量子力学讲义(修订)

1、第一部分：经典物理学所遇到的困难1、黑体辐射1）热辐射：在一定温度下任何物体都能以电磁波形式向外辐射能量，这种依赖物体温度的辐射叫热辐射2）黑体：如果一具物体能够吸收入射到它上面的全部电磁波而不反射电磁波，那么这种物体就叫做黑体，黑体是一个理想模型，如一个空腔只开一个很小的口，从入口中射入的电磁波在空腔中反复反射，我们认为最终会将所有的电磁波吸收，很少有机会从反射出来。如下图所示当达到热平衡时，也就是说，黑体空腔内的温度与壁的温度一致时，空腔内的辐射的能量分布只与温度有关，关于黑体辐射的几个公式1）维恩公式维恩从分析实验数据得到的经验公式为：处于频率间的能量为： （1）其中为经验参数，除了低频

2、率部分，维恩公式实验结果符合很很好。2）瑞利-金斯公式处于频率间的能量为： （2）其中为光速，为玻耳兹曼常量，此公式在低频部分与实验曲线符合得很好，但是在高频部分是发散的，与实验明显不符，称之为紫外灾难。3）普朗克公式普朗克总结了分析了上述两个公式，发现上述两个公式可以用一个公式来总结，这就是普朗克公式，与实验结果符合非常好。 （3）不难看出，在高频段，此公式趋向于维恩公式，这是因为当，所以有在低频段，也就是时，趋向于瑞利-金斯公式，这是因为当时，所以有普朗克首先是从数学上发现了这一公式，他觉得非常呀，他认为这里面一定有不为人知的物理原因，经过几个月的思考，最后他得出的结论是，如果承认能量是分

3、散的，也就是辐射能是一份份的，就可以推导出上述公式，于是普朗克得到了能量量子化的结论，这和经典的物理思想是格格不入的，因为经典的电磁理论认为，辐射能是连续的。普朗克引进了能量量子化的概念，他认为物体吸收和发射电磁波只能以量子的方式进行，每一份能量为。2、光电效应经典理论（牛顿力学与电磁理论）遇到的另一个难题是光电效应，电子吸收光子而发生逸出，它呈出来的规律为（1）对于一定金属，存在着一个最低的频率，低于这个频率，无论入射光有多强，都不会观察到光电子的逸出。（2）光电子的最大的逸出速率与频率有关而与强无关。这两点经典电磁理论无法解释，因为电磁理论认为，光的能量与光强有关而与频率无关，因此，不会存

4、在一个最低的频率，而打不出光电子，光电子的最大动能应与光强有关，而与频率无关，爱因斯坦首先应用普朗克的理论完美的解释了光电理论为光电子的动能，为一份入射光子的能量，电子脱离金属表面所做的功，称之为表面逸出功，与金属种类有关。爱因斯坦因光电效应公式而获得诺贝尔物理学奖，其实这只是他对物理学做出的贡献的很少的一部分。3、原子的稳定问题卢瑟福原子核模型表明，原子为一个带正电的原子核和带负电的电子围绕着它转动，这个模型有一个问题，按照经典电磁理论，一个电子围绕着原子核做圆周运动，它必然会辐射电磁波，电磁波的能量只能来自电子的动能，因此电子的速度会减少，而最终会掉到原子核上，原子会发生塌缩，原子很大，原

5、子核很小，因此我们应观察到物质会消失掉，但我们从来没有观测到这样的事情发生，所以原子稳定的存在难以用经典的理论解释。第二部分：量子力学的基本概念1、三维向量空间向量：有大小有方向的量称之为向量（矢量），如三维空间的向量。向量空间：全部向量的集合构成了向量空间。如三维空间的全体向量构成了三维空间的向量空间。正交归一基：在三维空间中选择三个两两相互正交的基记作，则任何向量可以表示为，称之为三维向量空间的一种表示，记作，当然我们也可以选择另一组两两相互正交的基，向量可以表示为两个向量加减仍为向量空间的一个向量在基分另表示为，则有表示为，表示为对于n维向量空间，我们总可以找到n个两两正交的单位向量构成

6、了正交归一的基，任何向量表示为其中为在上的投影。2、复数向量空间向量的系数可以为复数，这样的复数向量构成了复数向量空间。由于描述粒子状态的量子态有方向，有大小，而且会发生干涉，因此可以用复数向量来描述。我们把可以把它记作狄拉克符号空间的态矢。以二维复数向量空间为例，所有的二维的复数向量构成了二维复数向量空间，在复数向量空间中我们总可以找到二个两两正交的单位向量，构成了一组正交归一基，可以分解为，其中表示在上的投影。态矢可以表示为，存在着右矢空间，就必然有共轭的复数向量空间，称之为左矢空间，右矢空间有右矢，在左矢空间就有应的左矢，与互为共轭向量。左矢表示为， 则有相应的对应运算规则，为一复数；，

