选修1-1选修2-1圆锥曲线与方程第一节椭圆定义与几何性质

1、椭圆及几何性质考向一：定义法、待定系数法求标准方程【例】已知椭圆的两个焦点为（-2，0），（2,0）且过点，求椭圆的标准方程【例】一动圆与圆外切，同时与圆内切，求动圆圆心的轨迹方程【解析】设圆的半径为，由题，故，即的轨迹是以为焦点的椭圆，标准方程为【例】（1）焦点在轴上时（2）焦点在轴上时考向二：定义运用（拓展：焦点三角形）【例】椭圆的两个焦点为 、，弦经过，则的周长为（ ）A B C D【解析】的周长为【例】若点在椭圆上，、分别是椭圆的两焦点，且，则的面积是（ ）A B C D【解析】由椭圆方程可知 由题意可得，故B正确思考：（1）改成，求 （2）若，求【思路点睛】椭圆焦点三角形的应用思路：

2、椭圆上一点与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”，主要考虑利用椭圆定义可求其周长；利用椭圆定义和余弦定理（勾股定理）可求，或通过整体代入可求其面积等【例】已知椭圆：，点与的焦点不重合，若关于的两焦点的对称点分别为，线段的中点在上，则 【解析】由椭圆方程得： 所以， 如图所示，点分别是线段的中点，所以分别是的中位线，所以，因为点在椭圆上，所以所以，【练1】已知椭圆C：+=1（ab0）的两个焦点分别为F1（1，0），F2（1，0），且椭圆C 经过点P（，）, 椭圆C的方程为 【练2】已知椭圆的焦点分别为，是椭圆上一点，若连接，三点恰好能构成直角三角形，则点到轴的距离是（ ）A3 B C或

3、 D【练3】已知椭圆:，左右焦点分别为，过的直线交椭圆于 两点，则的最大值为_【练4】已知点为椭圆上任意一点，、分别为椭圆的左、右焦点，为的内心，若成立，则的值为 【解析1】由题意可知，由椭圆定义可知 ，椭圆方程为【解析2】当或时，点的纵坐标为，代入椭圆方程得，解得，所以点到轴的距离为；当时， 且 ，由，得设点到轴的距离为，则由三角形面积公式，得，即，所以不满足条件，故选B【解析3】由椭圆方程知，又根据椭圆的定义知，即，所以当最小时，即垂直轴时，最大，此时易知，所以最大值，以答案应填：【解析4】设的内切圆的半径为，为的内心，所以 因为为椭圆上任意一点，、分别为椭圆的左、右焦点，由椭圆的定义得，

4、得.考向三：几何性质【例】已知椭圆，若焦距为，则等于（ ）A B C或 D或【解析】由题意得，当时，即时，椭圆的焦点在轴上，此时，解得；当时，即时，椭圆的焦点在轴上，此时，解得，所以实数的值为或【练】椭圆以轴和轴为对称轴，经过点，长轴长是短轴长的倍，则椭圆的方程为（ ）A B C或 D或【解析】当为长轴端点时，由题意可知，此时椭圆焦点在轴，所以椭圆方程为；当为短轴端点时，由题意可知，此时椭圆焦点在轴，所以椭圆方程为【例】如图，椭圆（ab）的离心率，左焦点为F，A，B，C为其三个顶点，直线CF与AB交于D，则tanBDC的值为 【解析】因为，所以；因为，所以【一题多解】法二：法三：法四：考向四：

5、离心率及取值范围求椭圆离心率的方法：（1）直接法：即根据条件直接求出的值，利用离心率公式直接求解；（2）比值法：即列出含有的齐次方程（或不等式），借助于间的关系消去，转化为含有的方程（或不等式）求解【例】椭圆的左、右顶点分别是，左、右焦点分别是若是，的等比中项，则此椭圆的离心率为（ ）A B C D2【解析】由题意，得，即，即，所以，故选B【例】椭圆的左焦点为,过原点的直线与相交于两点，连接，若，则的离心率 【解析】在中，由余弦定理得：，又，所以，设为椭圆的右焦点，连接，根据对称性可得四边形是矩形，所以，由，所以【例】如图所示，分别是椭圆的右、上顶点，是的三等分点（靠近点），为椭圆的右焦点，的

