特性：如 正方体的上下底面互相平行等 1.3.3 利用定义： 两个平面没有公共点 1. 例题 例 【例 1 1 】 如图，已知菱形 abcd ，其边长为 2， 60 bad Ð = ， abd d 绕着 bd 顺时针旋转 120 得到pbd d ， m 是 pc 的中点 （1）求证： / / pa 平面 mbd ； （2）求直线 ad 与平面 pbd 所成角的正弦值 【例 2 2】 】 已知四棱锥 p-abcd，底面 abcd 是o60 = Ða 、边长为 a 的菱形，又 abcd pd 底 ，且 pd=cd，点 m、n 分别是棱 ad、p

5、c 的中点 证明：dn/平面 pmb。 ab aaÌ ab a Þaabb/bap b aba=a b / abb ap nmbpdca 例 【例 3 3 】如图，已知点 p 是平行四边形 abcd 所在平面外的一点， e ， f 分别是 pa ， bd 上的点且pe ea bf fd = ，求证： ef/ 平面 pbc 2. 巩固提升综合练习 习 【练习 1 1 】如图，在六 面体 abcdefg 中，平面 abc 平面 defg ， ad 平面 defg ，ac ab , dg ed , ef dg ,且 2 = = = = dg de ad ab , 1 = = ef

6、 ac 求证： bf 平面 acgd ； 【练习 2 2 】如图， e ， f ， g ， h 分别是正方体1 1 1 1abcd abc d - 的棱 bc ，1cc ，1 1c d ，1aa 的中点 求证：（1） eg 平面1 1bb d d ； （2）平面 bdf 平面1 1b d h a b c d e g f 习 【练习 3 3 】在如图所示的五面体 abcdef 中，四边形 abcd 为菱形，且 60 dab Ð = ， / / ef 平面abcd ， 2 2 ea ed ab ef = = = = ， m 为 bc 中点. 求证： / / fm 平面 bde . 【二】

7、 "垂直关系'常见证明方法 1 2.1 直线与直线垂直的证明 2.1.1 利用某些平面图形的特性：如 直角三 角形的两条直角边互相垂直, , 等边、等腰三角形（中线即高线），正方形、矩形邻边垂直，正方形菱形对角线垂直等。 2.1.2 看夹角： 两条共（异）面直线的夹角为 90 ，则两直线互相垂直。 2.1.3 利用直线与平面垂直的性质： 如果一条直线与一个平面垂直，则这条直线垂直于此平面内的所有直线。 2.1.4 利用平面与平面垂直的性质推论： 如果两个平面互相垂直，在这两个平面内分别作垂直于交线的直线，则这两条直线互相垂直。 2.1.5 利用常用结论： 如果两条直线互相平行

8、，且其中一条直线垂直于第三条直线，则另一条直线也垂直于第三条直线。 如果有一条直线垂直于一个平面，另一条直线平行于此平面，那么这两条直线互相垂直。 2.2 直线与平面垂直的证明 2.2.1 利用某些空间几何体的特性：如 长方体侧棱垂直于底面 等 2.2.2 看直线与平面所成的角： 如果直线与平面所成的角是直角，则这条直线垂直于此平面。 2.2.3 利用直线与平面垂直的判定定理： 一条直线与一个平面内的两 条 相 交 直线都垂直，则该直线垂直于此平面。 l a b l bl abal Ì ÌÌ Ì= = Ç Ç b ba ab b a

9、ab b a ab a Þc ab ac b Þbala aa Þïïþïïýülb la la b aba=ÌÌiaab a c a b aaÌbaa b Þ ab aa ba b a Þ abÌaab a Þaabab a ab Þ aa p b c f e d 2.2.4 利用平面与平面垂直的性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。 2.2.5 利用常用结论： 一条直线平行于一个

10、平面的一条垂线，则该直线也垂直于此平面。 两个平面平行，一直线垂直于其中一个平面，则该直线也垂直于另一个平面。 2.3 平面与平面垂直 的证明 2.3.1 利用某些空间几何体的特性：如 长方体侧面垂直于底面等 2.3.2 看二面角： 两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角（即平面角是直角的二面角），就说这连个平面互相垂直。 2.3.3 利用平面与平面垂直的判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。 1. 例题 【例 1 1】 】如图,四边形 abcd 为矩形，cf平面 abcd，de平面 abcd，ab=4a，bc= cf=2a，p 为 ab的中点.求证：平面 pcf平面

11、pde. 【 例 2 2 】 】 如 图 ， 在 四 棱 锥 a b c d p - 中 ， abcd 是 矩 形 ，a b c d pa 平面 ， 3 , 1 = = = ab ad pa ，点 f 是 pd 的中点，点 e 在 cd 上移动。 求证： af pe 。 abcdpefa bb aa Þ al aalÌ= Çab ab ab Þ abaalaabaab 【例 3 3 】如图，在四边形 abcd 中， 4 = = ad ab ， 7 = =cd bc ，点 e 为线段 ad 上的一点.现将dce d 沿线段 ec 翻折到 pac ，使得平面

12、 pac 平面 abce ，连接 pa ， pb . 证明： bd 平面 pac . 2. 巩固 提升综合练习 【练习 1 1 】 如图，四棱锥 s-abcd 的底面是矩形，sa 底面 abcd，p 为 bc 边的中点，sb 与平面 abcd 所成的角为o45 ，且 ad=2，sa=1。 求证：pd 平面 sap； 【练习 2 2】 】 如图，在三棱柱1 1 1abc abc - 中，侧棱1aa 底面 abc ， m 为棱 ac 的中点 = ab bc ， =2 ac ，1 = 2aa （1）求证：1b c 平面1abm ； （2）求证：1ac 平面1abm ； 【练习 3 3 】如图，四棱锥

13、 p abcd - 中， 2 2 ab ad bc = = = ， bc ad ， ab ad ， pbd 为正三角形 且 2 3 pa= 证明：平面 pab 平面 pbc 三 、课后自我检测 1如图，四边形 abcd 为正方形， ea 平面 abcd ， ef ab ， 4 ab= ， 2 ae= ， 1 ef = （1）求证： bc af ； （2）若点 m 在线段 ac 上，且满足14cm ca = ，求证： em 平面 fbc ； （3）求证： af 平面 ebc 2直三棱柱1 1 1abc abc - 中， 5 ab = ， 3 ac = ， 4 bc = ，点 d 是线段 ab 上的动点. （1）当点 d 是 ab 的中点时，求证： /1ac 平面1bcd ； （2）线段 ab 上是否存在点 d ，使得平面1 1abb a 平面1cdb ？若存在，试求出 ad 的长度；若不存在，请说明理由. 3.如图， abc d 为等边三角形， ea 平面 abc ， / / ea dc ， 2 ea dc = ， f 为 eb 的中点. （）求证： / / df 平面 abc ；