7、向量的内积向量与的内积记为或者，可知称之为左乘下面讨论二维复数向量的表示对于自旋，我们可以用，或表示自旋沿z轴向上，相应的本征值为，同样，我们可以用，或表示自旋沿z轴向上，相应的本征值为，为了方便其间，我们这里统一用，作用基来表示自旋沿z轴向上和向下，这是一组正交归一完备基，也就说满足以下条件且这个向量空间的任何向量都可以表示为其中表示测量时态出现的几率，表示测量时态出现的几率，由于几率的归一化原因，因此需要同样我们可以用，分别表示自旋沿y轴向左和向右的量子态矢，这也构成了另一组正交归一基，那么如何用，表示和呢？前面讲过的实验表明，如果处于沿x轴向左和向右的量子态矢，则测到的几率均为，所以最简

8、单的写法应该是易证明，它们也是正交归一完备基。同样我们可以用，分别表示自旋沿z轴向外和向里的量子态矢可以表示为容易证明，这也是一组正交归一的完备基。并且可以写成也就是说，当粒子自旋方向指向x轴的正方向时，测得粒子处于的几率为，（把仪器指向左边）测得粒子处于的几率为。（把仪器指向右边）n维任意态矢在一组正交归一基上的表示，其中，将其代入可以得到，所以有为单位算符。同样有3、线性算符线性算符好比一台机器，有两个接口，一个入口，一个出口，把一个向量从入口输入，开动机器，把一个向量输出。记作M为线性算符：这表示，是复数。算符在基上的表示写成矩阵的形式为可以表示三个矩阵相乘，厄米算符：的算符叫厄米算符矩

9、阵为的转置再对每一个元素取复共轭。例如：，一般说来，但有些矩阵，如满足条件，我们把这种矩阵叫厄米矩阵，对应的算符称之为厄米算符算符M为厄米算符的条件：如果，则有厄米算符对应着可观测量，如动量，坐标，能量，角动量，自旋等。4、本征态，本征值一般来说，与的方向不一样，与不是同一量子态，但也有特殊的态矢，满足，M作用后，态矢的方向没有发生改变，只是长度发生了变化。如三维的转动，总一个方向不会发生变化。如果算符M满足，那么我们称态矢为算符M的一个本征态，为与本征态矢相对应的本征值。定理1：厄米算符的本征值为实数证明，设为算符M的一个本征态，为相应的本征值，则有 （1）对上式取复共轭则有 （2）（1）式

10、左乘得到 （3）（2）式右乘得到 （4）如果M为厄米算符，则有，所以有 定理2：厄米算符的不同本征值对应的本征态正交证明：设为算符M的两个本征态，为对应的本征值，且，所以有 （1）对上式取复共轭则得到 （2）（1） 式左乘减去（2）式右乘得到因为，所以有算符的平均值：一算符L在任意量子态上的平均值为，记作，将用L的本征态矢构成的正交归一基进行展开，其中，等于相应的几率乘以本征值5、量子力学的几个基本假设（1）物理上能够观测的量都是可观测量，可观测量都是用厄米算符描述（2） 可观测的值为相应本征态的本征值（3）物理上可以区分的态一定正交（4）对于一般归一的态，可观测量为M，设，对量子态 测量M的

11、值为的概率为 （5）当你测量量子态中的M量，测得的结果为时，就把系统的量子态准备到一个确定的态，（与本征值相对应本征态）如，为的本征值，如果系统的测量的结果为，则系统量子态由（6）一个量子系统中的两个态的内积不随时间而改变设有两个量子态矢，有一时间演化算符，满足，则有从中可以得到时间演化算符满足上述条件，所以称之为幺正算符。设演变的时间为一个无穷小量，则对进行级数展开，可以得到，取互共轭得到时间算符的幺正性可以生成一个与能量有关的厄米算符H。6、薛定谔方程的推导由时间演化算符可知两个力学量同时具有确定值的条件是两力学量对易证明：1、充分性设为A，B共同本征态构成的正交归一基，设有对于任意量子态

12、证明：必要性，如果，则A，B有共同的本征态设为A的本征态，则，所以也是A的本征态，假设A的本征值均不同，所以与是同一量子态，也就是说态随时间演化设一量子态满足薛定谔方程设为一组H能量本征态也就是满足构成了正交归一基，则有 7、连续性本征值，波函数以上我们讨论了本征值是离散情况，下面我们讨论本征值是连续的情况，如一粒子在一维上运动，由于坐标是可观测量，因此可以构成算符，当粒子处于x时，粒子就处于坐标的本征态，我们可以用来描述，所以的可能的x算符的本征值构成了连续的本征态集合，这些本征态集合构成了完备的基，任何一个态可能用展开，其中为概率幅，称之为波函数，物理意义为，在的范围内找到粒子的概率为，因此又称为概