放缩法在导数压轴题中的应用郑州第四十四中学

1、恰当采用放缩法巧证导数不等式郑州市第四十四中学苏明亮放缩法是高中数学中一种重要的数学方法，尤其在证明不等式中经常用到.由于近几年数列在高考中的难度要求降低，放缩法的应用重点也逐渐从证明数列不等式转移到导数压轴 题中，尤其是在导数不等式证明中更是大放异彩下面试举几例，以供大家参考.、利用基本不等式放缩，化曲为直例1( 2012年高考辽宁卷理科第 21题(n)设f(x)ln(x 1) , x 11.证明：当0 x 2 时，f(x)x9x6证明：由基本不等式,x 0 时，2 (x 1) 1 xf (x)ln(x1)记 h(x)ln(x1)则 h'(x)11xln(x 1)-22时,所以ln(

2、x 1)9xx 654(x 6)2x(x2 15x 36)2(x 1)(x 6)2h'(x)0,所以h(x)在(0, 2)内是减函数.故又由h(x)h(0)0 ,，即 ln(x 1)x 6故当09xx 2 时，f (x)x 6评注：本题第(n )问若直接构造函数 h(x)，对h(x)进行求导，由于h'(x)中既有根式又有分式，因此h'(x)的零点及相应区间上的符号很难确定，而通过对进行放缩处理，使问题得到解决上面的解法中，难点在用基本不等式证明'、F7 x 1，亦即是将抛物线弧 y. n 放大化简为直线段 y 1，而该线段正是2 2抛物线弧y,n在左端点(0,1

3、)处的切线，这种“化曲为直”的方法是我们用放缩法处理函数问题的常用方法二、利用单调性放缩，化动为静例2(2013年新课标全国n卷第 21题(n)已知函数f(x) ex ln(x m).当m 2时，证明f (x)0.证法1函数f(x)的定义域为(m,则 f'(x)(x m)ex 1设 g (x) (x m)ex1因为g'(x)(xm 1)ex所以g(x)在(m,)上单调递增又 g( m) 10，g(2 m) 2e2故 g (x)0在(m,)上有唯一实根x0.当 x ( m,x°)时，g(x) 0，f'(x)0 ；当 x (X。)时，g(x)0，f'(x)

4、0，从而当x x0时,f (x)取得最小值为f(x0).由方程g(x)0的根为x0，得e*，In(x°m) x°，x°1故 f(X。)x°(X°X0 mm)(当且仅当x° m1取等号)，又因为m2时,所以 f (x0)0 .取等号的f(x。)0条件是x0 m及m 2同时成立，这是不可能x0m的，所以f(xj故 f(x)0.证法2：因yIn x在定义域上是增函数,m 2，所以 ln(x 2) In(x m)，故只需证明当m2时，f(x) 0即可.当m 2时,f'(x)ex2,)上单调递增又 f '( 1)0, f 

5、9;(0)0，故 f '(x)2,)上有唯一实根x0，且x0 ( 1,0).当 x ( 2,x。)时,f '(x)时，f '(X)0，从而当 x x0 时，f (x)取得最小值.由 f '(x)0 得 ex2 ， |n(x02)x0，故 f(x)f(x0)(x0 1)2X02X02综上，当m 2时，f(x) 0.评注：借助导数取值研究函数单调性是证明初等不等式的重要方法证法1直接求导证明，由于其含有参数 m，因而在判断g(x)的零点和求f(x)取得最小值f(x0)显得较为麻烦；证法2利用对数函数 y In x的单调性化动为静，证法显得简单明了.此外，本题也是处理

6、函数隐零点问题的一个经典范例.三、活用函数不等式放缩，化繁为简两个常用的函数不等式：ex x 1 (x R)Inx x 1(x0)两个常用的函数不等式源于高中教材(人教出现在高考试题中，笔者曾就此问题写过专题文章A版选修2-2，巳2)的一组习题，曾多次1例3 ( 2014年高考新课标I卷理科第21题)设函数f (x)aex In xbex 1，曲线y f (x)在点(1,f(1)处的切线方程为y e(x 1) 2.(I)求 a,b(II)证明：f (x)1.分析：本题以曲线的切线为背景，考查导数的几何意义，用导数作工具研究函数的单调性，求函数最值以及不等式的证明.第(I)问较容易，一般学生都能

7、做出来，只需求出函数f(x)的导数，易得a 1,b2.第(II)问难度较大，主要考查考生运用导数知识证明不等式的能力及运算求解能力，是近年来高考压轴题的热点问题本题第(II)问证法较多，下面笔者利用函数不等式来进行证明证明：由 ex x 1，得 ex 1 x，即 ex ex,1 x故 e(当且仅当x 1时取等号)ex又由ex 1 x，得一 e1 x，故e exex，两边取自然对数得In (ex) 1 -xex11即lnx0 (当且仅当x 时取等号)exe2由于、式等号不能同时成立， 两式相加得Inxe x，两边同乘以ex，得f (x)1.ex评注：本题证明中利用函数不等式ex x 1，并进行适