6、延长线交椭圆于点，且，则椭圆的离心率为 【解析】设A ，B ，F ，椭圆方程为，令，可得，即有M ，由C是AB的三等分点（靠近点B），可得C ，由O，C，M共线，可得，即为，即有，则【例】如图，在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹是椭圆，那么这个椭圆的离心率是（ ）A B C D【解析】设，由题意可得，又因为，所以，所以，所以【练1】设椭圆()的左、右焦点分别为，是上的点，则的离心率为（ ）A B C D【练2】设是椭圆的左右焦点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则C的离心率为（ ）A、 B、 C、 D、【练3】如图，点为椭圆：的右顶点，在椭圆上，若四

7、边形为平行四边形，且，则椭圆的离心率为（ ）A B C D【练4】已知点是椭圆 上的一点，是椭圆的两个焦点，若的内切圆的半径为，则此椭圆的离心率为 【练5】设为椭圆的两个焦点，为椭圆上的点，且，则椭圆的离心率为（ ）A B C D【练6】在以为中心， 为焦点的椭圆上存在一点，满足，则该椭圆的离心率为（ ）A B C D【解析1】设，因为，所以，又，所以，所以椭圆的离心率为【解析2】作出图象，如图所示，由题意，得在中，则在中，则，即，即椭圆的离心率为【解析3】由椭圆对称性知，点在线段的垂直平分线上，所以点的横坐标为，代入椭圆议程得点的纵坐标为，所以，则由，得，所以椭圆的离心率为，故选D【解析4】

8、一方面的面积为；另一方面的面积为，又，椭圆的离心率为.【解析5】根据向量数量积的性质，由得中利用三角函数的定义算出，利用勾股定理算出，进而得到长轴，即可算出该椭圆的离心率， 【解析6】延长与椭圆交于，因为与互相平分，所以四边形是平行四边形，所以，因为，因为，所以，所以，所以离心率取值范围问题：【例】椭圆的左右焦点为，椭圆上恰有个不同点，使为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是_【解析】6个不同的点有两个为短轴的两个端点，另外4个分别在第一、二、三、四象限，且上下对称左右对称，不妨设点在第一象限，则，当，所以，整理可得，又，当时，所以，综上可得离心率的范围为【例】设A为椭圆（）上一点，点A关于

9、原点的对称点为B，F为椭圆的右焦点，且AFBF若ABF，则该椭圆离心率的取值范围为 【解析】B和A关于原点对称B也在椭圆上，设左焦点为F，根据椭圆定义：|AF|+|AF|=2a又|BF|=|AF|AF|+|BF|=2a O是RtABF的斜边中点，|AB|=2c又|AF|=2csin |BF|=2ccos 代入2csin+2ccos=2a 【练1】已知、是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，若，则该椭圆离心率的取值范围为 【练2】设点，分别为椭圆：的左右顶点，若在椭圆上存在异于点，的点，使得，其中为坐标原点，则椭圆的离心率的取值范围是 【练3】已知椭圆M：+=1（ab0）的左、右焦点分别为F1（c，0

10、），F2（c，0），P为椭圆M上任意一点，且的最大值的取值范围是c2，3c2，其中c=，则该椭圆的离心率的取值范围为 【解析1】由已知得，又，故；故应填.【解析2】由题意以为直径的圆与椭圆有除以外的交点，圆方程为，由，得，此方程一根为，另一根为，则，所以【解析3】由题意，设点P为（x，y），+=1，x2=，=（cx，y），=（cx，y），=x2c2+y2=c2+y2=a2c2，当y=0时，取到最大值a2c2，即c2a2c23c2，ca2c，e，椭圆m的离心率e的取值范围是：，考向五：椭圆方程应用拓展（补充：通径，焦半径）【例】设分别为和椭圆上的点，则两点间的最大距离是（ ）A. B. C. D

