2018版高中数学平面解析几何初步2.3.4圆与圆的位置关系学案(含解析)新人教B版

1、1234圆与圆的位置关系- 学习目标导航1 掌握圆与圆的位置关系及判定方法.（重点）2.了解两圆相交或相切时一些简单的几何性质的应用.（重点）3利用圆的对称性灵活解决问题的方法.（难点）I_ .，基础初探教材整理圆与圆的位置关系及其判定阅读教材 Pl01P103“练习”以上内容，完成下列冋题.1 .圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系有五种，分别为外离、外切、相交、内切、内含._2.判定（1）几何法：若两圆的半径分别为ri、2,两圆的圆心距为d,则两圆的位置关系的判断方法如下：宀护 W 位置大糸外离外切相交内切内含图示d与仆2的关系d1+2d=1+212vdv1+2d=| |r12| |0wdv丨

2、丨12| |（2）代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断.消元A0?相交一元二次方程 = 0?内切或外切. 0?外离或内含-做休验-两圆x2+y2= 9 和x2+y2 8x+ 6y+ 9 = 0 的位置关系是（）A.外离B.相交C.内切D.外切阶段1认知预习质疑知识梳理要点初探圆C方程圆C2方程分组讨论疑难细为:22 2 2 2【解析】 两圆x+y= 9 和x+y 8x+ 6y+ 9= 0 的圆心分别为（0,0）和（4 , 3）,半分组讨论疑难细为:3径分别为 3 和 4.所以两圆的圆心距d= . 42+ ( - 3)2= 5. 又 4 355,即 0wkv14 或 34vkv5

3、0 时，两圆相离.1.判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围问题有以下几个步骤:(1)化成圆的标准方程，写出圆心和半径；计算两圆圆心的距离d;阶段2合作探究通关小组合作型圆与圆位置关系的判定当实数k为何值时，两圆G：x2+y2+ 4x 6y+ 12= 0,C2：x2+y2 2x 14y+k=0 相交、相切、相离?【导学号：45722113】【精彩点求圆G的半径1T求圆C2的半径r2 T求|GC2|名师j分组讨论疑难细为:4(3)通过d,1+2, |12|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可5借助于图形，数形结合.2 应用几何法判定两圆的位置关系或求字母参数的范围是

4、非常简单清晰的，要理清圆 心距与两圆半径的关系.再练一题1.已知圆C：x2+y2 2ax-2y+a2 15= 0,圆C2：x2+y2 4ax-2y+ 4a2=0(a0).试求a为何值时，两圆Ci,C2的位置关系为：相切；(2)相交；(3)外离；内含.【解】 圆C,C2的方程，经配方后可得亠2 2C： (xa) + (y 1) = 16,C： (x 2a) + (y 1) = 1,圆心C(a,1),C2(2a,1)，半径 m = 4,2= 1.I CC2| =/(a 2a)2+ (1 1)2=a.(1) 当| CG| =n+ r2= 5,即即a= 5 时，两圆外切；当| CG| =r1r2= 3

5、, 即卩a= 3 时，两圆内切.(2) 当 3v|CC2|v5，即 3vav5 时，两圆相交.(3) 当|CC2| 5,即卩a 5 时，两圆外离.当|CG|v3,即 0y+F2) = 0(入工一 1).再练一题2.已知圆G：x2+y2+ 2x 6y+ 1 = 0，与圆G：x2+y2 4x+ 2y 11 = 0 相交于A,B两点，求AB所在的直线方程和公共弦AB的长.【解】 由圆C的方程减去圆C2的方程，整理得方程 3x 4y+ 6= 0,又由于方程 3x4y+ 6= 0 是由两圆相减得到的，即两圆交点的坐标一定是方程3x 4y+ 6 = 0 的解.因为两点确定一条直线，故 3x 4y+ 6 =

6、 0 是两圆公共弦AB所在的直线方程.2 2圆C:x+y+ 2x 6y+ 1= 0,圆心为C( 1,3)，半径r= 3,圆心C到直线AB的距离d| 3 12+ 6| = 9松 =5, IAB=2r2d2=2AB所在的直线方程为3x 4y+ 6 = 0，公共弦AB的长为 曽.探究共研型直线与圆的方程的应用探究 1 设村庄(x 2)2+ (y+ 3)2= 4 表示，村外一小路方程可用xy+ 2=0 表示，你能求出从村庄外围到小路的最短距离吗？【提示】 从村庄外围到小路的最短距离为圆心(2 , 3)到直线xy+ 2 = 0 的距离减89探究 2 已知台风中心从A地以每小时 20 千米的速度向东北方向