8、当变形，结合不等式性质进行证明，从而避免了繁杂的计算，过程简洁自然，易于理解2x 1例4( 2016年高考山东卷理科第 20题(n)已知f(x) a x In x ,a R .x当a 1时，证明f (x)f (x)3对于任意的x 1,2成立.证明：f (x)的定义域为(0,),f'(x) a2x 11 2f(x) f'(x)xIn x2(1_ -2xx x3 12xIn x2_31 , xx xx由Inx x1得f (x)f'(x)x.3In x x即只需证312 3x1,2xxx 2a22(ax22)( x1)533,a 1 时,xxxx2)x1,2123 1221_

9、 2x 1,2.xxx xx ,3x2 2x 64x令 h(x) 3 丄彳,x 1,2，则 h'(x)x x x设(x)3x2 2x 6，则(x)在x 1,2单调递减,因为(1)1, (2)10,所以在1,2上存在 xo使得 x (1, xo)时，(x) 0,x (xo,2)时，(x) 0 ,所以函数h(x)在(1,xo)上单调递增，在(心2)上单调递减,由于h(1)2,h(2)3-,因此当x21,2时，h(x)#h(2)32，当且仅当x 2时取得等号,所以f(x)f'(x)h(2) 3 ,即 f(x)f'(x)3对于任意的x21,2恒成立.评注：要证明f(x) f&#

10、39;(x),312x In x23x x x13 .，比较麻烦的是式子中有2Inx ,如果能让它消失，问题势必会简单些，所以自然就想到了利用比较熟悉的函数不等式 Inx x 1进行放缩，方法自然，水到渠成.上述两个常用函数不等式的变式:e % 1 x(x R)x e1-(x1)x111In1(x0)xxIn xx1(x0)x四、巧用已证不等式放缩，借水行舟例5 （2016年高考新课标川卷文科 21题）设函数f（x） In x x 1.（I ）证明当x(1,)时,1In x(II )设 c 1 ,证明当x(0,1)时，1(c1)x证明：（I）易证当x1,时,In x1 ,"丄xx 1

11、1，即 1 D x.In x（II ）由题设c1,设 g(x)1xc ,则 g (x)cx I n x ,令，g x.c 1 In解得Inc.当x xo时，gg x单调递增;xo时,单调递减由（I ）知,1 In cX。1，又 g(0)g(1)故当0 x1时,g x 0所以当x0,1 时，1 c 1 x评注：本题第（II）问利用第（I）中已证明的不等式1x 1In xx及x0.c 1In血巧妙In cg（1）0证明出地求出0x01进而利用g x在0 x 1单调性及端点值 g （0）g x 0 利用已证不等式（或结论）服务后面问题的情况，在高考和模考试题中屡屡出现，这种解题中的“服务意识”不仅可

12、以避开复杂的计算， 往往也为解题思路指明了方向.下 面再看一例:例6 （2013年高考辽宁卷理科 21题）已知函数3f x 1 x e , g x(I )证明：1 x f xxax 1 2xcosx.当 x 0,1 时, 21 ；(ii )确定a的所有可能取值，使得f x g x 恒成立证明：(I )证明：要证x 0,1时，1 x e 2x 1 x,只需证明1 x e x (1 x)ex .记 h(x)1 x e x (1 x)ex，则 h'(x)x(ex e x).当 x(0,1)时，h'(x)0 ,因此h(x)在0,1上是增函数，故h(x) h(0)=0 所以f0,1 要证

13、x0,1 时,2x e1T_,只需证明x综上,1r_x(II )解:2x e(ax3x122xcosx)ax3x1 2xcosx2x(1 a设 G(x)2x22x c2cos x,22cos x) 则 G (x)x 2sin x .记 H (x)2sin则 H'(x)1 2cosx 当 x(0,1)时,H (x) 0,于是 G (x)在 0,1上是减函数,从而当x (0,1)时，G'(x)G'(0)0 ,故G(x)在0,1上是减函数.于是 G(x) G(0)2，从而1 G(x) a 3 .所以，当a3 时，f xx在0,1上恒成立.F面证明，当a 3 时，fg x 在0

14、,1上不恒成立.xax1 x1x(；1 x32x cos x23x2xcosx22xa 2cos x),2记 I(x)2x一 2cos x1a G(x)，则I(x)市G(x)，当 x (0,1)时，I (x)0,故 I (x)在0,1上是减函数，于是I(x)在0,1上的值域a 12cos1,a 3.因为当a 3时，a3 0,所以存在X。 (0,1)，使得1(冷)0，此时fx g x0 ,即 f x g x 在 0,1上不恒成立.综上，实数a的取值范围是(，3.评注：本题第二问是一道典型的恒成立求参问题，这类题目很容易让考生想到用分离参数的方法，但分离参数后利用高中所学知识无法解决(笔者研究发现不能解决的原因是分离参数后，出现了 “-型”的式子，解决这类问题的有效方法就是高等数学中的洛必达法则)；0若直接构造函数，里面涉及到指数函数、三角函数及高次函数，处理起来难度很大本题解法中两次巧妙利用第一问的结论，通过分类讨论和假设反正，使问题得到解决.上述几道导数不等式都不是考查某个单一的初等函数，而是综合考查指数函数、对数函数(尤其与“ ex ”和“In X”有关)、三角函数以及带根号