11、.【解析】【例】如图，椭圆的中心为原点，长轴在轴上，离心率，过左焦点作轴的垂线交椭圆于、两点，（1）求该椭圆的标准方程；（2）取垂直于轴的直线与椭圆相较于不同的两点、，过、作圆心为的圆，使椭圆上的其余点均在圆外若，求圆的标准方程由椭圆的对称性，可设Q(x0,0)设M(x，y)是椭圆上任意一点，则|QM|2(xx0)2y2x22x0xx02(x2x0)2x028(x4,4)设P(x1，y1)，由题意，P是椭圆上到Q的距离最小的点，因此，上式当xx1时取最小值，又因x1(4,4)，所以上式当x2x0时取最小值，从而x12x0，且|QP|28x02.因为PQPQ，且P(x1，y1)，所以(x1x0，

12、y1)·(x1x0，y1)0，即(x1x0)2y120.由椭圆方程及x12x0得，解得，.从而|QP|28x02.故这样的圆有两个，其标准方程分别为，.【练1】已知是椭圆上任意一点，是圆的直径，则的最大值为 【练2】已知椭圆左焦点为，、是该椭圆上不同的三点，若是的重心，则_【练3】若椭圆和椭圆的焦点相同且给出如下四个结论：椭圆和椭圆一定没有公共点；其中所有正确结论的序号是_ _【解析1】【解析2】由题意可得，设三点的横坐标分别为：，因为是的重心，所以有，即，根据椭圆的焦半径关系可得，故答案为【解析3】两方程联立求解，无解，即结论正确；可得，又因，所以，故结论不正确因两椭圆共焦点，所以

13、，即，故结论正确由前面结论知，所以，则，即，故，因此所以结论正确综上，正确结论的序号为考向六：直线与椭圆（一）：坐标法、点差法【例】已知椭圆的右焦点为,过点的直线交椭圆于两点若的中点坐标为,则的方程为（ ）A B C D【解析】设，则，两式相减可得，依题意，则，即，又，得，即椭圆方程为【例】已知椭圆：的离心率为，过右焦点且斜率为（）的直线与椭圆相交于两点若，则_【解析】由已知e，所以，所以，则椭圆方程1变为设A，又3，所以，所以，所以， ， 9×，得，所以，所以，所以，从而，所以A，B，故【例】直线与椭圆相交于两点，该椭圆上点使得面积为2，这样的点共有（ ）个A 1 B 2 C 3

14、D 4【解析】直线与椭圆联立得：或设，根据条件，若点到直线的距离为那么，解得设与已知直线平行的直线为，并且与椭圆相切，这样联立椭圆方程，令，解得所以切线方程是和因为直线与已知直线的距离为，同理直线与已知直线的距离为这样到直线的距离为的直线有两条，这两条直线与椭圆都相交，分别有两个交点，共4个，故选D【例】已知点是椭圆上的动点，、为椭圆的左、右焦点，为坐标原点，若是的角平分线上的一点，且，则的取值范围是 【解析】如图，延长，交与N点，PM是平分线，且，|PN|=|PF1|，M为中点，连接OM，O为中点，M为中点在椭圆 中，设P点坐标为则，P点在椭圆上，（0，a，又当=a时，不成立，（0，a）|O

15、M|（0，c）【练1】椭圆=1中，以点M（1，2）为中点的弦所在的直线斜率为（ ）A B C D【练2】椭圆上的点到直线的最大距离是 【练3】已知椭圆的离心率是，过椭圆上一点作直线交椭圆于两点，且斜率分别为，若点关于原点对称，则的值为 【练4】线段是椭圆过的一动弦，且直线与直线交于点，则【练5】如图平面直角坐标系中，椭圆，分别是椭圆的左、右两个顶点， 圆的半径为2，过点作圆的切线，切点为，在轴的上方交椭圆于点则 【练6】椭圆的左右焦点分别为，弦过，若的内切圆周长为，两点的坐标分别为，则值为A B C D【解析1】设弦的两端点为A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆得，两式相减得，即，即，弦所在的直线的斜率为，【解析2】设与直线平行的直线方程为,将其代入椭圆方程得，令,解得，或椭圆上点到直线的距离的最大值转化为直线与直线的距离的最大值显然其中当时，距离最大，最大值为两条平行线的距离【解析3】设，则由点差法得因此，因为离心率是，所以，从而【解析4】设直线的方程为，所以，设的横坐标为，联立，化简得，所以，代入化简得【解析5】由题意可知,在中,所以,所以直线的斜率.则直线的方程为.消去整理可得,解得或.可得.,在中, ,.【解析6】椭圆： a=5，b