7、移动，离台风中心 30 千米内的地区为危险区，城市B在A的正东 40 千米处，请建立适当的坐标系，用坐标法求B城市处于危险区内的时间.【提示】 如图，以A为原点，以AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系.射线AC为/xAy的平分线，则台风中心在射线AC上移动.贝惊B到AC的距离为 20 2 千米，则射线AC被以B为圆心，以 30 千米为半径的圆截得 的弦长为 2302- (202)2= 20(千米).圆C与圆O交于点E, F,且EF与CD相交于H求证：EF平分CD【精彩点拨】 建立适当坐标系，设出圆O和圆C的方程，利用两圆相交求公共弦方程, 证明CD中点在公共弦EF上.【自主解答】 以AB所在直

8、线为x轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系如图所示, 设 |AB=2r,D(a,0)，则 |CD= ,2Qa, , r2-a2),圆O x+y=r,圆 C：(x-a)2+ (y-, r2-a2)2=r2-a2. 两方程作差得直线EF的方程为 2ax+ 2r2-a2y=r2+a2. 令x=a,得y= 2；r2-a2,去圆的半径2，即帯二 I)2-2.所以B城市处于危险区内的时间为20t= 20= 1(小时).卜如图 2-3-1 所示，在圆O上任取C点为圆心作圆C与圆O的直径AB相切于D图 2-3-110 Ha,1r2-a2，即H为CD中点， EF平分CD名师皿7 ff1 坐标法解决几何问题，要先建

9、立适当的平面直角坐标系，建系时要坚持如下原则:(1) 若有两条互相垂直的直线，一般以它们分别为x轴和y轴；(2) 充分利用图形的对称性；(3) 让尽可能多的点落到坐标轴上，或关于坐标轴对称；(4) 关键点的坐标易于求得.2 解决直线与圆的方程的实际应用题时应注意以下几个方面：再练一题3一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报，台风中心位于轮船正西70 km 处，受影响的范围是半径为30 km 的圆形区域，已知港口位于台风中心正北40 km 处,如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？【导学号：45722114】【解】以台风中心为坐标原点，以东西方向为x轴建立直角坐标系(如

10、图)，其中取11港口所对应的点的坐标为(0,4),轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7,0),则轮船航线所在直线I的方程为 7+ 4 = 1，即 4x+ 7y 28= 0.圆心(0,0)到航线 4x+ 7y 28= 0 的距离d=1 笔=-，而半径 寸 42+ 7 /65直线与圆外离，所以轮船不会受到台风的影响. 2 2 . . 2 21. 圆O：x+y 2x= 0 和圆Q：x+y 4y= 0 的位置关系为()A.外离B.相交C.外切D.内切【解析】 圆O的圆心坐标为(1,0)，半径长r1= 1 ;圆O的圆心坐标为(0,2)，半径长r2= 2 ； 1 =r2r1v| OQ| = (5vr1+r

11、2= 3，即两圆相交.【答案】 B2. 圆x2+y2 2x 5 = 0 和圆x2+y2+ 2x 4y 4 = 0 的交点为A B,则线段AB的垂直平分线方程为()A.x+y 1= 0B. 2xy+ 1 = 0C.x 2y+ 1 = 0D.xy+ 1 = 0y一 0 x 1【解析】 所求直线即两圆圆心(1,0)、( 1,2)连线所在直线，故由=，得2 0 1 1x+y 1 = 0.【答案】 A3. 圆 C：(xm)2+ (y+ 2)2= 9 与圆C2：(x+ 1)2+ (ym)2= 4 外切，则m的值为_.【解析】C(m 2) ,r1= 3,C2( 1,m),r2= 2,22由题意得 | CG| = 5,即(m 1) + (m2) = 25,解得m= 2 或m= 5.【答案】 2 或54._在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x+y 8x+ 15= 0，若直线y=kx 2 上 至少存在一点，使得以该点为圆心，1 为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是 _ .【解析】 圆C：(x 4)2+y2= 1，如图，要满足直线y=kx 2 上至少存在一点，使得 以该点为圆心，1 为半径的圆与圆C有公共点，只需保证圆心C到y=